一類非線性軍備競賽博弈的動力學研究

張志攀，陽平華

（1.軍械工程學院，石家莊 050003；2.廣西崇左軍分區，廣西 崇左 532200）

一類非線性軍備競賽博弈的動力學研究

張志攀1，2，陽平華1

（1.軍械工程學院，石家莊 050003；2.廣西崇左軍分區，廣西 崇左 532200）

針對多國軍備競賽問題，基于混沌動力學理論，并考慮到非線性因素對軍備競賽的影響，改進了理查森軍備競賽模型，建立了三國非線性軍備競賽的動力學模型，通過Matlab數值仿真表明，各博弈方的預期函數影響軍備競賽的穩定性，通過調整國家的不同預期函數變量，能夠使軍備競賽從混沌逐步趨于穩定，這一結果將為國際軍控研究提供一定的參考。

軍備競賽，理查森模型，混沌，動力學

0 引言

當今世界并不太平，國家間的軍備競賽隨處可見，在中東，以色列、伊朗、沙特都有稱霸中東的企圖，力圖通過大量采購軍火來確保自己的軍事優勢；在南亞，巴基斯坦與印度處于全天候地對抗狀態，在核試驗、常規武器采購等方面你追我趕；在東亞，朝鮮執意發展自己的核力量，與美、日、韓三國針鋒相對，毫不退讓。雖然國際社會對控制軍備競賽作出各種努力，但是收效卻不是十分明顯。軍備競賽的研究興起于冷戰時期，由于對美蘇兩個超級大國軍備競賽的擔憂，學者們試圖從理論角度證明軍備競賽的可控性。在軍備競賽的博弈中，國家是理性的局中人，為了使自身的利益最大化，它必須通過觀察對手的情況并結合自身實際，做出自己的策略選擇。早期軍備競賽模型的研究對象為兩個國家，通過建立微分方程來反應國家軍備競賽中策略的相互影響關系，如理查森模型。但是，現實世界中軍備競賽往往不止限于兩個國家，而是在多個國家之間發生。

近來年，一些學者對經典軍備競賽模型進行了改進，并圍繞軍備競賽的穩定性問題展開了討論，形成了3種不同的觀點［1］：①認為軍備競賽存在穩定性，代表人物為Richardson；②認為軍備數量呈非線性增長，最終將導致軍備競賽失穩，代表人物為MacGuire；③認為軍備競賽的穩定性僅限于局部地區，代表人物為Brito。同時國內許多學者也致力于軍備競賽穩定性的研究，駱樺［2］對超級大國主導下的軍備競賽穩定性進行研究，得到了單極世界軍備競賽的穩定條件。劉光華［3］結合有限理性的博弈特點，建立了兩國軍備競賽的動力系統模型。本文在相關文獻研究的基礎上，通過改進經典模型中的影響因子，建立了非線性的三國軍備競賽博弈模型。

1 理查森軍備競賽模型介紹

理查森軍備競賽模型［4］是研究軍備競賽的主要模型之一，它是一種描述性的模型，即沒有目標函數，也沒有最大化假設，通過建立微分方程，描述在兩個國家間武器變化的模型。設A、B兩國軍備是同質的，其數量分別用x（t）、y（t）表示，國家的軍備增長比率與3個因素有關：①敵對國家的軍備情況對本國軍備增長的刺激作用；②本國已有的軍備情況對本國軍備增長的抑制作用；③由敵我雙方情況演變而成的其他復雜因素也會影響本國軍備數量，則兩國軍備競賽的微分方程組可表示為：

