基于排隊系統的GERT模型的故障裝備數量預測*

邵延君，馬春茂，潘宏俠，劉永姜

（1.中北大學機械工程與自動化學院，太原030051；2.西北機電工程研究所，陜西咸陽712099）

基于排隊系統的GERT模型的故障裝備數量預測*

邵延君1，馬春茂2，潘宏俠1，劉永姜1

（1.中北大學機械工程與自動化學院，太原030051；2.西北機電工程研究所，陜西咸陽712099）

針對排隊維修系統的故障武器裝備數量預測的難點，提出了利用GERT隨機網絡模型對故障武器裝備數量進行預測，GERT隨機網絡模型是一種針對隨機變化的系統的一種網絡描述，恰好能解決故障武器裝備數量的預測問題，準確的故障裝備數量預測是武器裝備科學管理的一個重要環節。通過實例驗證表明，GERT隨機網絡模型是解決故障武器裝備數量預測的一種有效手段和方法。

故障裝備，GERT模型，排隊系統，維修

0 引言

自Erlang開創排隊論至今已經有一百多年的歷史，在社會的各個領域得到了廣泛的應用，經典的排隊論已經是非常成熟的理論，經典的排隊論假設顧客的到達過程是泊松過程，到達的時間服從負指數分布，假設服務系統對顧客的服務過程是一個生滅過程，在這些假設的基礎上，得到了排隊系統中的幾個基本數量指標:平均隊長、平均排隊對長、平均逗留時間、平均等待時間等［1］。在武器裝備維修系統中，如果把故障的裝備看作是顧客，除了經典排隊模型求出的基本數量指標以外，還關心裝備維修系統在運行一段時間以后，整個武器裝備系統發生故障的數量，以便及時安排備件采購和維修人員調配等工作，以免影響裝備的戰斗力水平。但經典的排隊論理論是無法解決這個問題的，因此，考慮在排隊維修系統中引入GERT（Graphical Evaluation Review Technique）隨機網絡模型來對故障裝備數量進行預測。

GERT簡稱圖示評審技術，是一種針對隨機變化的環境條件和系統內部隨機因素共同作用下對系統的一種網絡描述［2-3］。它是將控制論中的信號流圖和概率論中的矩母函數等多種理論和方法相融合的一種方法，當前，它已被廣泛應用在產品回收、再制造、災害演化等很多方面［4-6］。本文建立GERT隨機網絡排隊維修系統的仿真模型，來解決故障的武器裝備數量預測問題，該模型能將排隊維修系統的參數轉化為形象直觀的網絡圖，并通過參數的計算來預測故障的裝備數量，對武器裝備的預防性維修等管理工作具有現實的指導意義。

1 GERT隨機網絡模型的解析算法原理

1.1 矩母函數

對于任意一個隨機變量X，任意一個實數s，令MX（s）是X這個隨機變量的矩母函數，并且定義：

1.2 梅森拓撲方程

此方程可以表述如下：

設：Ti，j為由一個節點i到另一個節點j的等價傳遞系數；xi，xj表示信號流圖中節點i到節點j之間的變量值

式中：pk表示由i到j第k條路徑上的傳遞系數；Δk表示消去與第k條路徑有關的全部節點和箭頭后剩余圖的特征式；Δ表示信號流圖的特征式；Δ=1-∑T（L1）+∑T（L2）-∑T（L3）+…=1-∑奇階環的傳遞系數+∑偶階環的傳遞系數。

1.3 GERT網絡的傳遞函數

信號流圖原理和矩母函數的特征是形成GERT網絡解析算法的基礎。令活動（ij）的條件概率密度函數為f（tij），則得到隨機變量的條件矩母函數為：

令節點i實現時，活動（ij）被執行的概率為pij；并定義活動（ij）的傳遞函數為Wij（s），使得：

對具有傳遞函數Wij（s）的網絡，利用信號流圖的原理，求解它的等效WE（s）函數，然后根據矩母函數的特征進行換算，就得到了網絡圖的等價參數PE和TE，在GERT網絡中，信號流圖原理和矩母函數相互的結合為我們提供了求解隨機網絡的工具。

1.4 GERT網絡求解原理

根據WE（s）=pE×WE（s）

根據矩母函數的特征，當s=0時：

因而，等價概率pE就等于等價傳遞函數WE（s）在s=0時的值。即：

對于任意的GERT網絡，如果能利用梅森公式求解出它的等價傳遞函數WE（s），則就能相應的求得它的矩母函數ME（s）：

根據矩母函數的n階導數在s=0處的數值為隨機變量的n階原點矩這一基本性質，有：

因此，對于一個任意的GERT網絡，首先收集各項活動的參數，用W函數來描述傳遞關系，并利用梅森拓撲方程來求解等價概率和等價傳遞函數WE（s），再根據矩母函數的基本性質，即可反演求得網絡的所有參數。這就是GERT解析算法的基本思路，它可以求任意的節點之間的WE（s），也就是能求出任意兩個節點之間的PE和TE。

2 GERT網絡模型的實例分析

XX防空雷達維修小組負責維修的XX型號雷達共有2臺，另有1臺備用，以便在出現故障時投入使用。假設每臺雷達維修時間和出現故障的間隔時間均服從負指數分布，則該裝備維修服務系統符合輸入過程為泊松過程，服務時間為負指數分布的隨機服務系統，系統容量和顧客總體均為有限，且按先到先服務規則的排隊系統，裝備維修的過程是可以表示為（M/M/1）：（m+n/m/FCFS）排隊系統。

