關永健
摘 要:本文從幾方面簡述如何用二元一次方程組來理解一次函數的問題,從而有機地把一次函數和二元一次方程(組)結合起來使用,解決一些相關的實際問題。
關鍵詞:二元一次方程 一次函數 圖象 方程組解
中圖分類號:G632 文獻標識碼:B 文章編號:1002-7661(2015)08-187-02
如果我們在教學過程中,注意引導學生用二元一次方程的知識和觀點來看待一次函數,往往會收到意想不到的效果。
一、用二元一次方程的解理解一次函數圖象
一個二元一次方程 (m、n都是常數,且m、n都不為0)是一個不定方程,有無數組解。如果把x看作橫坐標、y看作縱坐標,那么每一組解就是一個點的坐標。以二元一次方程組 的解為坐標的所有的點集中在一起,就構成了直線 。也就是說,直線 的點與二元一次方程 的解是一一對應的。這樣理解后,下面的問題就容易理解了。
求直線 與坐標軸的交點。這問題相當于知道x(或y)的值為0,求y(或x)的值。
例:直線 與x軸、y軸分別交于A、B兩點,求A、B的坐標。
解:當y=0時,代入直線解析式方程 ,得 ,解得 所以A點的坐標是 。
當x=0時,代入直線解析式方程 ,得 ;所以B點的坐標是 。
二、利用二元一次方程組來判斷對應的兩個一次函數圖象的位置
設二元一次方程組的一般形式為 ,可轉化為 ,令 ,則上述形式又可以寫成 。這就對應著兩個一次函數。
(1)當 時,二元一次方程組 有唯一解,此時直線 和直線 相交。
(2)當 時,方程組 無解,此時直線 和直線 平行,沒有公共點。
(3)當 時,方程組 有無數組解,此時直線 和直線 重合,有無數個公共點。
三、二元一次方程組解決一次函數問題
在學習過程中,不少一次函數的問題可以轉化成二元一次方程組的問題來解決,下面這種題型就是很好的例子。
如何求兩個一次函數圖象交點坐標。這個交點,同時在這兩個函數圖象上,所以同時滿足這兩個函數解析式方程。我們可以通過解這兩個解析式組成的方程組來解決問題。
例:求兩個一次函數 和 圖象的交點坐標。
解:由題意可得: ;解方程組得: ;所以交點坐標是(1,1)。
四、二元一次方程與一次函數的綜合應用
實際問題一直是個難點,應根據具體情況把一次函數和二元一次方程組有機地結合,靈活運用,從而順利解決問題。
例:中國移動公司開設兩種通訊業務,“全球通”使用者先繳50元月租費,每通話1分鐘再付0.4元;“神州行”不繳月租費,每通話1分鐘付話費0.6元?,F在小明想開通其中一種通訊業務,請問他應該開通哪一種更省錢?
分析:每月付話費的多少與小明每月通話時間有關,我們可設小明每月通話x分鐘,付的話費為y元,分別建立起兩種通訊業務方案的函數模型,然后再進行比較。
解:設小明每月通話x分鐘,付的話費為y元。
全球通每月付款為y=0.4x+50;神州行通每月付款為y=0.6x
在同一直角坐標系中畫出這兩個函數的圖象
解方程組 ;解之得: ;所以兩圖象交于點(250,150)
由圖象易知:
當 時, ,此時選擇神州行更省錢;
當 時, ,此時兩種方案沒有區別;
當 時, ,此時選擇全球通更省錢。
總之,在一次函數教學過程中,教師要引導學生把一次函數和二元一次方程有機聯系起來,給予學生充分的時間和空間來體驗數學知識的學習過程,適當的練習來熟練應用各知識點。這樣,相信學生學好一次函數不成問題。
參考文獻:
[1] 李亞軍.關于初中一次函數教學的幾點思考[J].湖南教育(數學教師)
[2] 高正峰.直角坐標系與一次函數的內容分析與教學探究[J].學周刊