其中，k，α，l，β＞0，且為常數。當兩國軍備數量不再變化，可得到反應方程，即本國的軍備數量為另一國的函數：

當kl-αβ＞0，g（t）≡g，h（t）≡h時，均衡解為：

2 改進的理查森軍備競賽模型研究

理查森軍備競賽模型研究對象是兩個國家，且國家間的相互關系是線性的，但現實中軍備競賽常常在多個國家出現，并且他們之間存在非線性的關系，軍備并不是簡單地軍備數量上的競爭，更是軍備質量、科研水平、持續發展潛力上的競爭，理查森軍備競賽模型僅僅建立的線性競爭模型顯得過于簡單。各國之所以能夠進行軍備競賽，源于國家經濟的迅速增長，軍備增長與經濟增長存在明顯的趨同關系［5-6］。為此，對理查森軍備競賽模型進行了改進來研究多國非線性軍備競賽的問題。以三國軍備競賽為例，假設A、B、C三國軍備數量分別用x（t）、y（t）、z（t）表示，且三國之間是獨立的理性個體，不與任何國家結盟，由于不同信念國家軍備競賽的模型不同，關系較為復雜，這里僅研究信念相同國家的軍備競賽情況，即A、B、C三國在考慮軍備競賽時其模型是相似的。我們認為，軍備競賽依然是受三個方面的制約：對方實力，我方實力，其他復雜因素?？紤]軍備質量與數量間的倍增關系，設敵國軍備數量對本國軍備競賽的促進作用是非線性二次函數關系，敵我雙方復雜因素對軍備競賽的影響既與本國軍備數量有關，也與敵對國家軍備數量相關，也是非線性二次函數關系。二次函數的特點與經濟成本增長規律一致［7］，同時又由于經濟增長與軍備競賽的趨同關系，所以二次函數模型符合國家間軍備增長的規律。因此，三國軍備競賽的微分方程組為：

式中a1，a2，a3分別為對方軍備數量對國家的刺激系數，b1，b2，b3分別為本國軍備數量對自身軍備擴張的抑制系數，（c1，d1，f1），（c2，d2，f2），（c3，d3，f3）分別為其他復雜因數對軍備競賽的混合影響系數，且。由a1，a2，a3，b1，b2，b3，c1，c2，c3，d1，d2，d3，f1，f2，f3＞0二次函數的性質可知，當函數位于對稱軸右側時，函數值是隨自變量單調遞增的；當函數位于對稱軸左側時，函數值是隨自變量單調遞減的。x，y，z∈［0，1］，表示三國標準化后的軍備數量。

對于方程（2），其反應方程為：

對于方程（3），其反應方程為：

對于方程（4），其反應方程為：

由反應方程可以看出，三國的軍備水平是相互依賴的，其某一時期的軍備數量與其他兩個國家密切相關，一個國家是否增加軍備數量，必須充分考慮其他國家的軍備水平。國家之間的決策是一個動態的決策過程，其對下一時期的決策會有一個預期。由于國家自身發展水平的不一樣，其策略預期函數均不相同。

實力弱小的國家往往只能按部就班確定自己軍備數量，其表示為：

實力中等的國家則依據這一時期的自己軍備數量與反應方程的差值自動調整下一時期軍備數量，若高于反應方程值，則再下一輪軍備調整需減少軍備的增長數量，反之，則增加軍備增長的數量，其表示為：

實力較強的國家則依據軍備數量增長的速率自動調整下一時期軍備數量，如果這一時期軍備數量增長率為正，則減少下一時期的軍備數量，反之，則增加下一時期的軍備數量，其表示為：

將式（5）代入式（8）得：

將式（6）代入式（9）得：

將式（4）代入式（10）得：

3 軍備競賽模型的動力學研究

如果將3個國家以及它們之間的關系看成一個系統，那么軍備競賽行為隨時間發生變化就使得這三國構成了一個動力系統。軍備競賽的動力學行為就是偏離平衡態而發生變化的過程，因此，首先必須要確定動力系統方程組的穩定狀態。通過由式（11）～式（13）組成的動力系統方程組求解雅可比矩陣［8］：

取a1=a2=a3=1，b1=0.08，b2=0.07，b3=0.06，c1=3.02，c2=3.04，c3=3.06，d1=d2=d3，f1=-4，f2=-4.2，f3=4.4。令x（t+1）=x（t），y（t+1）=y（t），z（t+1）=z（t），取弱國x的軍備數量初值為0.2，中等國家y的軍備數量初值為0.5，強國z的軍備數量初值為0.8，且x，y，z均大于零，則納什均衡點為：

在均衡點處，其雅可比矩陣為：

其特征方程為：

其中：

對于判定差分方程組系統的穩定性，有如下判定定理。

定理1［9］設齊次線性常系數差分方程組為：

則該系統是漸進穩定的充分必要條件為：A的所有特征值在復平面的單位圓內。

表1 多項式系數關系表

其中

依次類推，直到一行只有3個元素為止，則p（λ）所有零點在復平面單位圓內的充分必要條件是

條件（15）即為Routh-Hurwitz判據，當特征方程（14）滿足條件（15）時，則由方程（11）～方程（13）組成的差分方程系統在不動點（x*，y*，z*）處是穩定的。其穩定區域如圖1所示。

