從幾何的角度看微分中值定理

曾可依

(重慶大學數學與統計學院，重慶401331)

1 引 言

數學分析中的微分中值定理是指Rolle，Lagrange，Cauchy三個微分中值定理.它們是數學分析中的基本內容.不同的教材處理這三個定理的方式也不盡相同.一般有兩種方式：一種是按認識事物的過程來講解，即先介紹Rolle中值定理，再利用它構造輔助函數來證明Lagrange中值定理，最后推廣到Cauchy中值定理[1]；另一種處理方式是先證明Rolle中值定理，然后統一地處理Lagrange中值定理和Cauchy中值定理[2].

關于微分中值定理的研究有很多方面， 主要涉及它的證明及其應用[4].例如，利用微分中值定理去判斷函數的零點、函數的最值點、求函數的極限、證明一些特殊的不等式以及導數的估計等等.在證明或應用微分中值定理時，往往會提及中值定理的幾何意義，一般不夠深刻.本文將系統地闡述這三個中值定理背后所隱藏的幾何背景，并不強調它們的證明或應用.幾何上，我們將指出這三個定理本質上其實是一回事.

2 2合同變換

〈v,w〉∶=x1x2+y1y2,

O(2)={T是2×2矩陣|T·Tt=I2}.

3 2中曲線的相切

按照運動學的觀點，平面上的曲線可以理解為一個質點在一段時間內在平面上運動的軌跡.數學上，平面上的曲線可以看成從開區間(a,b)到2的一個映射，即

下面我們給出曲線相切的定義，即

則稱曲線γ1(t),γ2(t)在P點相切.

證設曲線

γ1(t)=(x1(t),y1(t)),γ2(t)=(x2(t),y2(t)),t∈(-ε,ε);

由已知條件并注意到P0是常值向量，可得

;

4 微分中值定理的幾何觀點

本節我們將利用前面的準備知識，從幾何的角度去看這三個微分中值定理.

Rolle中值定理設f是[a,b]上的連續函數，在(a,b)內可導，且f(a)=f(b)，那么存在一點ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0.

圖1

如圖1所示，Rolle中值定理的幾何等價說法是：對于第一類可導曲線γ(x)=(x,f(x))，在定理的條件下，則存在γ(x)上的一點γ(ξ)，ξ∈(a,b)，以及一條直線lξ滿足：

(i)lξ過點γ(ξ);

(ii)lξ的斜率k=0；

(iii)lξ與γ(x)相切于點γ(ξ).

Lagrange中值定理設f是[a,b]上的連續函數，在(a,b)內可導，那么存在一點ξ∈(a,b)，使得

圖2

類似于Rolle中值定理，如圖2所示，Lagrange中值定理是說：對于端點不在水平直線上的第一類可導曲線γ(x)，在定理的條件下，則存在γ(x)上的一點γ(ξ)，ξ∈(a,b)，以及一條直線lξ滿足：

(i)lξ過點γ(ξ);

(iii)lξ與γ(x)相切于點γ(ξ).

圖3

Cauchy中值定理設f和g是[a,b]上的連續函數，在(a,b)內可導，且當x∈(a,b)時g′(x)≠0，那么存在一點ξ∈(a,b)，使得

在Rolle和Lagrange中值定理的幾何描述時，所遇到的曲線是第一類可導曲線.下面我們指出Cauchy中值定理事實上是Lagrange中值定理的第二類曲線版本.事實上，x∈(a,b)時g′(x)≠0，根據導數的介值性，我們可以假定當x∈(a,b)時g′(x)>0，即函數t=g(x)嚴格單調增.因此，函數t=g(x)可逆，記為x=g-1(t).因此，第二類曲線γ(x)=(g(x),f(x)),x∈(a,b)，可以改寫為第一類曲線：γ(t)=(t,F(t))，其中t∈(g(a),g(b))，F(t)=f(g-1(t)).

注意到，

從而對γ(t)運用Lagrange中值定理便得到Cauchy中值定理.

綜上所述，我們可以說Rolle中值定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理是歐氏幾何學中曲線相切這一現象在不同坐標系中或在不同曲線的表示形式下的各種描述，其幾何本質是相同的.

[參 考 文 獻]

[1] 陳紀修，於崇華，金路.數學分析(上冊)[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 常庚哲，史濟懷.數學分析教程(上冊)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 彭家貴，陳卿.微分幾何[M].北京：高等教育出版社，2002.

[4] 張慶娜.微分中值定理及其應用[D].安陽師范學院畢業論文，2010.