淺談新課程理念下學生數學思維的培養

賀永在（內蒙古自治區呼和浩特市第二十七中學010000）

淺談新課程理念下學生數學思維的培養

賀永在（內蒙古自治區呼和浩特市第二十七中學010000）

在學科教學過程中教師非常重視培養學生的學科思維，對于數學學科也是如此。初中數學作為初中課程的重要組成部分，同時也是一門工具學科，尤其是在日后的理化學科學習中作用更加明顯。初中階段學習數學一直在強調學生要有數學思維，數學思維強調的是一種能力和素養，也符合當前的新課程改的要求和努力方向，即要把培養學生的創造思維、激發創造力作為時代對教師提出的基本要求。我以“直線和圓的位置關系”一課的教學設計為例，談談具體教學中各個階段上培養學生思維能力、優化思維品質的一點粗淺體會。

一、揭示數學概念產生背景，培養主動性

新課改下強調學生是課堂教學的主體，教師教學效果的呈現與學生在課堂上的參與程度密切相關。初中階段的學生在學習能力上還是有一定的欠缺的，所以盡可能地采用小組探究的學習模式，調動學生學習的熱情，進而讓學生的思維動起來。

問題引入：教師與學生一起觀察課本插圖并以熟悉的海上日出為例切題，這樣就能夠把抽象的知識具體化、形象化、簡單化，然后要求學生把太陽看成是一個圓，那么隨著太陽的不斷升起，這個圓和地面之間的關系也在發生著一定的變化，然后教師可以利用多媒體動態展示這一流程，加深學生印象。緊接著，讓學生拿出提前準備的硬幣做實驗，在一張紙上畫一條直線，然后移動硬幣觀察硬幣和直線的關系，做完實驗后要求學生把發現和同學互相交流一下，把結論告訴全體同學。在此基礎上引入直線與圓的相離、相切、相交三種情形。這樣的教學流程用多種形式給學生呈現所學的知識，同時要求學生親自參與、觀察、探究、總結和交流，無疑會很大程度上調動學生的參與熱情，同時也較好地發揮了學生在課堂教學過程中的主體地位，培養了學生的思維，鍛煉了學生的動手能力，非常符合素質教育的要求。

二、設置情境，培養學生思維的敏捷性

情景式教學模式是新課改下教師采用比較普遍的一種教學方法，在情境式教學模式下通過設計，學生感興趣或者熟知的一些情境，把所學知識滲透其中，既能夠降低學生認知的難度，進一步提升學生的興趣，也能夠刺激學生思維，培養學生思維敏捷性。

情境設計：我們知道平面幾何中用數學量“距離”來刻畫兩平行直線間的相對位置，用數學量“角”來刻畫兩相交直線間的相對位置，（教師用圓形紙片和木棒比劃追問）那么我們用什么來刻劃直線與圓的相對位置呢？用角還是用距離？揭示課題。

先引導學生復習一下點和圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離（點心距）OP＝d，則有：點P在⊙O外d＞r；點P在⊙O上d＝r；點P在⊙O內d＜r。前面我們講了點和圓的位置關系，如果將點P改為直線L呢？能否也用“距離”來刻畫這三種位置關系呢？引導學生運用類比的方法從舊知到新知的遷移中來研究直線與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，直線L到圓心O的距離（線心距）為d，則有：直線L和⊙O相交d＜r；直線和⊙O相切d＝r；直線L和⊙O相離d＞r。

三、認真分析錯題原因，培養學生思維的批判性

在教學中，重視培養學生的觀察思考能力，抓住新、舊知識的聯系，設計出能突破難點的具有對比性的問題，讓學生進行比較，形成新舊知識矛盾沖突，激起他們尋根問底的認知趨向，在改錯中培養思維的批判性。

認知深化：對數學知識的理解要防止片面性。教師要創設求異的情境，鼓勵學生多思、多問、多變，訓練學生勇于質疑，使學生在探索和求異中有所發現和創新。

問題1．⊙O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為d，若直線l與⊙O有公共點，則d的取值范圍是＿＿＿＿＿＿＿。有的學生給出的答案是d＜3，這是由于沒有理解“線圓位置與公共點個數關系”，由于認識片面造成錯誤，關鍵性的字眼沒有引起學生注意，思維不夠嚴謹。

問題2．已知⊙O到直線l的距離為d，⊙O的半徑為r，若d、r是關于x的一元二次方程x2－7x＋12＝0的兩個實數根，則直線l和⊙O的位置關系是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。解該一元二次方程得到它的兩個實數根分別是3和4，這個時候就需要學生分情況討論：一種情況是d＝3、r＝4；另一種情況是d＝4、r＝3。由于個別學生思維疏漏，忽視了需要分情況討論，結果只得出相交或相離這一種情形，觀察事物和審視思維的過程不夠全面，犯了理解片面的毛病。

四、當堂運用新知識，培養學生思維的嚴謹性

數學概念來源于實踐，是對實際問題高度抽象的結果，能更準確地反映科學本質，具有普遍意義。但正是這種概括和抽象的結果，使學生雖學了知識卻不知如何運用。在數學課堂教學中教師應千方百計為學生開展“探索與猜想”創造有利條件。嘗試運用多種方法解決問題，在運用新知中培養思維的嚴謹性。

例題，如圖，已知Rt△ABC的斜邊AB＝8，直角邊AC＝4。

（2）以點C為圓心，分別以2和4為半徑作兩個圓，這兩個圓與直線AB分別有怎樣的位置關系？

分析：（1）根據“直線和圓的位置關系”可知，要使直線AB與⊙C相切，只要d＝r即可。

（2）借助圖形繼續使用d和r的關系進行判定。

解：（1）如圖，過C作CD⊥AB，垂足為D。

當r＝2時，d＞r，⊙C與直線AB相離。當r＝4時，d＜r，⊙C與直線AB相交。

讓學生通過讀題、看圖、計算、分析、比較，找出圓心到直線的距離和圓的半徑之間的數量關系，來揭示直線和圓的位置關系。通過直線與圓的相對運動，也培養了學生運動變化的辯證唯物主義觀點，通過對解題過程的反思，進一步強化對分類和歸納的思想的認識。在這個過程中滲透了把位置問題轉化為數量問題這一化歸的數學思想方法。

五、課后拓展新知識，培養學生思維的建模性

社會的發展，促使我們教師培養學生具有從實際問題中獲取信息，建立數學模型，分析解決問題的基本能力。數學建模是中學數學的一條主線，努力縮短數學課程與生活實際的距離，可使學生的視野更開闊。

問題拓展：右面是一塊三角形的鐵皮，要在它上面截下一塊圓形的用料，如何截取才能使截下來的圓面積最大？用數學眼光看就是使截下來的圓與三角形的三邊都相切。我們以前學過三角形的三條角平分線交于一點，這一點到三條邊的距離相等。以該交點為圓心，以到三邊的距離為半徑作圓，因為線心距d與圓半徑r滿足r＝d，所以作出的圓與三條邊都相切。

落實素質教育的要求，培養全面發展的人才是新時期我國教育體制改革的努力方向，初中階段的教學起著承上啟下的關鍵作用，作為數學教師，在教學實踐中體會到，要培養學生的素質，必須要知識與能力并重，尤其是要注意培養學生的學科思維，這樣他們才能夠喜歡上數學，才能真正學會學數學。

（責編 田彩霞）