一類波動方程的全離散H1-Galerkin混合有限元方法

于順霞

（濰坊科技學院機械系，山東壽光267000）

討論如下二階雙曲型方程初邊值問題：

現代科學技術工程中的大量數學模型都可用偏微分方程來描述，雙曲型偏微分方程是描述振動或波動現象的一類重要的偏微分方程.關于這類方程有限元方法的研究已有一些結果[1-6].文獻[1-2]研究了非線性雙曲型方程的全離散有限元方法的穩定性和收斂性估計，這些研究成果都為以后的工作打下了重要基礎.文獻[3]和文獻[4]分別討論了一維和高維雙曲型方程的H1-Galerkin混合有限元方法的三層全離散格式，得到了最優誤差估計.本文給出二階雙曲型方程的H1-Galerkin混合有限元方法的二層全離散格式，并進行誤差分析，得到了最優階誤差估計.本文中C、ε分別表示普通常數和一個普通小正數，不同式中的C、ε可能不同.

1 格式的建立

令 apx=u，ut=q，α（x）=1/a（x），β（x）= α（x）·b（x），將 apx=u 與 vx做內積，并由 α（x）=1/a（x）得式（2）（a）.將式（1）（a）與 wx做內積，利用分部積分和邊界條件pt（0）=pt（1）=0得式（2）（b）.于是與問題（1）等價的變分形式為：求滿足

令Vh和Wh分別是和H1的有限維子空間，有如下逼近性質：對于1≤p≤∞和k＞0，r＞0的整數，滿足

問題（2）的半離散H1-Galerkin混合有限元方法為：求{ph，uh，qh}∈Vh× Wh× Wh，滿足

其中uh（0）和qh（0）分別為u0（x）=ap0x（x），q0（x）=ap1x（x）的某種近似.這3個方程構成了微分代數方程，因為剛度矩陣是正定的，因此問題（3）對于給定初值是唯一可解的.

由文獻[7]，定義橢圓投影{uh，ph}：[0，T]→Wh×Vh為

其中 A（u，v）=（ux，vx）-（βu，vx）+ λ（u，v），這里選取 λ 使 A（·，·）是 H1-正定的，即存在常數 α0＞ 0，使得且容易證明 A（·，·）是有界的.

下面對半離散問題（3）關于時間離散化，以導出全離散格式.取正整數N，時間步長為τ=T/N，tn=nτ（n=0，…，N），對于在 t=tn有定義的函數 v，記

將式（3）關于時間離散化，并將 uh、f在 tn-1，tn，tn+1的值做權平均，得全離散格式：求Wh，滿足

上述格式的初值按下面的方式確定，

2 格式的誤差估計

令ρ=u-uh，η=p-ph，對于ρ、η，由文獻[7]可得估計

證明 ρ、η與e的估計已經由式（8）～式（11）給出，只需估計 ξ、ζ與 θ.在式（12）中取 vh= ζn+1/2，得

在誤差方程（13）中取 wh==+ δn，其中

下面分別估計上式各項.對左端第1項，有

對上式右端第2項利用分部求和公式，有

對式（16）左端第2項，有

下面估計式（16）的右端各項.對|I1|和|I2|，利用柯西不等式，有

對|I3|，由格林公式及柯西不等式，并利用式（15），有

對I4，經整理并利用柯西不等式，有

對I5和I6，與I4類似，有

將上面各項估計代入式（16），兩邊同時乘以2τ，并關于n=1，2，…，N-1求和，注意到α的有界性，由A的正定性及有界性，利用ε-Cauchy不等式，有

當τ、ε充分小時，由Gronwall引理得

由u*的取法及泰勒展開式，可得

所以，由式（8）～式（11）得

最后由三角不等式得結論成立.證畢.

[1]劉小華.關于一類二階非線性雙曲型方程的全離散有限元方法的穩定性和收斂性估計[J].高等學校計算數學學報，2002，25（1）：15-22.

[2]王宏.關于非線性雙曲型方程全離散有限元方法的穩定性和收斂性估計[J].計算數學，1987，9（2）：163-175.

[3]于順霞，楊青.雙曲型方程全離散H1-Galerkin有限元方法[J].科學技術與工程，2007，7（1）：18-21.

[4]楊青，于順霞，李麗芳.高維雙曲型方程全離散H1-Galerkin有限元方法[J].山東師范大學學報：自然科學版，2007，22（4）：8-11.

[5]王瑞文.雙曲型方程的混合元法[D].濟南：山東師范大學，2004.

[6]甘小艇，張坤.拋物和雙曲方程全離散間斷有限體積元法[J].西北師范大學學報：自然科學版，2012，48（1）：15-21.

[7]WHEELER M F.A priori L2-error estimates for Galerkin approximations to parabolic differential equation[J].SIAM J Numer Anal，1973，20（10）：723-749.