關于“一致有界的一族無窮小的積是無窮小”定理

姚 瓊， 楊漢生

(電子科技大學中山學院計算機學院，廣東中山528400)

1 引 言

國內外的微積分、高等數學和數學專業數學分析教材，在有關“無窮小的積的運算法則”的論述時[1-3]，有的教材明確指出“有限個無窮小的積是無窮小”，有的教材則含糊地指出“無窮小的積是無窮小”.執教者經常面臨歷屆學生中“無窮個無窮小的積是否是無窮小”的疑問；執教者課后之間對此問題有時也眾說紛紜、莫衷一是[4-7].微積分學的基礎是極限理論，極限理論的最終本質離不開無窮小.現代非標準分析事實上激活了微積分學發展歷史中極為關鍵的“無窮小分析”，因此，本文關于“一致有界的一族無窮小的積是無窮小”的命題，關于特定的“一族一致有界無窮小”的概念，或許能對深入研討“無窮小分析理論”起到一點拋磚引玉的作用.

2 定義與定理證明

定義1設αλ(x),λ∈Γ(注：在實分析中，Γ表示有限、可數無窮或不可數無窮指標集)是一族當x→x0時的無窮小，如果存在正數M∈(0,1)和δ>0，使得對于滿足不等式0

定理1設αk(x)(1≤k≤n)是有限個當x→x0時的無窮小，則這有限個無窮小αk(x) (1≤k≤n)在點x0附近必然是一致有界的.

定理2設{αλ(x),λ∈Γ}是一族當x→x0時的無窮小并且在點x0附近一致有界，那么，這一族無窮小的乘積αλ(x)仍然是無窮小.

根據定理1，有限個(當x→x0時的)無窮小在點x0附近必然是是一致有界的.由定理2，自然會得到以下結論.

定義4設αλ(x),λ∈Γ是一族當x→∞時的無窮小.如果存在正數M∈(0,1)和X>0，使得對于滿足不等式|x|>X的一切x和一切λ∈Γ，都有αλ(x)≤M,則稱這一族(當x→∞時的)無窮小{αλ(x),λ∈Γ}一致有界.

定義5設αλ(x),λ∈Γ是一族當x→-∞時的無窮小.如果存在正數M∈(0,1)和X>0，使得對于滿足不等式x<-X的一切x和一切λ∈Γ，都有αλ(x)≤M,則稱這一族(當x→-∞時的)無窮小{αλ(x),λ∈Γ}一致有界.

定義6設αλ(x),λ∈Γ是一族當x→+∞時的無窮小.如果存在正數M∈(0,1)和X>0，使得對于滿足不等式x>X的一切x和一切λ∈Γ，都有αλ(x)≤M,則稱這一族(當x→+∞時的)無窮小{αλ(x),λ∈Γ}一致有界.

3 結 論

綜上所述，我們就可以得到以下整體性的結論.

定理5有限個(當x→□時的)無窮小是一致有界的.

由于現有絕大多數微積分和數學分析教材中沒有涉及無窮個無窮小的積是無窮小的定理或命題，解決此類問題迄今為止還沒有理論依據.現在，本文給出的定理2就可以順利搞定這類問題.

[參 考 文 獻]

[1] (美)芬尼，韋爾，吉爾當諾. 托馬斯微積分[M]. 10版. 北京：高等教育出版社，2004.

[2] 鄧東皋，尹小玲.數學分析簡明教程[M].2版. 北京：高等教育出版社，2006.

[3] 同濟大學數學系.高等數學(同濟第六版)[M].6版. 北京：高等教育出版社，2007.

[4] 李猛,胡時財. 無窮個無窮小之積是無窮小嗎——兼談一種特殊無限個無窮小的積[J]. 科技創新導報,2008(1):123-124.

[5] 張峰. 再談“無窮多個無窮小之積”[J]. 數學學習,1994(3):6-7.

[6] 黃紅芳,溫新苗. 關于無窮小性質的研究[J]. 河北北方學院學報(自然科學版).2009,25(1):16-19.

[7] 范允征,倪建平,蔡蕃.一種特殊無限個無窮小的積[J].西北紡織工學院學報,1997,11(4):387-390.