函數圖像
——連接物理和數學的橋梁

趙愛冬（江蘇省南京市新城初中黃山路分校210019）

函數圖像
——連接物理和數學的橋梁

趙愛冬（江蘇省南京市新城初中黃山路分校210019）

數理不分家，利用數學函數圖像來解物理題尤其驗證了這一點。數學函數圖像具有形象、直觀的特點，圖像中的橫坐標和縱坐標上有很多點，能夠動態顯示物理變化的詳細過程，可以清晰表示物理實驗過程中兩個物理量之間的變化規律，使物理問題簡化明了，數據一目了然，而且使抽象的物理概念形象化，枯燥的數據以線條呈現便多了一些靈動，更重要的是它能將物理學科與數學有機地結合起來，增強學生綜合運用知識的能力。

物理數學函數圖像

在學習物理的過程中，我們經常有這樣的體驗：物理量之間是遵循一定的規律的，有些是定性的規律、有些是定量的規律，而這些規律通?？梢杂妹椟c法將若干組相關的物理量分別在數學的橫坐標和縱坐標上進行標注，從而畫出比較完整的函數圖像，利用圖像的視覺感知和初中學生的數學基礎作鋪墊進行定性的科學推理和定量的科學推算，利用數學函數圖像解物理題的優點，不僅可以直接求出或讀出某些待求物理量，還可以用來驗證某些物理規律，測定某些物理量，分析或解決某些復雜的物理過程。

一、利用函數圖像反映物體的運動規律

初中物理的運動學部分相對比較簡單，一般只討論勻速直線運動的情況，所以圖像相對也是特別便于學生觀察，屬于中考的基本題型，在教學中，只要讓學生對橫坐標和縱坐標所分別表示的物理量充分了解，再結合具體的圖線形狀，就不難迅速正確找到答案。

例題1：小明騎自行車上學，開始以正常速度勻速行駛，但行至中途自行車出了故障，只好停下來修車，車修好后，他怕耽誤上課，就比修車前加快了速度繼續勻速行駛，下面是行駛路程s（m）與時間t（min）的關系的圖像，那么符合這個同學行駛情況的圖像是（）

分析：四個圖像均是路程-時間圖像，反映的是隨時間的推移路程的變化情況。題干中的關鍵步驟是：先勻速后停止再勻速，只要認真閱讀題目、仔細觀察圖像之后就不難得出結論：A是先勻速后停止，B是先勻速后勻速，D是先勻速后倒退再勻速，所以正確答案是C。

二、利用函數圖像了解物質的基本屬性

初中物理對于物質的物理屬性有其獨特的解讀方式，有時候我們借助于函數圖像來幫助學生加深理解，提升學生思考問題的深度、拓寬學生理性思維的廣度。利用函數圖像，一些物質的物理屬性變得一目了然。

例題2：水具有反常膨脹的特性。如圖所示為水的密度在0℃～10℃范圍內隨溫度變化的曲線。根據圖像可知，溫度等于℃時，水的密度最大；在0℃～4℃范圍內，水具有（填“熱脹冷縮”或“熱縮冷脹”）的性質。

分析：物質通常具有熱脹冷縮的性質，但也有例外，利用如圖所示圖像，我們可以形象地了解水這種常見物質的不常見的性質，圖像中在0℃～4℃范圍內，水的密度隨著溫度的升高反而在增大，說明在水的質量一定時，水的體積在縮小，導致水的密度在增大，而在溫度大于4℃的情況下，水的密度又變得像通常的物質一樣，溫度越高，體積越大，密度越小。這種密度先變大又變小的過程當中必然有一個最大值，也就是說當溫度為4℃時，密度最大，體積最小。

三、運用函數圖像描述物理量之間的關系

運用數學函數圖像可以體現物理學中的一些研究方法的精髓，比如控制變量法，當某個物理量一定時，用數學函數圖像可以直接看出另兩個物理量之間的關系，是成正比或反比。這是數學在物理中的重要應用，弄清兩個坐標軸各代表什么物理量，從圖像所反映的圖形形狀來確定兩個物理量之間的關系。

例題3：兩定值電阻A、B中的電流與電壓關系如圖所示，現在將A和B串聯后接在電壓為3V的電源兩端，下列分析正確的是（）

A．A的電流大于B的電流

B．A的電阻值大于B的電阻值

C．A兩端的電壓大于B兩端的電壓

D．A消耗的電功率小于B消耗的電功率

分析：如圖所示，無論電阻A還是電阻B，電流隨電壓變化的圖像均為正比例函數，電壓與電流的比值始終不變，其比值等于該電阻的阻值

A：兩電阻串聯，電流相等，所以A錯誤

B：A的電阻為5Ω，B的電阻為10Ω，所以B錯誤

C：根據串聯分壓的特點，電阻越大，所分得電壓越大，所以C也是錯誤的

D：根據電功率計算公式P=UI，可知電流相同，甲兩端電壓較小，所以D是正確的

在探究歐姆定律時，我們分兩個步驟進行，一個是在導體電阻不變的情況下，研究通過導體的電流與導體兩端電壓的關系：另一個是在導體兩端電壓不變的情況下，研究通過導體的電流與導體電阻的關系。通過圖像來解決類似的問題，形象直觀，一目了然，方便快速地找到物理量之間正比或者反比的關系。

利用例題3可以將選擇題改編為填空題：兩定值電阻A、B中的電流與電壓關系如圖所示，現在將A和B串聯后接在電壓為3V的電源兩端，則此時電路中的電流為________A，A和B消耗的電功率之比為_______。

