關于的證明及應用

劉愛春， 祁根鎖

(呼和浩特民族學院數學系， 呼和浩特010051)

1 引 言

(1)

2的證明

關于(1)式成立的證明，一般教科書及常見資料上通常采用對函數f(x)=x2在[-π,π]展成傅立葉級數，并在x=π這一點取值時即可證得[2].本文將給出其他幾種證明方法.

(i)利用傅立葉級數證明法

即?x∈[-π,π]，有

證法1將函數f(x)=|x|在[-π,π]展成傅立葉級數.因為f(x)=|x|在[-π,π]是偶函數，有

于是

特別地，當x=π時，有

而

所以(1)式成立.

證法2將函數f(x)=x+x2在(-π,π)上展成傅立葉級數.將f(x)作周期為2π的延拓,則

由收斂定理，對?x∈(-π,π)，有

所以(1)式成立.

因f(x)在(0，2π)上連續，由收斂定理知 ?x∈(0,2π)，有

在端點x=0和x=2π處，其傅立葉級數收斂于

令x=2π，有

所以(1)式成立.

故由收斂定理，得

(ii)利用反三角函數證明法

證明中用到下列結果：

(2)

② arcsinx在[-1，1]上的級數展開式

(3)

(4)

因此有

所以(1)式成立.

(iii)利用三角恒等式證明法

由

(5)

sin-2x>x-2>cot2x=sin-2x-1.

(6)

3的應用

(i)在求積分題中的應用

逐項積分，得

故

另解

(ii)在證明題中的應用

F(x)=f(x)+f(1-x)+(lnx)[ln(1-x)]，

則F(x)在(0,1)連續.

其中

所以

因此F(x)在(0,1)上為常數.又因為

綜上可知，當0

[參 考 文 獻]

[1] 王曉勤. 歐拉與自然數平方倒數和[J]. 曲阜師范大學學報, 2002, 28 (4):29-33.

[2] 劉玉璉. 數學分析講義(下冊)[M]. 4版.北京：高等教育出版社,2004.

[3] 陳傳章. 數學分析(下冊)[M]. 2版.北京：高等教育出版社,2004.

[4] 陳紀修. 數學分析(下冊)[M]. 北京：高等教育出版社,2000.

[5] 胡雁軍. 數學分析中的證題方法與難題選解[M]. 鄭州：河南大學出版社,1985.