同軸度誤差快速評定新算法

宋 起，單東日

SONG Qi, SHAN Dong-ri

（齊魯工業大學 機械與汽車工程學院，濟南 250353）

0 引言

一些文獻對同軸度誤差測量存在一定的認識誤區，甚至提出了錯誤的同軸度評定算法，加大了測量結果的誤差。原因在于對測量參考線、基準軸線、被測實際軸線的概念不明確，同時曲解了同軸度、圓度、徑向圓跳動度之間的關系。

1 同軸度測量的標準方法

根據《中國人民共和國機械行業標準》中同軸度誤差檢測方法要求可知，檢測同軸度誤差，具體標準測量步驟如下：1）根據工件基準要素輪廓正截面的坐標，以最小二乘法、最小區域法等方法，擬合出多個垂直于測量參考線的正截面圓心坐標；2）根據擬合得到的多個圓心坐標，利用最小二乘法、最小包容圓法等擬合出一條空間軸線，此軸線為測量同軸度的基準軸線；3）測量被測實際要素各正截面輪廓坐標，利用最小二乘法、最小區域法等方法，得到圓心坐標；4）計算被測實際要素各輪廓正截面圓心與基準軸線的距離，最大距離的2倍為此工件的同軸度誤差。

2 改進后的快速同軸度評定算法

2.1 垂直于測量參考線的基準要素輪廓正截面

同軸度測量過程中，測量參考線的選擇很重要，如圖1所示，Z軸為測量參考軸線，若此工件兩端用頂尖固定，Z軸即為兩頂尖之間的連線。測量過程中的基準要素輪廓正截面與被測要素輪廓正截面都與測量參考線垂直，所以， 同軸度的準確測量是建立在測量參考線正確選擇的基礎上。

圖1 測量坐標系

2.2 數學模型的建立

2.2.1 最小二乘圓求截面圓心

假設（a,b）為某一垂直于測量參考線的輪廓正截面最小二乘圓心，R為最小二乘圓半徑，（xi,yi）為此正截面的輪廓上各點坐標，其中n為被測點數，依據最小二乘法原理，應使分別對式中a,b,R求偏導，可以得到近似評定公式

2.2.2 最小二乘法求得基準要素輪廓正截面圓心坐標

評定圖2中中間軸段C的同軸度誤差，需得到垂直于測量參考線的基準要素輪廓正截面的坐標，軸段A,B上每個正截面輪廓收集n個點坐標（A,B陰影部分為正截面），共測量j個正截面。利用最小二乘法計算最小二乘圓心坐標，基準軸段上的第j個垂直于測量參考線的基準要素輪廓正截面圓心坐標為（Xoj,Yoj），共獲得j個圓心坐標。

圖2 垂直于測量參考線的正截面示意圖

2.2.3 空間最小二乘法轉化為二維平面求點法

在建立工件基準軸線時，需要利用多個基準要素上的正截面圓心，擬合一條空間直線作為基準軸線，空間最小二乘算法計算繁瑣復雜，因此，此方法受到很大限制。

圖2中，基準要素輪廓正截面與測量參考線OZ垂直，因此，用基準要素正截面圓心擬合的空間最小二乘軸線與OZ軸平行,對于空間最小二乘法擬合基準軸線,擬合規則是每一個提取點到理想直線的距離的平方和最小。圖3中，基準要素輪廓8個正截面圓心投影到XOY面上，求取一個點Od(xd,yd)，使該點到各個圓心投影點的距離的平方和為最小，則點Od為空間最小二乘法擬合的基準軸線與XOY面的交點，以Od點為基準點，在XOY面上評價同軸度誤差。

在XOY面上的離散的投影點集中，尋取一個點，使這個點至各投影點的平方和最小，可以利用MATLAB工具箱函數實現最優化方法。這個求解的數學模型為無約束多元函數最小值，可以在MATLAB中調用fminsearch函數求取。

圖3 基準要素輪廓正截面圓心投影

2.2.4 同軸度誤差計算

已知被測實際要素輪廓正截面坐標，測量j個正截面，每個截面測量n個點，第j個截面最小二乘圓心被測實際要素輪廓截面中心點Opj與基準軸線與XOY面的交點,即與基準點Od之間的最大距離的2倍為此工件的同軸度誤差，此工件同軸度誤差

