二維激光切割機的動態分形球面雕刻工藝*

李 斌，黃頻波，徐如濤，鐘希歡

(1.成都航空職業技術學院 航空維修系，四川 成都 610100；2.貴陽萬江航空機電有限公司，貴州 貴陽 550018)

二維激光切割機的動態分形球面雕刻工藝*

李 斌1，黃頻波1，徐如濤1，鐘希歡2

(1.成都航空職業技術學院 航空維修系，四川 成都 610100；2.貴陽萬江航空機電有限公司，貴州 貴陽 550018)

采用分形圖形方法研究二維激光切割機的球面雕刻工藝，幾何推導了球面等高量化后的分形尺寸，數值重建了等高量化后的三維臺階球面輪廓仿真圖，在分形理論基礎上，提出動態分形方法以降低量化階數過大所產生的不利影響。結果表明，二維激光切割機用該方法進行3D球面雕刻具有一定的可行性。

二維激光切割機；動態分形；球面雕刻；量化階數

激光加工技術是將高能量的激光束通過聚焦光學系統，使激光焦點照射到材料表面，利用激光產生的熱效應實現對工件熱加工的技術方法。由于其具有加工對象廣泛、加工精度高、加工速度快和工效高等特點，自問世以來受到國內外學者的關注，并在工業精密加工領域不斷深入發展[1-6]。激光加工3D曲面需要將激光器與先進的光學系統及自動化機構相結合來實現；其自動化機構要求具有多自由度多軸配置以及Z軸的高推進行程以滿足工件的縱向加工深度以及加工寬度。球面加工是3D曲面加工中最平常的，而這種曲面往往也是需要購置多軸激光精密機床進行加工，這使得制造成本代價昂貴。因此，本文選擇低成本的二維激光切割機，借鑒二元光學器件制作中的分形數字掩膜理論[7-11]，將三維高頻曲面圖形進行N階量化得到一系列圖形輸入序列，在低自由度下模擬球面雕刻。此外，考慮到N階分形會使得量化能級一旦確定，則要求Z軸推進以消除離焦錐形效應帶來的激光切割深度不足以及加工寬度精度低等問題。本文在分形理論基礎上，提出動態分形雕刻方法，即采用n(n

1 理論分析

根據數字掩膜理論，三維曲面的形成是由激光的激光能量分布所決定，其表達式為：

E(x,y)=I(x,y)t(x,y)

(1)

式中，E(x，y)是3D曲面所需的激光能量；I(x，y)和t(x，y)分別是激光強度和停留時間；x和y是空間坐標。

對于普通激光切割機或者雕刻機，一旦確定激光能級，即I(x,y)=I是定值，則3D曲面完全取決于停留時間在空間坐標的復雜分布。這種時間分布在本質上就是需要多自由度的自動化機構來實現，但恰恰普通激光切割機不具備高性能的自動化機構，因此激光切割機一般只能根據圖形輸入實現平面雕刻而無法實現三維曲面一次成型。然而，分形數字掩膜技術指出高頻曲面圖形可以進行N階量化后得到N幅低頻分形圖形，其總的激光能量分布表達式為停留時間與相應低頻分形圖形光強分布之積的和，即：

(2)

式中，Ii(x,y)是低頻數字圖形的光強分布；ti(x,y)是對應低頻數字圖形的停留時間。

事實上，由于N無法趨近無窮，在加工中必然存在量化誤差。對于球面一般有等距量化和等高量化。量化球冠幾何關系如圖1所示，對于等距量化，它要求有不同的臺階高度，這意味著N幅圖形輸入有不一樣的激光能級以及長時間的測試取值，而且得到的臺階式球面誤差較大。若激光光強I(x,y)恒定，則式2可變成：

(3)

式中，I是確定的量化光強。

假定I在恒定運行速度Δt條件下剛好對應單位加工深度Δh，則對于等高量化有：

(4)

得到等高量化后在水平方向上每一個環帶半徑ri，即為第i幅低頻圓形圖形尺寸為：

(5)

