維修時間截尾序貫驗后加權檢驗的實現*

劉勇，徐廷學，彭軍

(海軍航空工程學院 a.接改裝訓練大隊；b. 2系，山東 煙臺264001)

0 引言

經典的維修性指標驗證方法所需的樣本量較大，但由于條件、經費等因素的限制，獲取很多的現場數據和進行大量的維修性試驗面臨巨大困難。為此，基于Bayes理論的小子樣檢驗方法在工程應用上獲得了成功。這些方法主要有驗后似然比檢驗[1]、序貫概率比檢驗[2-3]和序貫驗后加權檢驗(sequential posterior odd test, SPOT)[4-9]，其中SPOT方法是基于Bayes理論的小子樣檢驗方法的核心。SPOT方法盡可能地利用未知參數的驗前信息，在每次試驗之后作統計判斷，若尚不足以作出決定，就進行下一次試驗，故試驗次數并不是固定的。但出于試驗時間和經費的考慮，并不能無限制地序貫下去，因此，有時會在試驗前就把所需試驗次數即試驗樣本量的上界確定下來，這時就稱為截尾SPOT方法[6]。應用截尾SPOT方法時，如果截尾后仍不能用SPOT方法進行判決，則需要引入決策閾值并對之進行求解。部分學者文獻對決策閾值的求解問題進行了研究，但未給出可行的實現方法。為了能將此方法應用于工程實踐，本文在滿足檢驗精度的情況下嘗試用近似計算的方法代替積分運算，并通過某導彈維修性指標驗證的實例證明了該方法的可行性。

1 截尾SPOT方法介紹

由于一般可認為系統維修時間服從正態分布或對數正態分布，所以本文按正態分布來討論。當維修時間服從對數正態分布時，將維修時間以及可接受值作對數變換。

設系統維修時間均值的可接受值為μ1，檢驗假設為

H0:μ≤μ1，H1:μ>μ1.

若Y=lnX～Nθ,σ2，σ2已知，對μ1的轉換方法為

θ1=lnμ1-σ2/2.

于是檢驗假設可更改為

H0:θ≤θ1，H1:θ>θ1.

(1)

(2)

有了上述公式計算ON，然后引入A，B兩值進行判決檢驗。

設2類假設的驗前概率分別為PH0和PH1，取

(3)

PH1=1-PH0,

(4)

式中：Φ(·)為標準正態分布函數。

若生產方和使用方風險值分別為α和β，則

(5)

(6)

如果在試驗之前就確定了樣本量N，在N次試驗后有A

D1={Ω:A

判決檢驗如下：

(1) 當A

(2) 當C

由文獻[4, 12]可知

(7)

且有

(8)

式中:

式中：Z1/(B+1)為標準正態分布的1/(B+1)分位點。

(2) 計算p(i)。

p(i)的精確表達式為

(9)

(3) 若τ>ε，進行如下判斷

令i=i+1，轉(2)。

式(9)的Φ(·)中含有未知數θ。因為Φ(·)沒有關于θ的解析表達式，因此不能直接對式(9)等號右邊的部分進行積分運算。p(i)的計算是關鍵的一個環節，為此，接下來對此作進一步的探討。

2 決策閾值的近似計算方法

當不能進行積分運算時，可以尋找近似計算方法作為替代。

設Y～N0,1，其分布函數為

(10)

其概率密度函數為

(11)

(12)

相應的密度函數為

(13)

(14)

圖1 f(y)與f(y)aprFig. 1 Curves of f(y) and f(y)apr

圖2 近似與積分運算的相對誤差曲線Fig.2 Curve of relative error between approximate calculation and integral calculation

由圖2可看出，近似計算與積分運算的相對誤差小于2%，滿足工程上計算判別的需要，因此，這里用式(14)替代式(10)，以實現p(i)的計算。這樣就有

(15)

于是

(16)

(17)

將式(16)和(17)代入式(9)，最終可得到p(i)的計算模型為

(18)

3 案例分析

在定型階段對某導彈的平均修復時間MTTR進行檢驗，規定α=β=0.1，對MTTR的最大可接受值μ1=42 min，最大試驗樣本量N=8。已知維修時間X服從對數正態分布，維修時間的對數方差為σ2=0.162，即Y=lnX～N(θ,0.162)；求得θ的先驗分布為N(3.721，0.020)。

H0：θ≤3.730， H1：θ>3.730.

此時Θ=Θ0∪Θ1，其中Θ0={θ≤θ0}，Θ1={θ>θ0}。

經過現場試驗，得到了8個維修時間數據，對之取對數，如表1所示。

表1 現場維修時間數據及其對數Table 1 Field maintenance data and their natural logarithms

由式(3)和(4)可得

P(H0)=0.526， P(H1)=0.474.

于是根據A，B的計算公式(5)和(6)，可以得到

A=0.048， B=17.122.

