準則權重信息不完全的證據推理多屬性決策算法*

李浩

（武警警官學院，成都610213）

準則權重信息不完全的證據推理多屬性決策算法*

李浩

（武警警官學院，成都610213）

針對準則權重信息不完全情況下的多屬性決策問題，提出了一種新的證據推理多屬性決策算法，它通過建立基于證據信息熵的決策模型來求解準則的最優權重系數，利用求解得到的權重系數和遞歸ER算法求出各方案的效用值，進而得到各方案的優劣次序。最后，通過算例分析驗證了該方法的有效性和合理性。

多屬性決策，證據信息熵，ER算法，信息不完全

0 引言

多屬性決策問題是指在考慮決策對象的多個屬性的情況下，選擇最佳備選方案或進行方案排序的決策問題［1］，目前，在事先能確定準則權重的情況下的決策問題已取得了豐富的成果［2-7］，然而，由于客觀事物的復雜性，以及人們思維能力、知識結構和知識水平的局限性，很多情況下，多屬性決策問題的準則權重信息難以確定，一般情況下，人們只能提供其可能的變化范圍［8］，針對這個問題，文獻［9］提出一種基于區間直覺模糊混合平均算子區間直覺模糊多屬性群決策方法，該方法適用于決策準則為直覺模糊數的對象，文獻［10］通過計算方案值與理想點的差異值從而得到屬性權重值，它適用于屬性值是不確定語言變量形式的決策問題，文獻［11］提出了部分權重信息下的一種語言型多屬性決策問題的交互式方法，但該方法需要考慮一些環境因素，如算法的收斂性問題，權重的擾動策略問題等，對分析者有較高的要求，如果環境參數選擇不適當，依然無法獲得令人滿意的權重信息，文獻［12］提出了基于直覺模糊熵的直覺語言多準則決策方法，該方法適用于決策準則值為直覺語言數的決策場合。

1 預備知識

1.1 證據理論

Dempster在1967年首次提出了基于證據的不確定性推理方法，后經Shafer等人擴展，形成了完善的D-S理論［13-14］，它具有處理不確定信息的能力，根據DS證據理論，可得Dempster合成規則如下：

對于?A?Θ，識別框架Θ上的n個mass函數m1，m2，…，mn，通過Dempster合成規則，可將它們合成為：

其中：

1.2 ER算法

Yang等人在D-S理論的基礎上，提出了遞歸證據推理算法（ER算法［15］），算法的基本思想如下：

從定義可以看出，mH，i表示考慮基本指標ei對總體指標y的評估的影響時，在考慮了所有獨立的N個評估等級之后，仍沒有被評估為任何等級的信度。記mn，I（i）為前i個底層指標聚合后的mass值，下面用ER算法以遞歸的方式組合前i個底層指標與第i+1個底層指標的評估，產生新的組合評估：

其中，KI（i+1）稱為歸一化因子，它反映了各證據相互間沖突的程序。

在所有L個底層指標的評估都聚合完成后，使用標準化過程對總體屬性y的評估的組合信度：

通過聚集所有底層指標的評估信息，對總體屬性y產生的總體評估可以使用分布式形式表示為：

假設u（Hn）表示評估等級的效用，此效用可使用一些經典的方法估算，如果總體評估是完全的，則使用下式計算方案αL（l=1，2，…，M）關于系統指標y的期望效用：

如果總體評估是不完全的，則可以計算方案αL的最大、最小和平均效用

2 問題描述

3 決策原理與方法

針對上節所述問題，決策步驟如下：

Step 1規范化處理

首先要將決策統一轉化為分布式評估分析框架，此外，對于成本型的決策問題，準則需要采用i= hP-i進行轉化，為方便起見，經轉化處理后，方案xi在準則cj下的評判值仍然表示為xij={＜h1，m1（xij）＞，＜h2，m2（xij）＞，…，＜hP，mP（xij）＞}。而對于效益型決策，準則無需處理。

Step 2求解最優準則權重系數

方案xi在準則cj組成的證據集合，其證據信息熵越大，信息量越大，不確定性越大，證據信息熵越小，表明證據決策信息量越多，方案越優。

定義證據信息熵：設m為識別框架Θ下的基本概率指派函數，稱：

為證據信息熵，顯然I（m）≥0，當m（A）=1時，I（m）=0達到最小，此時證據完全確定。當m（A1）=m（A2）=…=m（An）=1/n時，I（m）=log2n達到最大。此時證據的不確定性程度最高。結合定義的證據熵，建立如下模型：

由于各方案是公平競爭的，每一個方案的證據信息熵應來自于同一組準則權系數，必須對所有方案進行綜合，可得：

求解線性規劃模型，得到最優權重系數。

Step 3集結方案準則值

利用求得的最優權重系數和第1節的ER算法，求出各方案的效益值，并進行方案排序。

4 實例分析

決策者要對不同的抗干擾方案進行評價，選擇5個準則：抗干擾壓制能力、干擾信號應變能力、雷達抗干擾能力、通信抗干擾能力、抗假目標欺騙能力，分別記為C={c1，c2，…，c5}，由于準則信息不完全，決策者給出準則權重系數為：0.1≤ω1≤0.2，0.05≤ω2≤0.25，0.07≤ω3≤0.15，0.1≤ω4≤0.3，0.15≤ω5≤0.28，現有5種不同的抗干擾方案，各種方案的準則信息如表1所示，試對5種抗干擾方案進行排序。

