對一道數學高考題的多種解法的剖析與思考

楊元松（甘肅省平涼市莊浪一中744600）

對一道數學高考題的多種解法的剖析與思考

楊元松（甘肅省平涼市莊浪一中744600）

對高考題的探索不僅能夠更加清晰地認識命題人的思想，尋找命題的背景材料，追根溯源，還可以開發試題的教學功效，提高教師的專業技能。每一年的高考題其實都蘊涵著豐富的內容。本文擬對2007年重慶卷文科11題的處理思想進行說明，期望能達到拋磚引玉的效果，對同仁有所幫助。

該題是2014陜西卷高考第21題：設函數f (x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導函數。

(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表達式；

(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數a的取值范圍；

(3)設n∈N＋，比較g(1)＋g(2)＋…＋g(n)與n－f (n)的大小，并加以證明。

下面用數學歸納法證明：

由①②可知，結論對n∈N＋成立。

(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立。設φ(x)＝ln(1＋x)－ax(x≥0)，則φ′1＋x當a≤1時，φ′(x)≥0 (僅當x＝0，a＝1時等號成立)，

∴φ(x)在[0，＋∞)上單調遞增，又φ(0)＝0，∴φ (x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1時，ln(1＋x)≥恒成立(僅當x＝0時等號成立)。當a＞1時，對x∈(0，a－1]有φ′(x)＜0，∴φ(x)在(0，a－1]上單調遞減，∴φ(a－1)＜φ(0)＝0.，即a＞1時，存在x＞0，使φ (x)＜0，故知ln(1＋x)≥不恒成立。

綜上可知，a的取值范圍是(－∞，1]。

高考試題中我們看到導數在中學數學中的重要作用和地位。不僅如此從近幾年新課程高考試題中也反映出導數及其應用已成為高考的新熱點，特別是利用導數求函數的單調區間、求函數的極大（?。┲?、求函數在連續區間上的最大值和最小值、利用求導解決一些實際應用問題等考查點。導數的思想方法和基本理論有著廣泛的應用，除對中學數學有重要的指導作用外，也能在中學數學的許多問題上起到居高臨下和以簡化繁的作用。本文對2007年數學高考試題中有關運用導數解決問題的試題進行分析，看如何運用導數解決中學數學中相關問題：如函數單調性、最值等函數問題；在掌握導數的相關概念的基礎上應用導數作出特殊函數的圖像；應用導數解題的一般方法證明某些不等式的成立和解決數列的有關問題，再根據導數所具有的幾何意義對切線相關問題及平行問題等幾何問題進行了一些探討，并最終運用導數解決實際問題中的最值。

綜上所述，高三階段的學習需要我們組織學生對高考試題做更為綜合性的分析與研究。把高考試題與我們的平時教學相結合。從學生實際出發，通過對高考試題的分析與研究來提高學生對知識的綜合運用能力以及學生對高考試題的適應能力。當然，我們的教學應以提高學生的綜合能力為主，對于高考試題的分析主要是為了提高學生對知識的綜合掌握，應得到每一名數學教師的重視。

（責編 趙建榮）