任武
摘 要:眾所周知,一個正確的命題,它的逆命題可能正確,也可能不正 確。例如“對頂角相等”是正確的,它的逆命題“相等的角都是對頂角”就不正確了。這是因為這個命題的前提“對頂角”這概念的外延與結論“相等的角”這個概念的外延不一致?!跋嗟鹊慕恰钡耐庋影恕皩斀恰钡耐庋?,反過來,“對頂角”的外延就不包含“相等的角”的外延,因此,逆命題不正確。
關鍵詞:同一法
中圖分類號:G632 文獻標識碼:B 文章編號:1002-7661(2014)15-322-02
同一法是證題時常用的一種間接證法,對此談一下個人的膚淺認識。
一、同一法的邏輯根據
眾所周知,一個正確的命題,它的逆命題可能正確,也可能不正 確。例如“對頂角相等”是正確的,它的逆命題“相等的角都是對頂角”就不正確了。這是因為這個命題的前提“對頂角”這概念的外延與結論“相等的角”這個概念的外延不一致?!跋嗟鹊慕恰钡耐庋影恕皩斀恰钡耐庋?,反過來,“對頂角”的外延就不包含“相等的角”的外延,因此,逆命題不正確。
易知,當一命題的前提的外延與結論的外延一致(即兩個概念是同一概念,它們相互包含)時,這個命題與它的逆命題等效(真則同真,假則同假)。例如“等腰三角形頂角的平分線是底邊的中垂線”這個命題,由于一個角的平分線是唯一存在的,底邊的中垂線也是唯一存在的,因此只要證明了“等腰三角形頂角的平分線是底邊的中垂線”,則“等腰三角形底邊的中垂線是頂角的平分線”的正確性就確信無疑了。
一個命題的前提和結論都唯一存在,它們所指的概念的外延相同,這樣的命題與其逆命題等效,這個就是同一原理。當一個命題不容易直接證明時,我們只要分析它符合同一原理(即前提和結論都唯一存在,它們所指的概念的外延一致),就可以轉而證明它的逆命題,只要它的逆命題正確,這個命題就正確了,這種證法就是同一法。
二、怎樣應用同一法
同一法常用于證明某圖形具有某種性質,而這個命題符合同一原理,采用同一法證明時,一般分下面四個步驟(當然具體證明過程,可以不明顯地寫成這四個步驟):
1、作出具有某性質的圖形;
2、證明所作圖形與已知條件相符;
3、根據唯一性,所作圖形與已知圖形相合;
4、判斷己知圖形具有某性質。
例1:梯形兩底的和等于一腰,則這腰與兩底的夾角平分線通過另一腰的中點。
己知、求證。略
分析:如圖一,由于 A, B的平分線是唯一存在的,腰CD的中點也是唯一存在的,因此要證A,B的平分線通過CD的中點,可以反過來做;先取CD的中E,連AE,BE,只要能證明AE,BE分別是A,B的平分線就可以了。
證明:分別取腰CD,AB的中點E,F,連AE,BE,FE,則FE= (AD+BC)
已知:AB=(AD+BC)
故:FE = AB
因而AF=FE,BF=FE
故 FAE= FEA,FBE =FEB
又由,AD//FE//BC,得 FEA = EAD,FEB= EBC
因而 FAE= EAD,FBE= EBC
即AE,BE分別是 A,B的平分線。
例2:以正方形的一邊為底向形內作一等腰三角形,若它的底角等于15,則將它的頂點與正方形另兩頂點連結時,必構成一個正三角形。
己知:E為正方形ABCD內部一點,且 EAD= ZEDA =15
求證:△EBC為正三角形
分析:以AD為底向正方形內做一等腰三角形,使底角為15,這樣的三角形是唯一存在的,即頂角E唯一確定。以BC為一邊向形內作正三角形也是唯一存在的。因此,先以BC為一邊向正方形內作一正三角形。只要能證明這個正三角形的第三個頂點與A、D連結的線段都和AD構成15角就行了。
證明:以BC為一邊向正方形內作正三角形BCE',連E'A,E'D,由BE'= BC=BA,因而△BE'A為等腰三角形,又由 E'BA=30 ,故 E'AB=75 ,因而 E'AD=15,同樣可 E'DA=15 ,故E'與E重合,即證明△BCE為正三角形。
三、用同一法時應注意的幾個問題
1、對于一個命題的前提和結論都“唯一存在”應當有正確的理解。初學的人,往往把一個命題的前提和結論只包含一個條件,誤認為是一個符合同一原理的命題。如以為“凡直角都相等”是前提與結論都唯一存在的命題,符合同一原理,因而認為逆命題“凡相等的角
都是直角”也應正確,這顯然是錯誤的。這里要注意“唯一存在”是指圖形具有某種性質而言,“只有一個條件”是指條件的個數,這是應當加以區別的。如例1中的前提細分起來有三個條件,結論有兩條(當然可以看成是兩個命題合成的)。在分析時抓住了具有“唯一存在”性質的一個前提條件“角平分線”和一個結論事項“一腰的中點”進行交換,其余條件不動,這樣的命題是符合同一原理的,因而可用同一法證明它。
2、同一法與反證法的關系。能夠用同一法證明的命題,都可以改用反證法證明,只要把矛盾引向“唯一存在”性質上面去就行了。因而,可以這樣簡單地說:同一法就是根據“唯一存在”性質,判斷所作具有某性質的圖形(下接第323頁)