淺談如何在數學教學中通過解題發展學生的數學思維

張 華（河北省秦皇島市山海關第一中學066200）

淺談如何在數學教學中通過解題發展學生的數學思維

張 華（河北省秦皇島市山海關第一中學066200）

數學解題在學習高度抽象與嚴謹的數學理論中，起到了理論聯系實際的作用，通過數學解題可以實現數學思維的發散、與收斂；培養學生的聯想思維、邏輯思維與歸納思維；優化學生的思維結構，提升思維品質。本文主要從下幾個方面闡述了如何通過數學解題發展學生的數學思維：一、精心選擇習題進行解題教學；二、注重審題和解題思路的探索過程，培養學生的聯想思維與邏輯思維；三、注重“一題多解”“一題多變”“多解歸一”，優化學生的知識結構，發散學生的數學思維；四、強化學生的解題反思，優化學生的思維結構，提升思維品質。

數學解題數學思維

解題是中學生數學學習的主要活動，合理的數學解題活動有助于加深對基礎知識的理解與鞏固，有助于形成和完善合理的數學認知結構，從而提高學生的思維品質和數學能力。然而，解題是學好數學的必要條件，但絕對不是充分條件。解題的數量與學習的質量不成正比，與成績也不是絕對的相關，有時甚至起反作用。那么，如何在教學過程中開展解題活動，既能發揮解題的巨大作用，又能避免解題帶來的消極影響呢？下面是我以一個題目的解題教學為例，介紹一下我在教學實踐中積累的一些不成熟的做法。

題目：在銳角△ABC中內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c。已知A=60°，a=6，b+c=8求△ABC的面積。

首先，精心選擇習題進行解題教學。

解題的數量與學習的質量并不成正比，課堂中的習題量過大，將會使學生忙于應付，而無暇分析、總結解題方法和題目中涉及的知識點，以及許多題目中存在的本質思想，并不利于學生對知識的消化吸收。因此，在解題教學中要精心選擇題目讓學生進行解答，只有精心選擇的問題，才能夠起到事半功倍的效果。

上面的題目是2013年浙江（文）第18題的第二問，該題目既可以利用正弦定理也可以利用余弦定理進行求解，而且，通過對題目的合理變式，可以引導學生發現解三角形的本質。因此，在解三角形的教學中我選擇了這個題目進行教學。

其次，注重審題和解題思路的探索過程，培養學生的聯想思維與邏輯思維。

審題是解題的開始，認真、仔細的審題，能夠有效地挖掘題目中蘊涵的信息，提高解題的正確率和速度。尋找解題思路是解題活動中關鍵的一步，它直接關系到能否完成解題活動。通過審題和解題思路的探索，建立起已知、未知與已掌握知識之間的連接，發現解題途徑，提高解題能力。引導學生探索解題思路有利于培養學生的聯想思維與邏輯思維。那么，我們應該如何引導學生進行審題和探索解題思路呢？我進行了以下兩點的嘗試，取得了很好的效果。

一、引導學生發現題目中顯見的信息和隱藏的信息有哪些？

如：題目中顯見的信息為已知的三個條件。

隱含的信息為：1.cosA＞0，cosB＞0，cosC＞0；

2.A+B＞90°，A+C＞90°則30°＜B＜90°，30°＜C＜90°。

二、引導學生思考題目中的信息能夠給我們帶來哪些聯想？

1.【題目】中的A=60°，a=6會讓我們聯想到解三角形的余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，將A= 60°，a=6代入，可得到一個關于b，c的方程，再結合已知條件b+c=8，利用方程思想可解得b，c，從而此三角形可解，自然可求得S△ABC。

在審題與探索思路的過程中不僅滲透了方程思想的應用，而且培養了學生的聯想思維和邏輯思維。

再次，注重“一題多解”“一題多變”“多解歸一”，發散學生的數學思維，優化學生的知識結構。

對于同一個題目，教師有意識地激發學生從不同的角度、不同的結構形式去思考，用不同的思路去解答同一個問題，可以提高學生思維的創造性、靈活性，使學生在積極主動的狀態下探索，為學生的思維發散提供情景、條件和機會。

對于上面的【題目】，學生通過審題分析，給出了如下的兩種方法:

