考慮報廢的K/N冷備份冗余系統可修復備件優化*

薛陶 馮蘊雯 秦強

(西北工業大學 航空學院，陜西 西安 710072)

在飛機、艦艇等復雜重要裝備中，為了滿足一定的可靠性要求或精度要求，通常采用K/N 冷備份冗余技術:在N 個相同的系統中，需要K 個系統同時工作，N -K 個系統處于備份狀態［1］;同時，為了降低裝備故障后的保障費用，K/N 冷備份冗余系統大量使用可修復備件，該類備件的一個顯著特點是周轉時間長.然而，周轉時間再長，可修復備件總有一定的報廢率.因此，在考慮可修復備件存在報廢情況下，合理分配備件費用以實現K/N 冷備份冗余系統最大的備件保障效能具有重要的意義.

目前，國內外關于K/N 冷備份冗余系統備件的研究較少.文獻［2-4］中較早研究了K/N 冷備份問題，建立了部件級冗余備件優化模型;文獻［5］中研究了備件保障與裝備戰備完好性的關系，應用Metric方法建立了單層兩級的可修復備件優化模型;文獻［6］中用馬爾可夫鏈描述了冷備份系統的動態過程并建立了計算備件數量的解析法;文獻［7］中分析了K/N 冷備份冗余系統的建模方法，給出了準確的和近似的兩種計算單層單級K/N 冷備份可用度的方法;文獻［8］假設冷備份冗余系統中所有子系統的部件相同，在此基礎上分析了單部件的可用度，并給出系統可用度的計算方法;文獻［9］中建立了艦艇隨行有冗余度的單級備件模型.以上文獻在建立模型時均沒有考慮可修復備件的報廢問題.文獻［10］以冷備份系統中的序列結構為研究對象，建立了不可修復備件的系統優化模型.

由此可見，在已有的K/N 冷備份冗余系統備件相關文獻中，備件或者是一直可修復［2-9］，或者是不可修復［10］.而實際情況是可修復備件的周轉次數往往有限，也存在一定的報廢［11］，若不考慮報廢，備件的預測結果(如需求量、可用度等)將會失真.針對該問題，文中以單層兩級K/N 冷備份冗余系統可修復備件為研究對象，在考慮可修復備件存在報廢的情況下，以給定的目標可用度為約束條件、最小化備件費用為目標建立優化模型，并對其結果進行分析.

1 問題描述及分析

文中研究的K/N 冷備份冗余系統是指:開始時可用系統數(如編隊執行任務的飛機架數)為N，滿足任務的最小系統數為K(K≤N)，N -K 個系統處于冷備份狀態.每個任務系統由m 個不同的部件串聯組成，任意一個部件的失效都會導致系統故障;若K 個系統中任意一個系統發生故障，則用處于冷備份狀態的系統進行更換，之后對故障系統進行診斷，發現失效部件后，用備件進行替換修理，修理完成的系統重新進入冷備份系統中.若因缺少備件而無法修理故障系統，從而導致無系統備份時，任意任務系統發生故障將會導致整個任務的失敗.K/N 冷備份冗余系統結構見圖1.

圖1 K/N 冷備份冗余系統的結構Fig.1 Structure of K/N cold-standby redundant system

令I={LRU1，LRU2，…，LRUm}，LRUm表示第m 個在線可更換單元(LRU)，假設部件i (iI)是兩級修理體制，即基地修理(簡稱基地)和中心修理(簡稱中心)，且報廢只能在中心進行.設不同位置的修理集合為W= {No，N1，N2，…，Nq}，No表示中心修理，N1，N2，…，Nq表示q 個不同基地的修理.設部件i(iI)在基地n(n{N1，N2，…，Nq})的年故障率為gin、修理概率為rin，在中心的修理概率為rio，在基地、中心的修理時間分別為tin，基地因缺少備件而向中心申請訂貨及運輸時間為考慮到可修復備件的報廢，在中心要進行外部采購，假設采購時間為，考慮報廢后備件的兩級維修供應網絡見圖2.

圖2 考慮報廢后的兩級維修網絡Fig.2 Two-echelon repair network considering scrap

相比無備份系統，K/N 系統一般具有較高的初始可用度，其大小取決于可備份數量N - K，但K/N系統若要保持更高的可用度和降低保障費用，必須進行備件的儲備及維修.備件報廢后，通過控制采購時間以掌握不同時間對系統可用度的影響，從而為裝備維修規劃的制定提供參考.

