階躍響應辨識面積法簡化算法的應用特性

許姍姍，楊平

(上海電力學院 自動化工程學院，上海 200090)

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階躍響應辨識面積法簡化算法的應用特性

許姍姍，楊平

(上海電力學院 自動化工程學院，上海 200090)

摘要：為解決用常用階躍響應辨識方法辨識有噪聲階躍響應數據時誤差大的問題，研究了階躍響應辨識面積法簡化算法的應用特性。通過理論分析和仿真試驗研究，提出了階躍響應辨識面積法簡化算法應用于穩態增益不為1過程、無自平衡過程、有零點過程和有噪聲過程以及未達穩態過程時的處理技術。經過算例驗證，所設計的自動確定階數n的階躍響應面積法辨識算法程序是可行的。研究表明，階躍響應辨識面積法簡化算法具有對噪聲不敏感、辨識精度高和易于用計算機自動執行的優點。

關鍵詞：階躍響應傳遞函數過程辨識噪聲誤差

根據階躍響應數據或曲線辨識出被控過程的數學模型的方法有很多，常用的有圖解建模方法，如切線法和兩點法[1-2]。切線法和兩點法應用于實際工程時，常存在因噪聲或未知擾動疊加在階躍響應數據上而使被控過程數學模型辨識失敗或辨識誤差偏大的問題。為此，筆者展開了對一種基于面積計算的簡化辨識方法的應用特性研究，選擇面積計算辨識方法是因為該方法本質上具有對噪聲或未知擾動不敏感的優秀特性；但該方法應用于實際工程的其他相關特性還需要進一步考察。文獻[3-5]給出了較通用的階躍響應面積法辨識算法，適用面寬，但計算較復雜且應用較困難。文獻[4]指出應用階躍響應面積法辨識算法時有模型階數確定問題并提出了用判斷傳遞函數分子分母多項式系數是否為正的方法。文獻[5]給出了一種較簡單的階躍響應面積法辨識算法，它應用容易但理論上不適用于有零點的被控過程。以下的研究表明，這種階躍響應辨識面積法簡化算法具有應用簡便、對噪聲不敏感和辨識精度高的優越特性。

1階躍響應辨識面積法簡化算法

根據文獻[5]，對于無零點且穩態增益為1的系統傳遞函數：

(1)

有單位階躍響應系統微分方程：

(2)

當t→∞時有終值條件：

(3)

將式(2)的y(t)項移至等式右邊，并在[0， t]上對等式兩端積分，可得：

(4)

若定義：

(5)

則由式(3)可知，當t→∞時：

(6)

將式(4)的a1y(t)移到等式右邊，并在[0, t]上對等式兩端積分，再定義F2(t)：

(7)

則當t→∞時由式(3)可得：

a2=F2(∞)

(8)

由此類推，可得通式

F0(t)=1(i=1, 2, …, n)

(9)

根據式(9)，可設計出計算機可執行的階躍響應辨識面積法簡化算法程序。

式(9)中Fi(∞)的計算是積分計算，也就是面積計算。假設過程響應數據長度為N+1，采樣周期為h，則Fi(∞)的計算可采用數值積分方法。若用矩形公式，可得到式(10)；若用梯形公式，可得到式(11)。

(10)

(11)

2階躍響應辨識面積法簡化算法的應用特性

2.1穩態增益不為1的過程辨識

若待辨識過程的穩態增益不為1，即待辨識過程的傳遞函數如式(12)所示，則可先進行增益標幺化處理，見式(13)，再應用階躍響應辨識面積法簡化算法。實際執行的增益標幺化處理是將原始的階躍響應數據都除以K，形成穩態增益為1過程的階躍響應數據。

(12)

(13)

2.2無自平衡過程辨識

對于無自平衡過程，不能直接用階躍響應辨識面積法簡化算法進行辨識。但是對無自平衡過程的階躍響應函數進行求導運算后，其響應就成為有自平衡過程的階躍響應了。因此，對于無自平衡過程，可先對求導運算后響應數據用階躍響應辨識面積法簡化算法進行辨識，再對求出的過程模型(有自平衡過程)作積分運算，就可得到無自平衡過程模型。

2.3有零點過程辨識

雖然階躍響應辨識面積法簡化算法是針對無零點的有自平衡過程模型導出的，但是有零點的有自平衡過程在一定條件下是存在無零點有自平衡過程的等效模型的。因為，零點特性和極點特性是相反的特性，所以兩者特性可以相互抵消。常見的有零點的有自平衡過程大多是零點少、極點多的過程。一般都是極點特性強于零點特性，所以其極點特性抵消完其零點特性后還有富余，故存在等效的無零點有自平衡過程。因此，用階躍響應辨識面積法簡化算法辨識有零點的有自平衡過程時，就是辨識其等效的無零點有自平衡過程。

