“數學歸納法”課堂教學引例價值的思考

●卓 杰 (南京師范大學附屬揚子中學 江蘇南京 210048)

“數學歸納法”課堂教學引例價值的思考

●卓 杰 (南京師范大學附屬揚子中學 江蘇南京 210048)

2015年1月13日，南京市化工園區李宏志名師工作室在筆者所任教學校舉行了賽課評課活動.活動分為2個階段:1)工作室中的3位教師進行同課異構，課題為“數學歸納法”(蘇教版選修2-2第2章第3節)［1］;2)由工作室成員及專家進行評課，本次活動邀請了南京師范大學寧連華教授參加.評課教師都對3位教師的教學引例給予了關注，且觀點不一.筆者認為數學課堂教學應遵循“以簡馭繁”的設計原則，對教學資源進行了優化甚至重組，充分挖掘其教學價值.本文就本節課教學引例的教學價值談談自己的觀點.

1 課堂回顧

片段1教師A的引例、處理方式及評注.

師(PPT展示引例):已知數列{an}滿足(其中n∈N*)，a1=0，請你計算a2，a3，a4，猜想出數列{an}的一個通項公式?

師(追問):數列{an}的通項公式是猜想出來的，不一定正確，你能給出嚴格的證明嗎?

(學生思考片刻，但沒人發言.)

師:我們一起來分析一下如何證明吧.

緊接著，教師引導學生感受“由a1求a2，由a2求a3，……，由an求an+1”的過程，并結合數學歸納法的2個步驟說明其結果是正確的.本引例處理到此結束.

評注教師還沒有講述數學歸納法原理，就結合具體問題予以證明，教師的設計本意是想通過分析過程，感受數學歸納法證明的2個步驟，然后通過多米諾骨牌游戲進行類比，這樣做顯然違背了學生的認知規律，不利于思維能力的培養.再者，若有學生提前預習，并利用數學歸納法進行證明，這樣的課堂一定很尷尬.

片段2教師B的引例、處理方式及評注.

教師B的引例與教師A相同，不同的是:

師(追問):同學們能否對猜出的通項公式給出嚴格的證明呢?

(學生沒人發言.)

師:要解決這個問題，需要新的知識來解決，首先我們來看一個游戲……

在后續的教學中，教師把本例作為課堂練習進行訓練.

評注從教學過程看，教師將引例作為新課引入的問題切入，后面又把它作為練習進行鞏固.顯然教師的設計思路是:先設疑激發興趣，再合作探究原理的生成，最后借助原理解決問題.前后呼應，效果很好.好在沒有學生就如何證明提出質疑，否則此問題的有效性將大大降低.

片段3教師C的引例、處理方式及評注.

師:前面我們已經學習過推理，請同學們回憶一下完全歸納法與不完全歸納法有什么區別?

生:完全歸納法推導的結論一定正確，但不便操作;不完全歸納法就是歸納猜想，因此推導的結論不一定正確.

師:很好!請大家解決這個問題(PPT展示):已知數列{an}中，a1=1，且(其中n=1，2，3…)，請你計算a2，a3，a4，a2014，an.

師(追問):你是怎么求出a2014和an的，能保證其一定正確嗎?

生:通過歸納推出的，應該正確.

師:通過不完全歸納法推出的結論，怎么能保證其正確性呢?

(學生不知如何回答.)

師:我們只有通過嚴密的證明才能說明其正確性，那么能否找到一種方法，通過盡可能少的步驟來解決很多步甚至無限步才能解決的問題呢?這就是我們本節課要解決的問題.

在后續的教學過程中，教師C始終利用本例輔助說明數學歸納法的生成過程.

評注教師C的設計思路也很明確，先說明通過不完全歸納法推導的結論不一定成立，達到設疑的目的，由此拋出本節課要解決的問題，激發學生的求知欲，明確本節課的學習任務.整個課堂上教師C對引例的利用很到位.

2 爭鳴與建議

多數評課教師對教師A和教師B的引例給予肯定，認為教師C的引例略顯不足，原因是學生能通過取倒數的方法求解，不需要進行歸納.還有一部分教師對教師C的引例給予肯定，認為問題簡單，有利于學生歸納，并且題目要求先計算a2，a3，a4，然后求a2014，從上課結果上看沒有學生(授課班級為江蘇省四星級高中普通班)采用取倒數的方法進行求解.

筆者認為評課教師基本上是從課堂操作的層面予以評價，并沒有看到后續課堂對引例的深層次需求.教師對精心設計的引例使用僅僅停留在表面上，沒能挖掘其內在更高的教學價值，造成教學資源的浪費.筆者建議本節課就以此引例為主線，將數學歸納法的理論探究和解題鞏固載入到引例中，以最少的信息量呈現給學生，實現最大的教學效益.

