一類具有交叉擴散的捕食-食餌模型的局部分歧＊

何 堤，容躍堂，王曉麗，董苗娜

（西安工程大學 理學院，西安710048）

由于種群間的相互影響在種群擴散中起很重要的作用，在實際應用中帶有交叉擴散項的情況更能準確的反應捕食活動中捕食者和食餌的關系，因此研究帶有交叉擴散項的捕食-食餌模型具有重要意義．近年來，許多學者致力于帶有交叉擴散項的捕食-食餌模型的研究，也取得了重要的研究成果．文獻［1］利用擾動理論、分歧理論、算子譜理論及Turing理論研究了一類捕食模型正常數平衡態解的穩定性與分歧；文獻［2-3］利用局部分歧定理和全局分歧定理研究了一類捕食模型正平衡解的局部分歧以及全局分歧；文獻［4］研究了一類帶有Holling II功能反應函數的捕食-食餌模型的局部分歧；文獻［5］研究了一類具有交叉擴散的捕食模型正解的存在性以及全局分歧．鑒于帶有交叉擴散項的捕食-食餌模型具體類型較多，文獻［6］研究了該模型無交叉擴散和自擴散的情形，利用分歧理論得到了正解的存在性、局部唯一性和穩定性；文獻［7］考慮具有交叉擴散的影響，討論了模型正解的存在性以及正解的先驗估計．然而上述研究并未考慮交叉擴散與自擴散同時存在時捕食者和食餌的關系，為此，文中研究具有交叉擴散和自擴散項的捕食-食餌模型在齊次Dirichlet邊界條件下正解的存在性．

1 解的先驗估計

式中：Ω為Rn中具有光滑邊界?Ω上的有界區域；Δ為Laplace算子；u，v分別表示食餌和捕食者的分布密度；a，b，c，m1，m2均為正常數；α1，β2為自擴散系數；α2，β1為交叉擴散系數．

考慮式（1）對應的平衡態系統

2 分歧正解的存在性

3 結論

［1］ 周冬梅，李艷玲．一類捕食模型正常數平衡態解的穩定性及分歧［J］．科學技術與工程，2010，10（23）：5615．ZHOU Dong-mei，LI Yan-ling．Stability and Bifurcation of Positive Constant Steady-state Solution for Predator-prey Model ［J］．Science Technology and Engineering，2010，10（23）：5615．（in Chinese）

［2］ 李海俠，李艷玲．一類捕食模型正平衡解的整體分歧［J］．西北師范大學學報：自然科學版，2006，42（2）：8．LI Hai-xia，LI Yan-ling．Bifurcation of Positive Steady-state Solution for a Kind of Predator-prey Model［J］．Journal of Northwest Normal University：Natural Science Edition，2006，42（2）：8．（in Chinese）

［3］ 馬曉麗．一類具有交叉擴散的捕食模型的整體分歧［J］．西安工業大學學報，2010，30（5）：506．MA Xiao-li．Global Bifurcation for a Predator-prey Model with Cross-diffusion［J］．Journal of Xi’an Technological University，2010，30（5）：506．（in Chinese）

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［7］ 馬曉麗，馮孝周．一類具有交叉擴散的捕食模型正解的存在性［J］．安徽大學學報：自然科學版，2011，35（5）：26．MA Xiao-li，FENG Xiao-zhou．The Existence of Positive Solutions to a Predator-prey Model with Crossdiffusion ［J］，Journal of Anhui University：Natural Science Edition，2011，35（5）：26．（in Chinese）

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［11］ 張航國，容躍堂，黨蘇娟．一類帶有交叉擴散的捕食-食餌模型的全局分歧［J］．紡織高?；A科學學報，2013，26（3）：338．ZHANG Hang-guo，RONG Yue-tang，DANG Sujuan．Global Bifurcation for a Kind of Predator-prey Model with Cross-diffusion［J］．Basic Sciences Journal of Textile Universities，2013，26（3）：338．（in Chinese）

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