圖1 N階量化球面示意圖

由于分形加工通常只有1個量化能級仍需要Z軸長程推進，否則因加工深度的局限而僅能制作小尺寸球面零件，同時考慮到激光的離焦后錐形效應對線寬精度影響，因此環帶半徑需根據實際測試適當補償。此外，球面圖形用N幅輸入圖形，可能在實際加工過程中會出現圓心不能很好重合，即存在定標誤差累積影響球面加工外觀；因此，采用動態分形方法提出n=log2N幅分形圖形來加工球面?？偟募す饽芰繛椋?/p>

(6)

球面分形圖形中各環帶激光能量分布見表1。

表1 球面分形圖形中各環帶激光能量分布

根據等高量化有N-1階臺分形階，可以得到

(7)

式中，IΔt是單位激光量，對應的是1個單位臺階高度Δh。

由N=2n則上式變形可以寫成：

(8)

從式8可知，選擇n=log2N，代表著N幅分形圖形可由n幅二進制分形圖形所描述。同時，通過式8可以歸納出各幅動態分形圖形激光切割時間的規律為tn=2n-1，這表示在恒定運動速度Δt條件下，需設置n幅分形圖形中的能級強度以保證各幅圖形的加工深度等于2i-1Δh(i=1、2、…、n)。

2 數值模擬分析

模擬參數設置為：球面結構高度H=16 mm，底面半徑R2=32 mm，曲率半徑R1=48 mm。若球面結構采用等高量化且量化階數為N=16，則可以得到單位量化臺階高度△h=1 mm。使用MATLAB軟件，根據計算得到的16環帶直徑和臺階高度數據重建出量化后臺階球面輪廓，如圖2所示。根據量化分形理論，可以知道量化階數越大，越能逼近真實的球面輪廓。16個同心圓如圖3所示，臺階球面結構剖面如圖4所示。

圖3 16個同心圓

圖4 臺階球面結構剖面

由圖3和圖4可知，對于等高量化，N取越大，各環帶的間距會隨著直徑的增大急劇地變小。這就表示在實際加工過程中，不能一味地增大量化階數N而不考慮激光切割機的極限線寬。因此，量化階數N存在一個由極限線寬所決定的上限。雖然從理論上講，數字分形技術利用N幅分形輸入圖形可以實現3D球面成型,但實際加工的高輪廓精度使得量化階數N仍然會比較大，這可能導致出現一些問題。量化階數N大，意味著臺階深度Δh小，則Z軸步進小且難以控制，若激光停留時間恒定，則需要將切割機能級強度設定在一個很低水平范圍內。此外，階數N大，說明需要輸入很多幅分形圖形，一方面非常耗時效率低，而另一方面各分形輸入圖形存在非相干性誤差，比如環帶的中心可能不重合，這樣的累積誤差會對球面加工精度造成很大的影響。故采用動態分形方法降低分形圖形數目。

如圖5和圖6所示，原先需要輸入16幅分形圖，采用動態分形只用4幅輸入圖形就可以疊加加工球面結構；但每一幅輸入圖形需要激光停留的時間是不一樣的。4幅圖形的停留時間依次是前一幅圖形的2倍。第1幅圖形的停留時間可以稱為單位停留時間，這是因為它剛好加工1個單位臺階深度。換而言之，假定激光切割機的運行速度恒定，這樣每一幅動態分形圖形都需要根據實際材料設置不同能級強度，而第1幅的能級強度恰恰可以加工1個臺階深度，此后每幅的能級強度能加工的深度是前一幅的2倍。動態分形的好處在于不僅降低了圖形輸入數目和累積誤差，提高了加工效率，而且采用的是逐級增大的能級強度，意味著需要Z軸的推進行程小。

圖5 動態分形掩膜技術加工臺階球面示意圖

圖6 4幅分形圖疊加加工16臺階球面

3 試驗驗證

試驗設備為激光切割機，切割時激光頭只沿x和y方向運動。材料為有機玻璃。選擇切割速度為1 000 mm/min，并選擇不同的激光能量切割有機玻璃。測量切割深度，得到數據見表2。由表2可知，一般情況下，切割深度與激光功率成正比。

