漫話函數發展史

崔曉彬

回顧一下函數概念的發展史，對于剛接觸到函數的同學們來說，雖然不可能有較深理解，但無疑對加深理解課堂知識、激發學習興趣將是有益的.

最早提出函數（function）概念的是17世紀德國數學家萊布尼茨.最初萊布尼茨用function一詞表示冪，如 都叫函數.以后，他又用函數表示在直角坐標系中曲線上一點的橫坐標、縱坐標.

1718年，萊布尼茨的學生瑞士數學家貝努利把函數定義為：“由某個變量及任意的一個常數結合而成的數量.”意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數.貝努利所強調的是函數要用公式來表示.

后來數學家覺得不應該把函數概念局限在只能用公式來表達上，只要一些變量變化，另一些變量能隨之而變化就可以，至于這兩個變量的關系是否要用公式來表示，就不作為判別函數的標準.

1755年，瑞士數學家歐拉把函數定義為“如果某些變量以某一種方式依賴于另一些變量.即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數.”在歐拉的定義中，就不強調函數要用公式表示了.由于函數不一定要用式來表示，歐拉曾把畫在坐標系的曲線也叫函數.他認為：“函數是隨意畫出的一條曲線.”

當時有些數學家對于不用公式來表示函數感到很不習慣，有的數學家甚至抱懷疑態度.他們把能用公式表示的函數叫“真函數”，把不能用公式表示的函數叫“假函數.

1821年，法國數學家柯西給出了類似現在中學課本的函數定義：“在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數隨著而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數.”在柯西的定義中，首先出現了自變量一詞.

1834年，俄國數學家羅巴契夫斯基進一步提出函數的定義，指出了對應關系（條件）的必要性，利用這個關系以求出每一個x的對應值.

1837年德國數學家狄里克雷認為怎樣去建立x與y之間的對應關系是無關緊要的，所以他的定義是：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數.”這個定義抓住了概念的本質屬性，變量y稱為x的函數，只須有一個法則存在，使得這個函數取值范圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式.這個定義比前面的定義帶有普偏性，為理論研究和實際應用提供了方便.因此，這個定義曾被比較長期的使用著.

自從德國數學家康托爾的集合論被大家接受后，用集合對應關系來定義函數概念就是現在高中課本里用的了. 中文數學書上使用的“函數”一詞是轉譯詞.是我國清代數學家李善蘭在翻譯《代數學》（1895年）一書時，把“function”譯成“函數”.中國古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思，李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數.”中國古代用天、地、人、物4個字來表示4個不同的未知數或變量.這個定義的含義是：“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數.所以“函數”是指公式里含有變量的意思.

在笛卡爾引入變量以后，變量和函數等概念日益滲透到科學技術的各個領域.縱覽宇宙，運算天體，探索熱的傳導，揭示電磁秘密，這些都和函數概念息息相關.正是在這些實踐過程中，人們對函數的概念不斷深化.我們可以預計到，關于函數的爭論、研究、發展、拓廣將不會完結，也正是這些影響著數學及其相鄰學科的發展.

當時法國正流行黑死病，笛卡兒不得不逃離法國，于是他流浪到瑞典當乞丐。 某天，他在市場乞討時，有一群少女經過，其中一名少女發現他的口音不像是瑞典人，她對笛卡兒非常好奇，于是上前問他：“你從哪來的??？” “法國”“你是做什么的??？” “我是數學家.” 這名少女叫克麗絲汀，18歲，是瑞典公主， 她和其它女孩子不一樣，并不喜歡文學，而是熱衷于數學. 當她聽到笛卡兒說名身份之后，便把笛卡兒邀請回宮成了她的數學老師.笛卡爾將一生的研究傾囊相授給克麗絲汀 克麗絲汀的數學也日益進步，直角坐標系當時也只有笛卡兒這對師生才懂.后來，他們之間有了不一樣的情愫，發生了喧騰一時的師生戀.這件事傳到國王耳中，讓國王相當憤怒，下令將笛卡兒處死，克麗絲汀以自縊相逼， 國王害怕寶貝女兒真的會想不開，于是將笛卡兒放逐回法國，并將克麗絲汀軟禁.笛卡兒一回到法國后，沒多久就染上了黑死病，躺在床上奄奄一息.笛卡兒不斷地寫信到瑞典給克麗絲汀，但卻被國王給攔截沒收，所以克麗絲汀一直沒收到笛卡兒的信.在笛卡兒快要死去的時候，他寄出了第13封信，當他寄出去沒多久后就氣絕身亡了.這封信的內容只有短短的一行 r=a（1-sinθ） ，國王攔截到這封信之后拆開看，國王當然看不懂這個數學式子，于是找來城里所有科學家來研究， 但都沒有人能夠解開到底是什么意思.國王心想反正笛卡兒快要死了，于是就把信交給了克麗絲汀.當克麗絲汀收到這封信時，雀躍無比，她立刻動手研究這行字的秘密.沒多久就解出來了，用的就是直角坐標圖.

將整個曲線圖作出來，就是有名的心形線！