數學課堂若能以簡單問題為載體，對教學資源進行深層次挖掘，以最少的信息量實現教學重點和難點的突破，這才是真正高效的數學課堂，也是課堂教學追求的最高境界［2］.

3 價值分析

應該說3位教師的引例大同小異，目的都很明確，我們不能僅僅停留在課堂操作的層面上看問題，而是要分析引例的教學價值所在，用好這個引例來優化本節課的教學.筆者總結了以下幾點:

3.1 問題價值

當代美國著名數學家哈爾斯說過:“問題是數學的心臟，沒有問題的存在，就沒有數學活動的開始，有了問題，思維才能有方向.”課堂上，教師要依據教學內容、生活現象和學生的認知心理設置問題(設疑)，制造認知沖突，把學生引入一種參與問題、思考問題、解決問題的情境之中，讓原本枯燥的數學學習活動變得活潑有趣，激發孩子們的求知欲望.

數學歸納法是典型的數學原理課，每一個數學原理都有其產生的背景，都是建立在解決某些問題需要的基礎上的.數學歸納法是建立在經驗歸納(不完全歸納法)的不可靠性和逐項驗證(完全歸納法)的不可操作性的背景下提出的，這正是本節課要解決的問題.因此我們可以結合引例提出本節課的引領問題，即:能否找到一種嚴格的、非經驗的推理方法，通過有限的步驟來解決無限的問題?教師能結合這個引例，提出本節課的引領問題，讓學生明確本節課的學習任務，其問題價值是顯然的.

數學之所以被稱為思維的體操，是因為數學發展始終都在不斷地提出問題和解決問題.事實上，問題是教學的出發點，也是思維的起點，有了問題才會去思考解決問題的辦法.數學教學正是在不斷地提出問題、解決問題的循環反復過程中向前推進的.

3.2 建構價值

數學原理課教學應引導學生經歷原理的形成過程，通過安排合適的數學活動去理解和掌握數學原理，做到“知其然且知其所以然”，是實現有意義學習的關鍵所在.

數學歸納法的學習中有2處難點，即:把無限步的三段論推理轉化為有限步的驗證和“假設結論成立，然后再去證明結論成立”.只有通過數學歸納法建構的過程，讓學生體會數學歸納法原理的自然生成過程，才能降低理解的難度，真正理解數學歸納法［3］.

多米諾骨牌游戲雖然是一種生活現象，但對數學歸納法原理的生成過程能從本質上給予揭示，類比價值非常高.要實現從生活實例向數學知識的自然遷移，將多米諾骨牌游戲中的2步類比到引例中來，并用引例加以驗證，數學歸納法原理的生成水到渠成.表1以教師C的引例為例予以說明.

表1 多米諾骨牌游戲與數學歸納法

上述類比過程，實現了從生活現象向數學知識的自然過渡，建構了數學歸納法原理的2個步驟，重要的是實現了生活現象數學化的過程［4］.也從本質上揭示了數學歸納法證明的2個步驟，更易于理解2個步驟“缺一不可”.

3.3 示范價值

從對數學歸納法的教學反饋來看，規范書寫對初學者來說也是難點所在，尤其證明當n=k+1時命題成立時忘記使用“假設當n=k時命題成立”，此處是初學者最容易忽略之處.借助多米諾骨牌游戲正好可以強化“當n=k+1時命題成立必是建立在當n=k時命題成立的基礎之上”，也是數學歸納法學習中的難點.而本引例若能在類比的同時，教師規范書寫數學歸納法的證明過程，則可以讓學生在強化數學歸納法證明中的易錯點、突破難點的同時，規范了書寫過程，尤其是第2步，顯然會達到事半功倍的效果.

以簡馭繁，返璞歸真，不僅是哲學的思考，更是現代人必備的數學素養.作為數學教師，必須深刻理解數學、理解教學，-才能充分挖掘教學資源的教學價值，實現復雜問題簡單化，關注學生的長期發展，落實高效課堂［5］.

［1］單墫.普通高中課程標準實驗教科書·數學(選修2-2)［M］.南京:江蘇教育出版社，2007.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準［M］.北京:人民教育出版社，2003.

［3］曹才翰，章建躍.教學數學教育心理學［M］.北京:北京師范大學出版社，2014.

［4］弗萊登塔爾.作為教育任務的數學［M］.上海:上海教育出版社，1999.

［5］章建躍.理解數學是教好數學的前提［J］.數學通報，2015(1):61-63.