三角函數最值問題總結

李曉蕓（甘肅省張掖市第二中學734000）

三角函數最值問題總結

李曉蕓（甘肅省張掖市第二中學734000）

三角函數的最值問題是三角函數基礎知識的綜合運用，是高考的重點內容，同時也是難點。由于三角函數的最值問題涉及的廣泛性、綜合性、靈活性較強，解決起來往往不是那么容易，針對這類問題，我們只要找到恰當的方法，問題就能迎刃而解，下面就這幾類問題介紹幾種求三角函數最值問題的方法。

三角函數最值問題轉換法

一、前言

三角函數是中學數學的重要內容，同時也是以后的數學學習所必須的內容。由于三角和代數、幾何知識的密切聯系，它又是研究其他相關知識的重要工具。在復數的三角形式、參數方程、幾何計算以及某些代數問題中都有著十分廣泛的應用。

三角函數主要體現了等價的數學思想，三角函數問題無論是三角函數的求值題、求最值題、綜合題、探索題還是應用題，均以考查三角變換為核心，所以熟練掌握并能靈活應用有關三角函數的公式，掌握變換技巧與方法對高中生來說是很必要的。三角函數的最值問題是歷年來高考的必考內容，同時也是難點，如果找不到這類問題求解的“技巧”，遇到這種問題時往往無從下手，本文從基本的方法入手，介紹三角函數的最值問題的求解。

二、三角函數的最值問題

這種題型大致可以分為三類：化為正弦函數或余弦函數，然后利用三角函數的有界性進行求解；換元法求函數的最值；利用基本不等式求函數的最值；利用一元二次函數的根的判別法求函數的最值。

（一）利用函數的有界性，求三角函數的最值

注：以上介紹的是關于cosx的這類題型的計算，當然，關于的題目，類似的可如法刨制。

（二）換元法求函數最值

基本思想：在僅含有sinx+cosx（或sinxcosx），sinx·cosx的有理式中，設sinx+cosx=t（或sinx-cosx=t），則sinx·cosx=（或sinx·cosx=），原式可化為只含有t的有理式。

例3：求函數y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值。

注：這類題型相對較簡單，沒有什么難度，同學們只要知道了這個解題的方法，再次遇到這種題時就可很容易的求出函數的最值。

（三）利用基本不等式求函數的最值

基本思想：這里所說的基本不等式用得最多的就是均值不等式，當然，其他常用的不等式也在我們的選擇范圍之內，在利用基本不等式求最值時，需要考慮到以下三個條件：1.各項都是正值；2.各項之和（或之積）為定值；3.等號能夠成立。

不等式的運用不好掌握，到底該選哪個不等式，要具體題目具體分析，選對不等式，也不一定能夠做出題目，往往還要結合拆項、添項、湊系數等技巧才能完整的解決所求問題，因此，在求函數最值問題上，同學們一定要練習自己的發散思維，力爭做到靈活運用不等式，而不是死記硬背。

（四）利用一元二次函數根的判別法求函數最值

基本思想：其主要思想就是把所求函數的最值問題經過等價變形，化為一元二次函數的形式，然后再利用一元二次函數的判別式進行計算。

（y-1）tan2θ+（y+1）tanθ+y-1=0

（1）當y-1=0時，即y=1時，tanθ=0，∴θ=kπ（k∈Z）

（2）當y-1≠0，即y≠1，由△=(y+1)2-4(y-1)2≥0解得≤y≤3.則由（1）（2）可知所求函數的最大值為3，最小值為

注：此方法運用時應注意分類討論，原函數化為一元二次函數的形式后，并不一定為一元二次函數，一定要分二次項系數為零和不為零進行討論。

三、結語

以上四種題型是求函數最值最常用的方法，其中第一種方法較為簡單；第三種方法稍有點難度，只要適當的選取不等式就可以解決問題；第二種和第四種方法都用到了分類討論的思想，做起來稍微有點復雜，但難度不大，只要學生用心，題目都可以做對，當然，函數最值問題還有很多的其他辦法，不管哪種辦法，學生都要深化為自己的東西，才能靈活的解決此類問題。

[1]呂浦.幾種三角函數的最值問題[J].中學生數學，2004（9）.

[2]段剛山.探求一類三角函數的最值問題[J].數學通報，2008（6）.

[3]楊海英.對于三角函數最值問題的幾點思考[J].考試周刊，2007（48）.

（責編 趙建榮）