2 模型的建立

2.1 假設條件

(1)系統的故障部件由其備件進行替換，替換時間忽略不計，且系統間不存在串件拼修;

(2)系統內各部件相互獨立，其失效時間服從指數分布，任意一部件失效均會導致系統失效;

(3)故障件送修服從(S - 1，S)庫存策略，即不存在批次性送修，故障件是一對一的替換或采購;

(4)故障件的修理和運輸過程相互獨立，不考慮維修點之間的補給優先權以及故障件之間的維修優先權，修理過程服從先到先服務的保障策略.

2.2 模型描述

依據Metric 理論［12］，庫存系統在任意時刻t 的庫存量S(t)、現貨量H(t)、供應渠道件數D(t)、短缺數B(t)之間存在如下平衡關系:

設tM為K/N 系統的任務時間，ta為實際工作時間，為部件i 在基地和中心的備件數，A 為系統可用度(它是備件儲備量的函數)，A*為目標可用度，則只有當系統工作時間大于或等于任務時間時，裝備系統才處于完好可用狀態，因此，系統的可用度可表示為

在K/N 冷備份系統中，有N -K 個系統處于備份狀態，K 個系統處于可用狀態時，P(ta≥tM)近似等于備件短缺數B 小于等于備份系統數N-K 的概率，即

因此，在保證系統可用度達到A*的前提下，應使備件費用最低，其優化模型為

式中，ci為部件i 的單價，Sin為部件i(iI)在修理點n(nW)處的備件庫存量.

2.3 考慮報廢后供應渠道期望及方差的計算

(1)模型假設部件的壽命服從指數分布，因此，部件i 在基地的使用需求服從泊松分布，由圖2 知，部件在基地的初始需求泊松流gin被分成了基地修理、中心修理和中心報廢后采購3 部分，且這3 部分的泊松流之間相互獨立，按照部件故障后的修理概率，這3 部分的需求泊松流值分別為ginrin、gin(1 -rin)rio、gin(1 -rin)(1 -rio).設gio為部件i 在中心的泊松流，則gio在數值上等于中心修理的泊松流與報廢后采購泊松流之和.

設部件i 在報廢后采購的時間為tPio，該時間為一隨機變量，令為的數學期望，由帕爾姆定理［13］的使用條件可知，因采購時間延誤而引起的供應渠道為gin(1 - rin)(1 - rio).

由圖2 可以看出，基地修理的供應渠道件數Xin由基地在修件數、中心修理點短缺數、訂貨及運輸件數3 部分組成.其中，中心修理點短缺數由中心修理延誤和報廢后采購延誤所導致.由于假設是無限維修渠道，部件需求服從泊松分布，因此，供應渠道件數可應用帕爾姆定理，即

(2)與一般的備件庫存優化不同，K/N 冷備份系統要考慮系統的任務時間tM，在tM內的修理或采購才會有意義.因此，在應用帕爾姆定理時，需對時間進行修正，計算時間應取tM與修理、采購時間的最小值.

(3)令在中心修理的部件i 來自基地n 的比例為fin，則

設中心因延誤而導致的期望短缺數為E{Bio}，該短缺數為所有基地短缺數之和，那么來自基地維修點n 的期望短缺數為finE{Bio}，結合式(1)及(3)，基地修理的供應渠道件數Xin的期望及方差分別為

當部件在中心修理時，來自基地的泊松流gin(1 -rin)被分成了修理和報廢后采購兩部分，由于中心點不存在申請延誤，因此，根據泊松分布，中心點的供應渠道件數的期望E{Xio}和方差var{Xio}相等，即

2.4 備件短缺數期望及方差的計算

根據式(1)及短缺數的定義，當供應渠道件數大于庫存量時，就會產生短缺，因此有

同理，可以得到短缺數平方的期望:

根據文獻［14-15］中方法，可由差均比值υ=var{Xin}/E{Xin}來近似確定P(Xin).當υ=1 時，P(Xin)服從泊松分布;當υ ＜1 時，P(Xin)服從二項分布;當υ＞1 時，P(Xin)服從負二項分布.

2.5 備件短缺數分布的確定

根據K/N 系統內部各部件相互獨立的假設條件，設單個系統的期望短缺數、方差分別為E{B}、var{B}，結合2.4 節的單部件短缺數期望及方差的計算方法，得到

3 優化算法

與其他算法相比，邊際分析法具有操作簡便、計算準確度高的特點，國外的先進備件模型(如瑞典的OPUS10、美國的VMETRIC)均將其作為核心算法［14］，文中也采用該方法對模型進行求解.在運用邊際分析法進行優化計算時，分別計算備件在基地和中心的邊際增量，選取邊際值最高的備件進行可用度計算，直至系統的可用度大于目標可用度，優化算法的具體步驟如下:

(1)初始化中心和基地的備件數為0，即Sinba=(0，0，…，0)，Sino=(0，0，…，0);

(2)對每個備件i，計算備件數量增加1 個時其在中心和基地的邊際增量，選取增量最大的備件;

(3)將備件短缺數的分布情況代入式(2)，計算此時系統的可用度A(Sinba，Sino);

(4)將系統可用度A(Sinba，Sino)與目標可用度A*進行比較，若A(Sinba，Sino)＜A*，則返回步驟(2)，否則確定備件優化配置，結束循環.