顯然有A

4 結束語

在應用截尾SPOT方法進行維修性指標驗證的過程中，現有基于數值逼近原理求解決策閾值的方法存在的難題是積分變量中含有的正態分布積分函數沒有解析表達式，因此不能直接進行積分運算。為此，本文在滿足檢驗精度的情況下，用近似計算的方法代替正態分布積分運算，給出了一種求解決策閾值的可行方法。用此方法對某導彈MTTR進行驗證的實例表明用近似計算代替積分運算的方法是有效的，且可以看出，相比傳統的統計試驗方法，基于Bayes理論的截尾SPOT方法減少了試驗次數，能夠縮短試驗時間，提高軍事效益。

參考文獻：

[1] 劉穎, 杜健. 基于Bayes理論的裝備維修性驗證方法[J]. 裝甲兵工程學院學報, 2011, 25(1): 18-21.

LIU Ying, DU Jian. Maintainability Verification Method for the Equipment Based on Bayes Theory[J]. Journal of Academy of Armored Force Engineering, 2011, 25(1): 18-21.

[2] 黃寒硯, 王磊. 基于參數優化的截尾序貫檢驗法[J]. 飛行器測控學報, 2011, 30(3): 49-55.

HUANG Han-yan, WANG Lei. Truncated Sequential Test Based on Parameter Optimization[J]. Journal of Spacecraft TT&C Technology, 2011, 30(3): 49-55.

[3] WILLIS A J. Design of a Modified Sequential Probability Ratio Test (SPRT) for Pipeline Leak Detection[J]. Computers and Chemical Engineering, 2011, 35(1): 127-131.

[4] 董博超, 宋保維, 梁慶衛, 等. 武器裝備小子樣維修性試驗與評定方法研究[J]. 兵工學報, 2011, 32(3): 327-330.

DONG Bo-chao, SONG Bao-wei, LIANG Qing-wei, et al. Research on Small Sample Maintainability Experimentation and Evaluation of Weapon System[J]. Acta Armamentll，2011，32(3)：327-330.

[5] 王雪崢，韓成哲．可靠性試驗中多參數空間復雜假設的SPOT方法研究[J]．戰術導彈技術．2010,(1)：48-52．

WANG Xue-zheng， HAN Cheng-zhe. Development of SPOT Method for Multiple Parameter Spaces with Complex Hypothesis in Reliability Test[J]. Tactical Missile Technology, 2010(1): 48-52．

[6] 巨養鋒，張曼菊，邵銘，等. 序貫驗后加權檢驗法在激光告警試驗中的應用[J]. 激光技術, 2009, 33(6): 667-669.

JU Yang-feng, ZHANG Man-ju, SHAO Ming, et al. Sequential Posterior Odd Test Approach in Laser Warning System Test[J]. Laser Technology, 2009, 33(6): 667-669.

[7] 黃秀平, 周經倫, 馮靜. 裝備部件平均修復時間的序貫驗后加權檢驗方法[J]. 裝備制造技術, 2008(6): 1-3.

HUANG Xiu-ping， ZHOU Jing-lun, FENG Jing. The Sequential Posterior Odd Test for the Mean Time to Repair of the Armored Vehicle’s Components[J]. Equipment Manufacturing Technology, 2008(6): 1-3.

[8] MAO Zhao-yong, SONG Bao-wei. The Sampling Inspection Method Based on Sequential Posterior Odd Test[C]∥ 2010 International Conference on Computational and Information Sciences,2010：163-166.

[9] GUO Bo, JIANG Ping, XING Yun-yan. A Censored Sequential Posterior Odd Test (SPOT) Method for Verification of the Mean Time to Repair[J]. IEEE Transactions on Reliability, 2008, 57(2): 243-247.

[10] 張守玉, 封偉書. 基于隨機加權法的裝備平均維修時間驗證研究[J]. 裝備指揮技術學院學報, 2009, 20(3): 100-103.

ZHANG Shou-yu, FENG Wei-shu. Study of Equipment MTTR on Random Weighted Method[J]. Journal of the Academy of Equipment Command & Technology, 2009, 20(3): 100-103.

[11] 賈占強, 蔡金燕, 梁玉英. 基于改進Bootstrap和Bayesian Bootstrap的小樣本產品實時性能可靠性評估[J]. 計算機應用研究， 2009, 26(8): 2851-2854.

JIA Zhan-qiang, CAI Jin-yan, LIANG Yu-ying. Real-Time Performance Reliability Evaluation Method of Small-Sample Based on Improved Bootstrap and Bayesian Bootstrap[J]. Application Research of Computers, 2009, 26(8): 2851-2854.

[12] 黃秀平. 裝甲裝備維修性試驗數據處理和小子樣驗證方法[D]. 長沙: 國防科學技術大學, 2008.

HUANG Xiu-ping. Armored Equipment Test Data Processing and Small Sample Demonstration Method[D]. Changsha: National University of Defense Technology, 2008.

[13] 劉清珺, 陳婷, 陳舜琮. 正態分布積分近似計算公式及其在實驗結果判定中的應用[J]. 現代測量與實驗室管理, 2009(3): 21-23.

LIU Qing-jun, CHEN Ting, CHEN Shun-cong. Normal Distribution Integral Approximate Calculation Formula and Its Application in Experimental Result Determination[J]. Modern measurement and Laboratory Management, 2009(3): 21-23.