直接數據域的最小二乘法在抗干擾中的應用*

衛旭芳，吳催生，姚長虹，王輝

(中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471009)

0 引言

現代數字化戰爭中，戰術數據鏈的采用可以實現作戰飛機和武器之間的信息互通，通過溝通武器發射、作戰平臺之間的信息，提高武器打擊精度和突防能力。但是數據鏈系統又容易暴露從而受到各種人為干擾。常用數據鏈抗干擾方法有擴頻、跳頻、跳時、猝發通信、信道編碼、分集、自適應信號處理等技術。其中自適應信號處理技術是采用自適應陣列信號處理的方法，在空域對信號進行選擇，將天線波束調整到期望信號到達的方向的同時，自適應地在干擾方向產生零陷，達到抗干擾的目的。常見的自適應信號處理方法有基于最小均方誤差準則和最陡下降梯度的LMS(least mean square)算法、基于維納最優解的RLS(recursive least square)算法、SMI(sample matrix inversion)算法等。然而，當信號環境嚴重非平穩時，干擾信號特性瞬間變化，沒有充足的時間采集一定數量的樣本，上述算法性能變差而無法使用。為此，Sarkar等人提出利用單次快拍數據求自適應權進行干擾抑制的方法[1]，克服了統計理論方法依賴于干擾信號協方差矩陣的不足，不僅能處理統計特性瞬間變化的干擾，對多徑相干干擾也有效[2-3]。

文獻[1]所述基于直接數據域的方法是基于均勻直線陣列(uniform linear array,ULA)的，但是均勻直線陣列不適宜布置在高速運動的物體上，對于布置在高速運動的武器上的數據鏈，一般采用環形陣列或其他形狀的天線陣以便產生全向方向圖。但是半圓環陣列有非均勻陣列的特性[4-5]，導致直接數據域的方法失效。文獻[4]提出利用虛擬陣列內插的思想在近場散射和互耦效應的情況下進行陣列校準，但其采用的插值轉換矩陣誤差較大，由此計算出的權值抗干擾性能不優。本文通過奇異值分解的方法來進行虛擬陣列中轉換矩陣的計算，提高了轉換精度，然后用直接數據域最小二乘前后向法進行自適應權值計算，得出的權值在干擾處均有更深零陷。制導武器數據鏈應用段記錄有載機位置，即接收信號方向已知，適用該方法。該方法既克服了統計理論方法依賴于干擾信號協方差矩陣的不足，又具有較高實時性，在復雜的作戰電磁環境中仍有較好的抗干擾性能。

1 虛擬陣列內插

由于半圓環陣列有非均勻陣列的特性，導致直接數據域的方法失效。本文采用虛擬陣列插值的思想，將半圓陣列虛擬內插成均勻直線陣列，在轉換矩陣計算的時候采用奇異值分解的方法，提高轉換精度，然后再采用直接數據域的方法來估計接收信號的幅度。

虛擬插值陣列是指通過線性插值技術獲得虛擬矩陣，將真實陣列的輸出轉換為虛擬內插陣列的輸出。對從某一個觀察方向范圍過來的信號，選擇一個可以使插值誤差最小的插值系數。為了提高精度，可以將觀察方向劃分成不同集合分別計算其插值系數。插值計算可以離線進行[6]。

設計虛擬插值陣列的步驟如下：

在每個觀察方向范圍內，可以利用其對應的角度集合設計插值矩陣。

(3) 構造真實陣列的虛擬副本：

式中：a(θ)為陣列在θ方向的導向向量；Pn為真實陣列的虛擬副本。

(4) 構造虛擬陣列的副本：

(5) 計算從真實陣列轉換到虛擬內插陣列的轉換矩陣：

2 轉換矩陣的求解[7-8]

轉換矩陣Qn的求解，可以采用正則方程的方法，也可以采用奇異值分解的方法。

定理1：奇異值分解定理

設A∈Rm×n,則存在正交矩陣U=(u1,…,um)∈Rm×n和V=(v1,…，vm)∈Vm×n使得UTAV=D或A=UDVT,稱為A的奇異值分解，其中D=diag(σ1,…,σp)∈Rm×n,σ1≥σ2≥...≥σp≥0，p=min{m,n}，σi稱為矩陣A的奇異值，ui，vi分別稱為A的第i個左奇異向量和第i個右奇異向量。

定理2：最小二乘定理

3 直接數據域采樣

應用直接數據域最小二乘(direct data domain least square,DDDLS)[1]算法進行自適應信號處理，能夠利用單快拍進行權值計算，避免了協方差矩陣的構造，能處理統計特性及空間方位瞬間變化的非相關干擾，而且對于多徑相干干擾同樣有效。由于不需要陣元輸出電壓的多快拍數據，因此這種直接數據域采樣的算法更適于實時應用的環境。

