呂旭川
摘 要:二次函數是初等函數中的重要函數,歷來是中考的重點知識,是中考的重點內容,題型主要有選擇題、填空題及解答題,而且常與方程、不等式等結合在一起綜合考查。
關鍵詞:二次函數;二次不等式;一元二次方程;關系
中圖分類號:G632 文獻標識碼:B 文章編號:1002-7661(2015)08-117-01
二次函數是初等函數中的重要函數,歷來是中考的重點知識,是中考的重點內容,題型主要有選擇題、填空題及解答題,而且常與方程、不等式等結合在一起綜合考查。下面,我們談談二次函數與二次不等式、一元二次方程的關系。
一、二次函數與二次不等式有如下的關系:
①、使得二次函數 的函數值 的自變量 的取值范圍,即求 的解集;反之,求 的解集,即求二次函數 的函數值 的自變量 的取值范圍。(此處常用圖解法求一元二次不等式的解集)
②用圖像法求一元二次不等式
的解集步驟:
、設:設 ,則求 ,即求二次函數 的函數值 的自變量 的取值范圍。
、作:根據五點作圖法,作出一次函數 的圖像。
、解:根據直角坐標系特點, 軸上方, 恒成立;反之, 軸下方, 恒成立,故求 ,即看圖像在 軸下方部分時, 的取值范圍即可。
例1:已知y=x2-2x-3,當y<0時,自變量x的取值范圍是______________.
分析:因為二次函數與x軸兩個交點坐標分別是 , ,有圖像可知,當 時,自變量x的取值范圍是
解:根據五點作圖法,作出二次函數y=x2-2x-3的圖像
根據直角坐標系特點, 軸下方, 恒成立,故求 ,即看圖像在 軸下方部分時, 的取值范圍即可。所以自變量x的取值范圍是
二、二次函數與一元二次方程的關系
因為拋物線y=ax2 +bx+c與x軸交點的橫坐標x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的根。所以
拋物線y=ax2 +bx+c,當y=0時,拋物線便轉化為一元二次方程ax2 +bx+c=0
>0時,一元二次方程有兩個不相等的實根,二次函數圖像與x軸有兩個交點;
=0時,一元二次方程有兩個相等的實根,二次函數圖像與x軸有一個交點;
<0時,一元二次方程有不等的實根,二次函數圖像與x軸沒有交點。
例2.若拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點,且過點A(m,n),B(m+6,n),則n=
分析:本題主要考查拋物線與x軸的交點,二次函數的性質,一元二次方程根的判別式。
解: 拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點,
當 時,y=0,且 ,即 ,
又 點A(m,n),B(m+6,n), 點A、B關于直線 對稱;
,
將A點坐標代入拋物線解析式,得:
綜上:(1)一元二次方程的知識是研究二次函數和一元二次不等式的基礎知識。(2)令二次函數y=ax?+bx+c的y=0,則原式變為一元二次方程ax?+bx+c=0,令一元二次不等式ax?+bx+c>0的不等號變為等號,則原式變為一元二次方程ax?+bx+c=0。(3)二次函數y=ax?+bx+c拋物線與x軸的兩交點的橫坐標x1、x2(x10 解集是:x