圖1 三國軍備競賽在不動點的穩定區域

圖2 ξ=-0.3時三國軍備競賽隨?變化的分叉圖

由圖1可以看出，當-0.176≤ξ＜0時，無論?取何值，三國博弈處于穩定狀態。當-0.337＜ξ＜-0.176，三國軍備競賽的穩定狀態與?有關。如圖2所示，即表示當ξ=-0.3時，三國軍備競賽隨?變化的分叉圖。

由圖2可以看出，當ξ=-0.3，?＜-0.31時，三國軍備競賽處于二倍周期分叉狀態；當?≥-0.31三國軍備競賽穩定在不動點處。

由圖3可以看出，當?=-0.1，ξ≥-0.32時，三國軍備競賽穩定在不動點；當ξ＜-0.32時，三國軍備競賽處于不穩定狀態，當ξ＜-0.54三國軍備競賽處于混沌狀態。

圖3 ?=-0.1時三國軍備競賽隨ξ變化的分叉圖

圖4 混沌狀態的吸引子

圖4表示當?=-0.1，ξ=-0.57時，三國軍備競賽處于混沌狀態時的吸引子，此時軍備競賽處于極端的不穩定狀態，各國為了取得最佳的利益，不斷調整自己的裝備數量，這也將造成其他國家的不安全感，并引發新一輪的軍備競賽，使地區局勢動蕩。圖5～圖7即為當國家x將軍備數量從0.8改變為0.800 01時，三國軍備數量的變化情況。

圖5 國家x軍備數量隨時間變化情況

圖6 國家y軍備數量隨時間變化情況

圖7 國家z軍備數量隨時間變化情況

4 結論

軍備競賽中，各國的策略依據其他國家的軍備情況而制定，而本國的做出的策略選擇又將對下一時期其他國家的軍備策略產生影響。軍備競賽的不穩定性，與各國采取不同的預期策略密切相關。本次研究發現，通過調整各國策略函數的預期取值，能夠使三國軍備競賽從不穩定狀態達到穩定狀態，各國均沒有改變他們策略的動機而使自身利益受損，這將有利于緩和地區局勢，促進國際軍控的發展和世界和平。

［1］魏偉.軍備競賽與裁軍的博弈分析［J］.軍事經濟研究，2007，28（1）：18-20.

［2］駱樺，田曉軍，周小紅.單極世界軍備競賽微分方程穩定性的研究［J］.浙江理工大學學報， 2008，24（1）：103-105.

［3］劉光華，羅榮桂.基于博弈論的軍備競賽模型［J］.武漢理工大學學報，2006，28（10）：135-137.

［4］基斯.哈特利，托德.桑德勒.國防經濟學手冊［M］.北京：經濟科學出版社，2001.

［5］杜清華.冷戰后東南亞地圖軍備競賽的經濟學分析［J］.生產力研究，2011（11）：100-102.

［6］孫兆斌，曹少堔，鄭鳳云.民用經濟與軍事經濟的趨同分析［J］.當代財經，2004（4）：14-16.

［7］浦小松.一類寡頭壟斷市場產量博弈及混合模型的動力學研究［D］.天津：天津大學，2012.

［8］廖曉昕.穩定性的理論、方法和應用［M］.武漢：華中科技大學出版社，2010.

［9］王翼.自動控制中的基礎數學［M］.北京：科學出版社，1987.

Study on Dynamics of a Nonlinear Arms Race Game

ZHANG Zhi-pan1，2，YANG Ping-hua1
（1.Academy of Ordnance Engineering，Shijiazhuang 050003，China；
2.Chongzuo Military Subarea of Guangxi Military Region，Chongzuo 532200，China）

In allusion to the problem of multi-nation arms race，based on chaotic dynamical theory，and considering that the nonlinear factor affect arms race，the text adopted the quadratic equation to improved Richardson arms race model，founded a nonlinear three-nation arms race dynamical model.With Matlab we simulate a type of arms race and analyze results among different variables.The simulation result show that the anticipated function of game players affect stability of arms race.By adiusting variables of different anticipated functions，the state of arms race among nations take a stable turn from chaotic.The result will provide scientific indication for study on international arms control.

arms race，richardson model，chaotic，dynamics

E0-059

A

1002-0640（2015）03-0175-04

2014-01-18

2014-03-19

張志攀（1984- ）,男，四川成都人，碩士研究生。研究方向：博弈論及其軍事應用。