Step 1規范化處理

由于表1已是分布式評估分析框架，且各指標表明，該決策是效益型決策，因此，不需要對準則進行轉化。

Step 2求解最優準則權重系數

由式（10）求得決策陣中各方案準則值的證據信息熵，如表2所示。

于是可建立如下模型

對模型進行線性規劃求解，得到最優權重系數W=（0.2，0.25，0.15，0.12，0.28）。

Step 3集結方案準則值

利用求得的最優權重系數和第1節的ER算法，得到各方案總體屬性組合評估信息，使用概率方法對各評估等級效能估算（其中，u（H1）=0，u（H2）=0.25，u（H3）=0.5，u（H4）=0.75，u（H5）=1），求出各方案的平均效益值如表3所示。

表3 各抗干擾方案的效能評估

排序結果為x3＞x4＞x5＞x1＞x2，因此，x3抗干擾方案的抗干擾性能最佳。

5 結論

針對準則權重信息不完全、準則值為證據形式的多屬性決策問題，本文通過建立基于證據信息熵的決策模型來求解準則的最優權重系數和遞歸ER算法，可以很好地解決此類問題，所提方法思路清晰，由于算法利用了現有的成熟證據推理算法，使得算法易于實現，算法豐富和發展了證據推理決策算法，為準則值證據形式的多屬性決策開辟了一條新的途徑。

［1］Hwang C L，Yoon K．Multiple Attribute Decision Making: Methods and Applications［M］．New York:Springer-Verlag，1981．

［2］Li D F.Two New Methods for Multi-attribute Decision Makings with Information Partially Known［J］.Journal of Systems Science and Systems Enginerring，1988，17（1）:70-74.

［3］Boran F E，Genc S，Kurt M，et al.A multi-criteria Intuitionistic Fuzzy Group Decision Making for Supplier Selection with TOPSIS Method［J］.Expert Systems with Applications，2009，36（8）:11363-11368.

［4］Wang Y M，Chin K S.A New Data Envelopment Analysis Method for Priority Determination and Group Decision Making in the Analytic Hierarchy Process［J］.European Journal of Operational Research，2009，195（1）:239-250.

［5］Xu Z S.Induced Uncertain Linguistic OWA Operators Applied to Group Decision Making［J］.Information Fusion，2006，7（2）:231-238.

［6］郝丹丹，劉周鑫，王葉菡.基于AHP和模糊評價的高級會計人才綜合素質評價［J］.現代商貿工業，2012（24）: 117-120.

［7］房向榮，周宏安.基于理想解的區間數多屬性決策的相對隸屬度法［J］.西安石油大學學報（自然科學版），2009，24（4）:99-102.

［8］丁勇，梁昌勇，陸文星.不完全指標權重信息下的語言多指標決策方法［J］.系統工程與電子技術，2008，30（11）: 2190-2193.

［9］陳之寧，周存寶，王安.屬性權重不確知的區間直覺模糊群決策方法［J］.兵工自動化，2012，33（1）:33-36.

［10］張堯，樊治平.權重信息不完全的不確定語言多屬性群決策方法［J］.東北大學學報（自然科學版），2010，31（4）:597-600.

［11］劉業政，徐德鵬，姜元春.多屬性群決策中權重自適應調整的方法［J］.系統工程與電子技術，2007，29（1）:45-48.

［12］王堅強，王佩.基于直覺模糊熵的直覺語言多準則決策方法［J］.控制與決策，2012，27（11）:1694-1698.

［13］Dempster A P.Upper and Lower Probabilities Induced by a Multivalued Mapping［J］.Annals of Mathematical Statistics，1967，38（2）:325-339.

［14］Shafer G.A Mathematical Theory of Evidence［M］.Princeton：Princeton University Press，1976.

［15］Yang J B.Rule and Utility Based Evidential Reasoning Approach for Multi-attribute Decision Analysis under Uncertainties［J］.European Journal of Operational Research，2001（131）:31-61.

Evidence Reasoning Algorithm for Multi-criteria Decision-making with Incomplete Attribute Weight Information

LI Hao
（China Officers College of the CAPE，Chengdu 610312，China）

To solve the problem of multi-criteria decision making in which the information on the weights of criteria are incomplete，a new evidence reasoning algorithm for multi-criteria decisionmaking is proposed，which uses the decision-making model built on the base of evidence information entropy to obtain the optimal weights，and the Evidence Reasoning algorithm（ER algorithm）is used to evaluate the alternatives efficiency，and the alternatives can be ranked by the efficiency score.Finally，the effectiveness and rationality of the proposed algorithm are verified by the illustrative example.

multi-criteria decision making，evidence information entropy，Evidence Reasoning algorithm（ER algorithm），incomplete information

E917

A

1002-0640（2015）01-0012-04

2013-10-13

2014-02-25

國防預研基金資助項目（403050202）

李浩（1984-），男，山東濟寧人，碩士，講師。研究方向：軍事系統建模與優化決策。