假設有等距離分布線性陣列，其陣元數目為N，間距為d，其中N為奇數，設M=(N+1)/2。簡單起見，假定期望信號和干擾都是共面的。已知期望接收信號從方向θs入射，目的是估計期望信號的幅度α，非期望的接收信號表示為U，單位幅度電壓在第n個陣元所激勵的信號表示為Sn，第n個陣元實際測量到的信號表示為Xn，干擾包括人為干擾和多徑、雜散、熱噪聲。那么非期望信號可以表示為

U=X-αS，

(1)

式中:

假設知道信號到達方向，但不知道其強度，接收信號X可以表示為

X=αS+J+C+T,

(2)

式中：αS為期望信號；J為干擾和多徑信號；C為雜散信號；T為熱噪聲。

在自適應處理中，需要計算合適的權值使得天線在干擾、雜散、熱噪聲方向等于0，因此，上述問題可以描述為如下廣義特征值問題：

最后，教師根據網絡教學平臺上學生課前學習的反饋信息，設計課中活動的具體內容和組織形式，為課中知識內化環節而作準備。

Uw=(X-αS)w=0，

(3)

則期望信號的幅度α是式(3)的廣義特征值，加權向量w是相應的廣義特征向量[1]。也可以通過求解如下矩陣求解α：

Det(X-αS)=0.

(4)

如果定義：

U(1,1)=X0-αS0,

U(1,2)=X1-αS1,

X0為陣元0接收到的信號，X1為陣元1接收到的信號，

由于

(5)

式(5)可以記為

Fw=B.

在計算出權值后，期望信號的幅度可以通過如下公式進行估計：

(6)

上述方程組的求解可以通過共軛梯度法來進行計算，且由于系數矩陣F具有Hankel矩陣的特性，因此實際工程應用中矩陣乘法可以利用快速傅里葉變換進行快速求解[1]。

4 計算機仿真

假設采用均勻半圓環陣列，陣元數目為18，半徑為2λ，先將其虛擬內插為均勻直線陣列，然后使用直接數據域最小二乘法計算權值。設虛擬線陣陣元數目為15，間距為0.285 7λ，示意圖見圖1。

圖1 均勻半圓陣列和等效后均勻直線陣列Fig.1 Uniform semicircle array and uniform line array

其中直線陣列的導向向量可描述為

a(θ)=(ejkdsin θ,…,ej2kdsin θ,ejkdsin θ,1,e-jkdsin θ,e-j2kdsin θ,…,e-jkdsin θ).

半圓均勻陣列導向向量[10-12]可描述為

(7)

式中：k=2π/λ;φn=(π/(N-1))(n-1).

首先通過虛擬插值技術將均勻半圓環陣列接收到的信號通過事先計算好的轉換矩陣Q虛擬內插為均勻直線陣列的信號，本次實驗選用觀察方向為[-60°,60°]，角度間隔為Δθ=0.2°。然后利用基于直接數據域前后采樣的算法進行接收信號復幅度估計。假設數據鏈接收從5°發來的信號，同時也受到來自-45°,-30°和-15°的人為干擾，干擾信號的實數部分和虛數部分均為服從均勻分布的隨機數，功率分別為20 ,25 和22 dB，還受到來自從55°～60°的以0.2°為間隔的雜散信號的干擾，各個雜散信號功率為10 dB，其實部虛部均服從均勻分布。實際接收信號詳細構成見表1。所有仿真過程中假定期望信號和干擾都是共面的。加權后的陣列方向如圖2所示。

表1 到達信號分布表

可以看到采用奇異值分解和前后采樣的情況下在-15°，-30°和-45°干擾信號方向以及55°～60°雜散干擾信號處均形成比普通轉換矩陣情況下更深的零陷，而在期望信號到達方向5°產生更大的增益。從而保證信號能夠抑制從各個方向來的干擾，在信號方向產生大的增益，達到抗干擾的目的。從圖3原始信號和估計信號幅度圖上可以看到估計信號與原始信號幅度有良好線性關系，相位變化與原信號一致，能夠無失真恢復出原始信號。

圖2 加權后陣列方向圖Fig.2 Weighted array factor

圖3 原始信號和估計信號幅度Fig.3 Original signal and estimated signal

5 結束語

數據鏈系統在其作用段知道通信目標的具體位置，在安裝有非均勻性質的半圓環陣列情形下，由于傳統直接數據域算法無法應用于非均勻陣列，無法直接使用。本文通過奇異值分解的方法計算虛擬內插陣列的轉換矩陣，可精確將半圓環陣列的接收信號轉換為虛擬均勻線性陣列的信號，而后利用直接數據域前后采樣的方法計算自適應權值。仿真結果表明，此處理在干擾處有更深零陷，能夠獲得良好的抗干擾效果，具有實際應用價值。

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