分析：如圖所示，用圖像來解題，關鍵是看物理量之間的關系，由于兩個電阻是串聯，所以電流相等，那么當電流為0.2A時，A電阻和B電阻兩端的電壓分別為1V和2V，相加為電源電壓，所以電路中的電流只能是0.2A；由于從圖像中可知AB電阻之比為1∶2，所以功率之比為1∶2。

類似這樣描述物理量之間關系的還有燃料完全燃燒放出熱量與燃料質量的關系；物體所受浮力與液體密度和浸在液體中體積的關系；同種物質質量與體積的關系；路程與時間、速度的關系等，都可以用函數圖像找出相關物理量之間的函數關系。

四、巧用函數圖像進行動態電路的相關計算

動態電路的計算是初中電學的難點，受學生計算能力、應變能力、綜合分析能力等的限制，學生在進行動態電路的相關計算時往往覺得自信心不足，各種變量糾結在一起，很難理出頭緒，在考慮哪些物理量是定值，哪些物理量是變化的，又遵循怎樣的變化規律這些問題時不容易考慮全面，經常會忽略一些重要的條件，導致失誤。

例題4：如圖所示是電阻甲和乙的U-I圖像，下列說法中不正確的是

A．當電路中電流為0.5A時，甲乙電阻兩端電壓相同

B．當電路中電流增大時，電阻甲電阻不變，電阻乙電阻變大

C．甲、乙串聯在電路中，當電路電流為0.2A時，電源電壓為3V

D．甲、乙并聯在電路中，當電源電壓為2V時，電路總功率為1.2W

分析：甲圖像是一條直線，表示電阻甲是一個定值電阻，而乙圖像是一條曲線，表示電阻乙是一個變化的電阻，利用圖像中已經有的一些數據進行簡單的計算，如對于兩條圖線的交點的理解，電路中電流相同時的數據處理和電壓相同時的數據處理，我們發現ACD都是正確的，僅僅B是無法直接判斷的，我們可以用排斥法進行選擇。

但是如果學生掌握了對于這種圖像題的另外一種處理方法，則在完成這道題時則更加確信無疑，這種方法就是賦值法：當電路中電流為0.1A時，乙電阻阻值為15Ω；當電路中電流為0.2A時，乙電阻阻值為10Ω；當電路中電流為0.4A時，乙電阻阻值約為6Ω，所以當電路中電流增大時，乙電阻的阻值是變小的，這樣從另一個角度驗證了選擇的正確性。

五、函數圖像在物理解題中有許多優點

所以，我們在教學過程中要著重從以下方向對學生進行方法的指導。

（一）明了圖像中橫坐標和縱坐標所對應的物理量的特殊含義

必須先搞清楚縱坐標和橫坐標所代表的物理量的名稱單位，然后明確要描述的這兩個物理量之間的邏輯關系，最后從物理意義上去認識圖像。從圖像的形狀和變化規律總結物理過程的特征，通過物理方法的訓練，使學生能正確利用圖像解決問題，從數學的角度去理解物理問題，比較符合學生的認知習慣，畢竟學生從小學開始學習數學，已經有了相當的基礎，而且教學中的先入為主在教學中是很正常的種現象。所以巧妙運用學生在數學中的優勢來順應物理教學的要求，可謂順勢而為，事半功倍。

（二）巧妙利用圖像中的數據，讓數據說話

在教學過程中，教師是非常垂青于數據的，而學生也尤其對數據情有獨鐘，由于圖像題中橫坐標和縱坐標上含有若干組數據，如何將這若干組數據進行有效查找和正確計算，利用學過的物理知識或者與其他學科知識的整合，從中發現物理量之間的變化規律，成為利用圖像解物理題的關鍵所在。在利用數據進行計算時，一般有三種情況，一種是通過計算，發現利用橫坐標和縱坐標所反映出來的物理量一個定值，也就是說圖線一條直線，是數學中的正比例函數；還有一種是計算出來的物理量是遵循一定的規律變化，二次函數圖像或者是反比例函數圖像，增大或者減小都是與相應的物理知識能夠有機聯系的；第三種則是不規則的圖線形狀，往往與物質的狀態、溫度等有著不可分割的關系。

（三）熟練運用圖像解析法，舉一反三、觸類旁通

圖像解析法是有規律可循的，對其本質有了深入的理解之后，可以起到舉一反三、觸類旁通的作用，類似的題型往往一看就會，不需要多花時間，只在細心地找到切入點，將這個點所對應的兩個物理量進行處理，相應的物理公式和基本概念運用得當，就可以快捷準確地找到正確答案。在平時的教學訓練中，教師要經常收集一些有關圖像的題目讓學生加以訓練，文字題容易讓學生產生疲勞的感覺，視覺上比較單一，一行又一行的字沒有什么變化，如果能夠適度插入一些動態的圖像題，讓學生眼前一亮，精神為之振奮，學生如果能夠深刻體會到圖像法解題的妙處，那么學習的興趣和解題的自信心則會大增，這比任何靈丹妙藥都有用。

總之，運用函數圖像解物理問題是深受學生喜歡的一種解題模式，在物理課上教師用數學方法來解決物理問題時，學生經常會嗔笑道：“這你也懂！”，數學教師在講題時涉及物理知識，學生也會插言道“物理老師剛剛講過！”可見數理結合的方式已經成為學生喜聞樂見的一種教學慣式，函數圖像法作為解決物理問題的一種重要手段，要求教師在平時的教學中善于培養學生識圖、建圖、用圖的能力，努力提高學生的讀圖能力、查找數據的能力、歸納總結的能力、計算推理的能力和邏輯思維的能力。

劉炳昇，李容.《物理》義務教育教科書[M].江蘇科學技術出版社，2013（6）.

（責編 趙建榮）