4 算例分析

艦艇用相陣控雷達是一個3/5 冷備份冗余系統，每次開機保持3 套雷達系統警戒，另外2 套處于備份狀態，每套雷達系統由5 個關鍵的不相同的LRU 組成，LRU 的相關參數見表1，系統采用兩級維修供應體制，即按“中心-基地”方式運行.在規定的任務時間內，目標可用度A*為0.95，該數據的設置參考了文獻［7］，在工程實際中，用戶可根據要求自行設置A*值(如A*=0.80，0.90，0.95，0.98，…)，理論上A*［0，1］.

表1 單套雷達系統備件清單及相關參數Table 1 List of spare parts for a single radar system and their relative parameters

采用Matlab 編程實現文中提出的優化算法，經過11 次迭代得出系統的可用度為0.955 3，備件總費用為3700 元.為了分析不同采購時間、任務時間tM對系統可用度A 的影響，取3 組數據(①=0.2 a，tM=0.3 a;②=0.5 a，tM=0.3 a;③=0.5 a，tM=0.6 a)進行計算，得到這3 種情況下的備件費用和系統可用度曲線，如圖3 所示，求出的備件配置數據見表2，其中，C 為每種情況下的備件總費用，這3 組數據考慮了備件報廢的情況.為與傳統的不考慮報廢情況進行對比，現以數據①為例進行計算分析，兩種情況下的備件費用和系統可用度對比如表3 所示.

圖3 不同采購時間和任務時間下的最優效費曲線Fig.3 Curves of optimal effectiveness vs cost under different procurement time and mission time

表2 不同采購時間和任務時間下的備件優化配置Table 2 Optimal configuration of items under different procurement time and mission time

表3 報廢對備件優化配置的影響Table 3 Effect of scrap on optimal configuration of spare parts

由圖3 和表2 可以看出，備件采購時間和任務時間越小，系統的初始可用度越高，3 種情況下的初始可用度最大為0.695 3，最小為0.406 9，兩者相差0.2884.隨著備件投資費用的增加，3 種情況下的可用度均提高，效費比(曲線的斜率)近似相等.其中，情況①在備件費用為3 700 元時首先超過目標可用度0.95 達到0.955 3;情況②在可用度為0.953 7時，備件投資花費5 050 元;情況③最后滿足目標可用度要求，備件投資花費6900 元.由此可見，較小的采購時間和任務時間可以使系統獲得較高的可用度，對于目標可用度要求不高的系統，如A*= 0.7 ，算例中的情況①幾乎不用儲備備件即可滿足要求.

從表3 可以發現，K/N 冷備份系統可修復備件模型是否考慮備件報廢會對結果產生影響，求解兩者的可用度A 均滿足大于目標可用度0.95 的要求，但不考慮報廢的費用(3 850 元)較考慮報廢的費用(3700 元)增加了4.05%，由此可見，傳統的方法計算較保守.

圖3 中，情況①與情況②的任務時間相同(均為0.3年)，但前者的報廢后采購時間(0.2年)較后者的0.5年小0.3年，在兩者均達到目標可用度0.95 時，備件費用相差5 050 -3 700=1 350 元，因此，在K/N 冷備份系統中應盡量縮短備件報廢后的采購時間.從圖3 還可以看出，情況②與情況③的采購時間均為0.5年，但前者的任務時間比后者小0.3年，在滿足目標可用度要求下，情況②比情況③節約的備件費用為6900 -3 700=3 200 元.由此可見，對于采購時間無法改變的情況下，增加系統任務時間必須提高備件的保障費用，方能保證最終的可用度要求.

5 結論

在考慮報廢情況下，文中以備件費用最低為優化目標，建立了一種K/N 冷備份冗余系統的可修復備件優化模型，確定了模型的目標函數和約束關系式，提出了考慮報廢后可修復備件保障效能的分析流程和方法.算例分析結果表明，在K/N 冷備份系統中考慮報廢可修復備件后，其采購時間的長短對備件保障費用有著顯著的影響(在文中算例中，相同任務時間內，0.2年的采購時間較0.5年可節約26.7%的費用).與相關文獻研究成果相比，文中模型更加符合工程實際，可為裝備維修規劃的制定提供有益的參考.

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