表2 切割速度為1 000 mm/min時，不同激光能量的切割深度

球面參數R1=48 mm，R2=32 mm，分成4層疊加加工，16個同心圓半徑r1～r16值見表3。第1層雕刻加工r1～r2，r3～r4，r5～r6…r15～r16共8個環帶區域。第2層雕刻加工r2～r4，r6～r8，r10～r12，r14～r16共4個環帶區域。

表3 H=16 mm時的各圓半徑值 (mm)

疊加雕刻加工后的有機玻璃實物如圖7所示，從側面圖可以看出，球面輪廓的曲線基本完整。

a) 側面圖 b) 正面圖

4 結語

論文采用分形圖形方法將球面零件量化，為球面激光加工提供一種低自由度加工新方法，同時為二維普通激光切割機實現3D球面成型提供可能方案。研究表明，分形圖形方法中的量化階數N大，意味著輸入圖形數目多，以及臺階深度Δh小，會影響到時效和加工精度。動態分形方法在本質上是分形方法的二進制描述，若采用動態分形方法可以降低輸入圖形的數目，采用漸增的能級減小Z軸推進行程。此外，在實際加工過程中，應考慮激光的極限線寬和離焦效應，否則會影響到激光分形加工的精確性。

[1] 官邦貴，劉頌豪，章毛連，等.激光精密加工技術應用現狀及發展趨勢[J].激光與紅外，2010，40(3)：229-232.

[2] 陳綺麗，黃詩君，張宏超.激光技術在材料加工中的應用現狀與展望[J].機床與液壓，2006(8)：221-223.

[3] 張虎，阮鴻雁，劉會霞，等.一種三平移并聯激光加工機床的運動學研究及仿真[J].機床與液壓，2012，40(15)：111-114.

[4] 宋威廉.激光加工技術的發展[J].激光與紅外，2006，36(S1)：755-758.

[5] 張魁武.國外激光加工應用實例[J].激光與紅外，1996，26(3)：208-209.

[6] 樓祺洪，周軍，朱健強，等.高功率光纖激光器研究進展[J].紅外與激光工程，2006，35(2)：135-138.

[7] 鐘希歡.動態分形數字掩模技術制作微透鏡及其陣列的研究[D].南昌：南昌航空大學，2012.

[8] Mouroulis P, Hartley F T, Wilson D W, et al. Blazed grating fabrication through gray-scale X-ray lithography[J]. Optical Express,2003,11(3):270-281.

[9] 彭欽軍，郭永康，曾陽素，等.實時灰階掩模技術制作微透鏡陣列[J].中國激光，2003，30(10)：893-896.

[10] Gao Y Q, Shen T Z. Research on digital mask fabrication technique of micro-optical element[J].Journal of Modern Optics, 2009,56(4):453-462.

[11] Kwang R K, Junsin Y, Sung H C, et al. SLM-based maskless lithography for TFT-LCD[J]. Applied Surface Science, 2012, 255:7835-7840.

*成都航空職業技術學院科研基金項目(061303Y)四川省教育廳資助科研項目(13ZB0053)

責任編輯彭光宇

DynamicFractalSphericalProcessingResarchof2DLaserCuttingMachine

LI Bin1，HUANG Pinbo1，XU Rutao1，ZHONG Xihuan2

(1.Chengdu Aeronautic Polytechnic，Chengdu 610100，China；2.Guiyang Wanjiang AviationElectrical Mechanical Co., Ltd.，Guiyang 550018，China)

Spherical work-piece of 2D laser cutting machine is analyzed by the fractal graph method. with equal high quantization, fractal geometric dimensions are deduced, and stepping spherical contour is also numerically reconstructed. In order to reduce the adverse impact of large quantitative order number, proposes dynamic fractal method based on the fractal method and theoretically illustrating its processing mechanism and characteristics.The results show that the 2D laser cutting machine to engraving 3D sphere has certain feasibility in this way.

2D laser machine, dynamic fractal, spherical engrave, quantitative order

TG 249

：A

李斌(1973-)，女，講師，碩士，主要從事材料成型工藝和數值模擬等方面的研究。

2014-12-22