方法1：在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA有b2+c2-bc=36①，

在授課時，學生都覺得思路易理解但是過程太繁瑣，于是，有了下面的改進方法。

將這兩種方法進行對比，可以明顯看出，方法二中利用了“整體思想”只需求出bc即可，而不需要分別求出b，c的值。而且，在計算過程中，分析到了b2+c2與b+c的關系：b2+c2=（b+c）2-2bc，然后將b+c整體代入進行求解，大大簡化了運算量。

學生對于這幾種方法表示認同，但是，在學生的腦海里這些知識仍然是零散的，這時，進行“多解歸一”的啟發和引導就顯得非常必要。

對于第一種方法，是將已知條件轉換為關于b，c的方程，再進一步求出面積。本題也可以借助于正弦定理和方程思想求解。這兩種方法均體現了方程思想。而且，從解答的結果分析，我們可以求出這個三角形的b，c，∠B，∠C，S△ABC，即此三角形可解。在教學過程中，我進行了如下追問：“若將結論與b+c=8互換，其他條件不變，能否求解呢？”學生快速地給出了答案。我繼續追問：“若用A=60°與結論對調呢？”，“若用a=6與結論對調呢？”這時學生很快意識到了問題的本質，對于一個三角形，若已知三個不同的條件（至少一個條件指向邊），則此三角形可解。學生都為這一發現而興奮，學生的知識結構也同時得到了優化。但是，如果我們在這里淺嘗輒止，那么，這個題目的作用還沒有完全發揮出來，有種“不夠勁兒”的感覺。于是我又進行了下面的追問：“如果我將條件中的b+c=8去掉，那么三角形還能解么？”，答案當然是否定的，這時三角形不唯一。我繼續追問：“那么，我們能否求出三角形面積的最大值呢？”（這時，我們就將這個問題變式為了2013新課標Ⅱ（理）第17題第2問的高考題）。

學生通過認真思考和小組合作，給出了如下作答：

我繼續追問：若保留條件能否求出的最大值呢？（就轉化為了2009年福建（理）第18題第2問的類型）學生的思維被完全激活了，很快就給出了答案。

通過對題目的變式，學生發現，對于一個三角形來說，如果我們只知道三角形的兩個條件，那么這樣的三角形是不確定的，我們只能得到三角形的部分信息。

由此可見，在整個過程中采用“一題多解”“一題多變”“多解歸一”的教學不僅使學生認識到了如何利用正弦定理和余弦定理解三角形，而且，在解題的過程中，發現了問題的本質。這對于優化學生的知識結構，提高思維的靈活性，提升學生的思維品質，有重要的意義，可以使學生的思維既能散的開，又能聚得攏。

最后，強化學生的解題反思，優化學生的思維結構。

數學是一門邏輯性很強的學科，知識之間有著緊密的內在聯系，這種聯系是否能夠在學生的數學認知結構中建立起來，解題反思是有效地途徑之一。我們知道，知識之間的有效連接在其數學認知結構中越多，越有利于進一步學習，當然也越有利于知識的提取、遷移、舉一反三。培養學生養成解題反思的好習慣，經常對解題進行研究，有利于幫助學生將所學的知識在其數學認知結構中建立起網絡連接，從而使數學認知結構更加完善。

在教學過程中，我主要從以下兩個方面引導學生進行解題反思：

1.對解題過程進行反思。通過對解題過程的反思，能夠將所用到的知識連接起來，通過對問題多種解法的探討，將更多的知識建立起聯系。

2.對知識與思想方法的反思。數學思想方法對數學知識的學習、理論的掌握、問題的解決起著指導作用，因此，在解題反思中，對問題解決過程中用到的思想方法進行反思回顧無疑是有重要意義的。在題目中方程思想的應用可使學生從整體上把握這道題，迅速形成解決這一問題的思路與方法。

波利亞曾在《數學解題》中強調指出：“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練”，“掌握數學就意味著善于解題”。數學教學的本質是數學思維活動的教學，如何在解題過程中發展學生的數學思維，是我一直在教學實踐中探索、鉆研的課題，深知自己的做法還有很多不足和需要完善的地方，我會繼續探索，也非常期待同行們的指導！

[1]馬波.中學數學解題研究[M].北京師范大學出版社，2013.

[2]周春荔.數學思維概論[M].北京師范大學出版社，2012.

（責編 趙建榮）