2.4階躍響應數據含噪聲時的過程辨識

一般情況下，在現場所測得的實際過程階躍響應數據中都含有未知的噪聲和隨機擾動成分。而階躍響應辨識面積法簡化算法主要依據面積計算的原理，所以對未知的噪聲和隨機擾動信號不會太敏感。而若用切線法或兩點法的圖解建模方法辨識時，未知的噪聲和隨機擾動信號將有可能帶來較大的計算誤差，例如擾動信號恰好疊加在所測取得采樣點上時，特征參數就可能算得很不準。

2.5未達穩態的階躍響應過程辨識

在現場所測得的實際過程階躍響應數據有可能是未達穩態的階躍響應數據。特別是對于那些慢響應過程，要測取到完全達到穩態的實際過程階躍響應數據,可能很困難。因此，難免碰到應用階躍響應辨識面積法算法辨識未達穩態過程的階躍響應數據的場合。因為階躍響應辨識面積法算法是依據終值條件導出的，未達穩態就不滿足終值條件，其辨識結果就有可能誤差很大。

2.6模型階數未知的過程辨識

圖1　自動確定模型階數的階躍響應面積法辨識程序流程

在應用階躍響應辨識面積法簡化算法于某過程的階躍響應數據時，常常還不知道該過程的模型結構和階數。若過程模型階數n未知，則用一組階躍響應數據就辨識出多個不同階數的過程模型。于是就存在著確定最優的n的問題。為此，專門設計了如圖1所示的自動確定n的階躍響應辨識面積法簡化算法流程。圖1中，I是辨識誤差積分性能指標。若選用誤差平方積分指標，則定義如式(14)所示。由圖1可知，先設模型階數i為1，再依次增加模型階數i；每增加一次都算出相應的過程模型和辨識誤差指標；通過比較增加階數前后模型的誤差指標大小來確定最優的n；誤差變小時則說明階數增加有效；誤差變大時則說明階數增加有誤。因此，誤差由大變小時，可令i增加，而誤差由小變大時，可判定當前的過程模型階數i值就是所求最佳值n。

(14)

3算例驗證

3.1算例一

設所要辨識的過程具有如式(15)所示的模型?？梢?，其n=2，模型增益K=10。為了便于應用階躍響應面積法辨識程序處理，可先進行增益標幺化處理，見式(16)。事實上，實際的處理是將所得的階躍響應數據都除以K。

(15)

(16)

通過Simulink仿真試驗可得該模型的階躍響應數據和疊加白噪聲后的階躍響應數據(參見圖2中實線)。對這2套數據分別用自動確定階數n的階躍響應面積法辨識程序處理，可得辨識結果見表1所列。參照文獻[6]，可用階躍響應兩點法辨識方法人工處理這2套數據，所得結果也列在表1 中。

圖2　有噪聲時兩種方法辨識結果比較

由表1可見，對于無白噪聲的階躍響應數據，面積法辨識結果a1和兩點法辨識結果a2幾乎相同；但當階躍響應數據加白噪聲后，面積法辨識結果a1幾乎不受影響(還可參見圖3中虛線)，而兩點法辨識結果a2誤差卻明顯增大。從圖3可以看出，兩點法辨識所得響應曲線(參見圖3中粗實線)明顯偏離正確響應曲線。

表1有/無白噪聲時面積法和兩點法的辨識結果比較

項 目無白噪聲有白噪聲a1a2a1a2已知參數15.0054.0015.0054.00面積法15.0055.5415.0255.95兩點法15.0455.1116.7163.43

若用階躍響應面積法辨識程序處理未達穩態階躍響應數據(其響應時間只有30s，而達穩態的響應時間至少有60s)，則可得如圖3所示的辨識結果。

圖3　未達穩態階躍響應數據的辨識結果曲線

由圖3可見，對未達穩態的階躍響應數據用階躍響應面積法辨識，辨識誤差會很大。

3.2算例二

設所要辨識的過程具有如式(17)所示的模型?？梢?，模型階數n=3，模型增益K=1。

(17)

通過Simulink仿真試驗可得該模型的階躍響應數據，(如圖4中細實線)以及疊加白噪聲后的階躍響應數據(如圖5中細實線)。對這2套數據分別用自動確定階數n的階躍響應面積法辨識程序處理，可得辨識結果見表2所列。參照文獻[2]，可用階躍響應兩點法辨識方法人工處理這2套數據，所得結果也列在表2中。

從表2可以看出，面積法辨識結果幾乎不受噪聲影響，而兩點法辨識結果卻受噪聲的影響很大。從圖4和圖5可以印證這個結論，兩點法辨識所得響應曲線明顯偏離正確的響應曲線。

圖4　無噪聲時兩種方法辨識結果比較

圖5　有噪聲時兩種方法辨識結果比較

項 目無白噪聲有白噪聲a1a2a3a1a2a3已知參數16.0069.0054.0016.0069.0054.00面積法16.0070.6639.5416.0271.1033.19兩點法15.9885.14151.2017.34100.30193.20