假設每臺雷達的平均故障間隔時間為1/λ，平均修理一臺雷達的時間為1/μ，即λ和μ分別表示平均的故障發生速率和平均修理速率，故障發生速率和平均修理速率之比為λ/μ=1/2，用處于修理和等待修理中的雷達臺數來表示該排隊系統的狀態，用i表示，i=0，1，2，3。

（1）求解狀態轉移概率

對于狀態有限的排隊系統，其系統到達速率與服務速率的關系如表1所示：

表1 到達速率與服務速率的關系

故系統由狀態i轉移到i+1的概率為λi/（λi+μi），而由狀態i轉移到i-1的概率為μi/（λi+μi），則p01=1；p10=1/2；p12=1/2；p21=2/3；p23=1/3；p32=1。

（2）建立GERT網絡模型

由于雷達出現故障的間隔時間和維修時間都服從負指數分布，根據式（2）求各節點間的矩母函數為：

根據式（3）可以得到節點之間的傳遞函數，從而得到該系統的GERT網絡模型如圖1所示。

圖1 GERT網絡模型圖

（3）求解在裝備維修小組正常工作條件下，來求解從全部雷達均處于正常狀態到首次出現雷達全部發生故障，并處于修理或等待修理狀態的期望時間（即首次出現i=3的情況的期望時間），這時可將節點3的引出箭頭刪除，其余各個節點之間的傳遞函數沒有變化，則求得的網絡的源節點（0狀態）傳遞到終結點（3狀態）的期望時間就是雷達全部發生故障并處于修理或等待修理狀態的期望時間。將圖1的GERT網絡模型圖改為圖2的網絡模型圖。

圖2 首次出現雷達全部故障GERT網絡模型圖

首先來求梅森的拓撲方程里面的參數：

①信號流圖的特征式Δ為：

②消去第k條路徑有關的全部節點、箭頭和傳遞系數后的剩余圖的特征式的乘積的和為：

根據式（1）則可以得到0狀態到3狀態的傳遞函數為：

根據式（6），對矩母函數求導，令s＝0，則可以得到雷達由正常運行到首次全部停止運行的期望時間TE為：

根據這個結果可以預測，整個雷達裝備系統由正常運行開始，大約經過7個單位時間，整個雷達裝備系統可能會出現全部停止運行的情況。依據上面的步驟和方法，可繼續利用GERT隨機網絡的解析算法，把任何一個狀態終結點引出的所有箭頭去掉，就可以得到初始狀態到任何一個狀態的首達期望時間，也就能解決系統運行過程中的故障裝備的數量預測問題?？勺C明GERT隨機網絡的解析算法是預測故障裝備數量的一種有效工具。

4 結論

GERT網絡豐富的節點和箭線參數能夠對系統進行恰當的描述，能將復雜的系統過程轉化為直觀形象的網絡圖。GERT網絡模型中的參數能對事件的概率分布進行合理的表達，最重要的是GERT網絡能對整個維修系統運用相應的解析算法，進而求出解析表達式，對系統運行一段時間以后的裝備故障數量進行預測，根據預測的結果可以為裝備的預防性維修等工作提供數據支持，在整個裝備系統發生癱瘓前進行科學的預防性維修。

［1］甘應愛，田豐，李維錚，等.運籌學［M］.北京:清華大學出版社，2009.

［2］馮允成，呂春蓮.隨機網絡及其應用［M］.北京:北京航空航天大學出版社，1987.

［3］Pritsker A A B.Graphical Evaluation and Review Technique［M］.Santa Monica:Rand Corp，1966.

［4］Abdi R，Ghasemzadeh H R，Abdollahpour S，et al.Modeling and Analysis of Mechanization Projects of Wheat Production by GERT Networks［J］.Agricultural Sciences in China，2010，9（7）:1078-1083.

［5］謝家平，趙忠.基于GERT隨機網絡的廢棄回收預測模型研究［J］.管理學報，2010，7（2）:294-300.

［6］方志耕，楊保華，陸志鵬，等.基于Bayes推理的災害演化GERT網絡模型研究［J］.中國管理科學，2009，28（3）：39-42.

Prediction for Number of Faulted Equipment Based on Queuing System GERT Model

SHAO Yan-jun1，MA Chun-mao2，PAN Hong-xia1，LIU Yong-jiang1
（1.School of Mechanical Engineering and Automation，North University of China，Taiyuan 030051，China；
2.North West Institute of Mechanics and Electrics Engineering，Xianyang 712099，China）

Aiming at the difficulty to forecast the number of fault armament of queuing maintenance system，this paper proposes the use of GERT random network model to predict the number of fault armament.GERT random network model，a description of randomly changing system，could just solve the problem of predicting the number of faulted armament.Accurate prediction of the number of fault armament is an important part of the scientific management of armament.Experiments show that，GERT random network model is an effective method to forecast the number of fault armament.

fault equipment，GERT model，queuing system，maintenance

TJ307

A

1002-0640（2015）01-0016-03

2013-11-25

：2014-02-19

國家自然科學基金資助項目（51175480）；山西省自然科學基金資助項目（2012011046-12）

邵延君（1972-），男，內蒙古赤峰人，博士。研究方向：武器裝備的維護與管理、裝備故障診斷等。