3 實例分析

表1為某階梯軸已經求得的輪廓正截面最小二乘圓心，1～4、13～16為階梯軸基準要素上的垂直于測量參考線的正截面最小二乘圓心坐標，5～12為階梯軸被測實際要素上的垂直于測量參考線的正截面最小二乘圓心坐標。

表1 某階梯軸16段截面最小二乘圓心坐標

表2為某階梯軸上垂直于測量參考線的多個正截面的最小二乘圓心，將基準要素正截面最小二乘圓心投影到XOY面上，利用MATLAB中的fminsearch函數求解得到Od(xd,yd)，這個點即為平行于測量參考線的基準軸線與XOY面的交點。

按照本文算法的思想，其數學模型為求解無約束多元函數最小值的問題，對數據進行仿真計算，調用MATLAB工具箱函數中的fminsearch函數，設x(1)=xd，x(2)=yd。X=fminsearch('(x(1)-1 6 7.0 3 3 6)^2+(x(1)-1 6 7.0 3 7 6)^2+(x(1)-1 6 7.0 3 8 2)^2+(x(1)-1 6 7.0 4 3 9)^2+(x(1)-1 6 7.0 3 9 4)^2+(x(1)-1 6 7.0 4 0 4)^2+(x(1)-1 6 7.0 3 9 9)^2+(x(1)-1 6 7.0 3 9 9)^2+(x(2)-2 3 6.9 9 7 0)^2+(x(2)-2 3 6.9 9 7 7)^2+(x(2)-2 3 6.9 9 7 2)^2+(x(2)-2 3 6.9 9 7 3)^2+(x(2)-2 3 6.9 9 7 2)^2+(x(2)-2 3 6.9 9 7 3)^2+(x(2)-236.9974)^2+(x(2)-236.9971)^2',[0,0])。計算得到基準點Od（xd=167.0391，yd=236.9973），如圖4中星號所示。

將被測實際要素上垂直于測量參考線的正截面最小二乘圓心（5～12）投影到XOY面上，圖5中的圓圈為5～12的投影點，計算這些點與基準點的距離，找出最大距離，以基準點為圓心，最大距離為半徑做圓，此圓的直徑即為工件的同軸度誤差，經計算，此工件的同軸度誤差為0.0128mm。經對比，此算法滿足求解同軸度的精度要求，算法快速簡便且不失準確性。

圖4 求解基準點

圖5 同軸度誤差評定

4 結束語

在同軸度測量中，運用最小二乘法進行空間基準軸線擬合時，其直線方程不能像在平面內的直線擬合一樣表示為簡單的線性比例形式，所以不能直接采用最小二乘算法。而運用進化算法在空間內擬合直線，計算繁瑣，實用性不佳。文章中算法的基礎為已經獲得垂直于測量參考線的正截面坐標，然后經過兩次投影，第一次投影求取由空間最小二乘法擬合的基準軸線與XOY面的交點，第二次投影計算出被測實際要素輪廓圓心投影點與基準點的距離，以此得到同軸度誤差。從理論與實際證明了本算法的正確性與可靠性，文中提出的算法數學模型概念清楚、計算簡單，易于實現，實現了快速又不失準確的評價同軸度誤差，并為求解此類工程問題提供了新途徑。

[1] 李佰茹.跳動公差與其他形位公差的關系研究[J].機床與液壓,2005,8∶180-181.

[2] 沈先釗.圓度、圓柱度和同軸度計算機測量數據最小區域法處理算法研究[J].中國機械工程,2003,14(17)∶1471-1473.

[3] 胡仲勛,王伏林,周海萍.空間直線度誤差評定的新算法[J].機械科學與技術.2008,27(7)∶879-882.

[4] 葛磊,鄒鯤.基于Matlab的圓度誤差精確評定[J].機床與液壓2011,39(22)∶99-101.

[5] 靳德福.活塞式壓縮機汽缸與十字頭滑道同軸度的測量[J].設備管理與維修,2004,5∶16-17.

[6] 鄭翔,阮志強,夏衛明,何小元.同軸度誤差最小包容圓有限元后處理算法[J].東南大學學報.2009,39(6)∶1156-1160.

[7] 葉宗茂.用三坐標測量機正確測量同軸度誤差[J].工具技術,2007,41(3)∶77-80.

[8] 王伯平,孫大剛.基于遺傳算法的直線度誤差的測量[J].計量學報,2004,25(1)∶16218.