對比表1，從表2還可以看出，無論是面積法辨識還是兩點法辨識，隨著模型階數的增加，傳遞函數分母多項式的系數辨識誤差，對應冪次越高的系數其誤差越大的趨勢更加明顯。例如，a1的真值為16，無噪聲時面積法和兩點法的辨識結果分別是16和15.98；a3的真值為54，無噪聲時面積法和兩點法的辨識結果分別是39.53和151.2。這說明面積法和兩點法的辨識誤差隨著階數的增加而增加，面積法辨識誤差增長的速度不如兩點法辨識那么快。從圖4可以看出，面積法辨識曲線還能與正確曲線相重合，而兩點法辨識曲線已與正確曲線相重合有明顯差異。

3.3算例三

設所要辨識的過程具有如式(18)所示的模型，可見這是一個有零點的過程。

(18)

通過Simulink仿真試驗可得該模型的階躍響應數據(如圖6中實線)。對這套數據用自動確定階數n的階躍響應面積法辨識程序處理，可得辨識結果如圖6和式(19)所示。

圖6　有零點過程的辨識結果曲線

(19)

由圖6可見，辨識響應與實際響應還是有差異的。畢竟所用辨識方法是基于無零點模型導出的。但是，其差異并不大，所得近似模型雖然簡單，但是有控制器參數整定應用價值。

由式(19)可見，有零點的3階模型被等效為1階無零點模型，模型結構變化較大，意味著1個零點消去了2個極點。不管怎樣，面積法辨識簡化算法能夠對有零點過程進行辨識，只是辨識結果是零極點相消后的等效無零點過程模型。

4結束語

綜上所述，可歸納如下4個研究結論：

1) 階躍響應辨識面積法簡化算法具有應用簡便、對噪聲不敏感、辨識精度高和易于用計算機自動執行的優越特性。

2) 所設計的自動確定階數n的階躍響應面積法辨識算法程序經過算例驗證證實是可行的。該程序解決了階躍響應辨識面積法簡化算法應用時模型階數難確定的問題，比文獻[4]所提方法更簡單易行。

3) 階躍響應辨識面積法簡化算法可以用于穩態增益不為1的過程、無自平衡過程、有零點過程和有噪聲影響的過程，但是不建議用于未達穩態的過程。在用于穩態增益不為1的過程時先要進行增益標幺化處理。在用于無自平衡過程時先要進行求導處理，辨識模型后，再做積分處理。在用于有零點過程時，所辨識的是等效的無零點過程模型。

4) 與常用的兩點法辨識相比，階躍響應辨識面積法簡化算法用于有噪聲的過程辨識時具有較高的辨識精度。但是隨著模型階數的增加，傳遞函數分母多項式的系數辨識誤差，有著對應冪次越高的系數其誤差越大的趨勢。面積法和兩點法的辨識誤差隨著模型階數的增加而增加，但是面積法辨識誤差增長的速度要比兩點法辨識慢得多。

參考文獻：

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勘誤

本刊2015年第5期《石油化工油品儲罐計量與測量儀表設計方案》中發現2處錯誤，更正如下：

1. 第1頁第1章儲罐計量或非計量分類，“計量級測量方案有時也稱為控制級測量方案”應改為 “非計量級測量方案有時也稱為控制級測量方案”。

2. 第2頁第2.1.1 節液位測量儀表，“容積不小于1×105m3的儲罐宜采用液位高高聯鎖關閉罐進口管道開關閥”應改為 “容積不小于1×104m3的儲罐宜采用液位高高聯鎖關閉罐進口管道開關閥”。

Application Features of Simplified Algorithm of Step Response Identification Area-method

Xu Shanshan, Yang Ping

(College of Automation Engineering, Shanghai University of

Electric Power, Shanghai, 200090, China)

Abstracts： To solve the problem of big error in identifying a noisy step response data with a common step response identification method, the application features of simplified algorithm of step response identification area-method are investigated. By theoretical analysis and simulation experimental research, processing technic is proposed when simplified algorithm of step response identification area-method is applied in these processes of non 1 steady state gain, no self-balance, zero point, noisy process and unsteady state. The designed identification algorithm program of step response area-method with automatic determining order n is proved to be feasible by example calculation. The study shows simplified algorithm of step response identification area-method has some good application properties of no insensitive to noise, high precision and easy to be automatically performed by computer.

Key words：step response; transfer function; process identification; noise; error

中圖分類號：TP273

文獻標志碼：B

文章編號：1007-7324(2015)06-0032-05

作者簡介：許姍姍(1989—)，女，上海電力學院在讀研究生，研究方向為先進過程辨識與控制。

基金項目：上海市電站自動化技術重點實驗室(13DZ2273800),上海市科技創新行動計劃(13111104300)。

稿件收到日期： 2015-09-24。