基于cY函數的條件弱鞅的最大值不等式①

馮德成， 牛彩莉， 劉紅蕊（西北師范大學數學與統計學院，甘肅 蘭州 730070）

基于cY函數的條件弱鞅的最大值不等式①

馮德成， 牛彩莉， 劉紅蕊
（西北師范大學數學與統計學院，甘肅 蘭州 730070）

利用條件Fubini定理，得到了基于cY函數的條件弱鞅的一些最大值不等式，所得結果推廣了已有文獻中的相關結論.

條件弱鞅；cY函數；條件Fubini定理；最大值不等式

0　引　言

本文所提到的隨機變量都定義在概率空間（Ω，A，P）上.記S0=0，a∨b=max（a，b），EF（X）表示隨機變量X的條件數學期望，即EF（X）=E （X|F），這里F是A的一個給定的子σ-代數.I （A）表示集合A的示性函數.

1　預備知識

定義1設｛Sn，n≥1｝是一列L1隨機變量，如果對任意j≥1，有

其中f是任意分量不減的函數且使期望有意義，那么稱｛Sn，n≥1｝是一個弱鞅（demimartingale）.進而，若f是非負函數，則稱｛Sn，n≥1｝是一個弱下鞅（demisubmartingale）.

2010年，Hadjikyriakou［2］引入了下面的概念.

定義2設｛Sn，n≥1｝是一列隨機變量，如果對任意1≤i＜j＜∞，有

其中f是任意的分量不減的函數且使條件期望有意義，那么稱｛Sn，n≥1｝是給定F下的一個條件弱鞅.（F-demimartingale）.進而，若f是非負函數，則稱｛Sn，n≥ 1｝是一個條件弱下鞅（F-demisubmartingale）.

很容易驗證，對于任意i≥1，（2）式等價于

對于任意滿足E|X|＜∞的隨機變量X，從條件期望的性質E（E（X|F））=E（X）可知，定義在概率空間（Ω，A，P）上的條件弱鞅和條件弱下鞅分別是概率空間（Ω，A，P）上的弱鞅和弱下鞅，但是反之并不成立.Hadjikyriakou給出了一個隨機變量序列是弱鞅但不是條件弱鞅的例子.

設φ是定義在（0，∞）上的一個右連續減函數，并且滿足如下條件：

假定φ在任意一個有限區間（0，x）上關于Lebesgue測度是可積的.若令

則Φ（x）是一個使Φ（0）=0的非負遞增凸函數.若進一步假定Φ（∞）=∞，則稱Φ（x）是一個cY函數（concave Young function）.

關于cY函數的更多細節和性質，可以參考文獻［12，13］.對于任意0＜p＜1，易證函數Φ（x）= xp就是一個cY函數.Agbeko［12］建立了如下的基于cY函數的最大值不等式.

定理1設Φ（x）是一個cY函數，記ζ（x）=Φ（x）-xφ（x），則對于任意非負下鞅（Xn，Fn），有

成立，當且僅當

（iii）如果（4）式成立，那么對于只依賴于Φ的正常量CΦ，有

受Agbeko［3］的啟發，Wang等［4］建立了基于cY函數的弱鞅和N-弱鞅的一些最大值不等式.本文在文獻［8］的基礎上，利用條件Fubini定理，給出了基于cY函數的條件弱鞅的一些最大值不等式.

2　基于cY函數的條件弱鞅的最大值

引理1設｛Sn，n≥1｝是一個條件弱鞅，g（·）是R上的一個不減凸函數，且對任意i≥1，有，那么對于任意幾乎處處非負且F-可測的隨機變量，有

εPF

推論1設｛Sn，n≥1｝是一個條件弱鞅，g（·）是R上的一個非負不減凸函數，且對任意i≥1，有EFg（Si）＜∞ a.s，那么對于任意幾乎處處非負且F-可測的隨機變量，有

顯然，推論2.1是引理2.1的直接結果.

引理2［14］設X（·，·）：Ω×R→R是關于A× B可測的.假設X（·，·）是非負的或者是關于P×μ可積的，其中μ是Lebesgue測度，則

定理2假設推論1的條件都滿足，Φ（x）是一個cY函數.記

那么

（ii）當（1.4）式成立時，對常數a≥0和0＜B＜1，有

（iii）如果（4）式成立，則對于只依賴于Φ的正常量CΦ，有

證明（i）推論1意味著對x＞0，有

對任意x0＞0，將這個不等式在［x0，+∞）上關于d（-φ（x））積分，則由引理2可得

將（8）式左端分部積分并結合ζ（x）的定義，有

綜合（8）和（9）兩式，有

易見，當x＞0時，函數ζ（x）=Φ（x）-xφ（x）是單調遞增的.因此，由（10）式可得

所以

（5）式得證.

（ii）參照定理1中（ii）的證明方法，易證

（iii）結合（5）和（6）兩式，很容易得到

綜上所述，定理得證.

推論2假設定理2的條件都滿足，那么對于任意的0＜p＜1，有

證明令Φ（x）=xp，其中0＜p＜1.易得

于是

又由（5）式可得

對上面不等式進行整理，有

易知當x0=EFg（Sn）時（12）式的右端取得最小值，因此，在（12）式中取x0=EFg（Sn），則有

證畢.

成立，其中Cφ是只依賴于φ的正常量.則

證明推論1意味著對x＞0，有

另一方面，再次利用引理2可得

結合（16）和（17）兩式，定理得證.

［1］NEWMAN C M，WRIGHT A L.Associated Random Variables and Martingale Inequalities［J］.Z.Wahrsch.Verw.Geb，1982，59（3）：361-371.

［2］HADJIKYRIAKOU M.Probability and Moment Inequalities for Demimartingales and Associated Random va-riables［D］.Nicosia：Department of Mathematics and Statistics，University of Cyprus，2010.

［3］AGBEKO N K.Concave Function Inequalities for Sub-（sup-）martingales［J］.Ann.Univ.Sci.Budapest.Sect.Math，1986，29：9-17.

［4］ WANG Xue-jun，PRAKASA RAO B L S，HU Shu-he，et al. On Some Maximal Inequalities for Demimartingales and NDemimartingales Based on Concave Young Functions［J］.J. Math.Anal.Appl，2012，396（2）：434-440.

On Some Maximal Inequalities for Conditional Demimartingales Based on Concave Young Functions

FENG De-cheng， NIU Cai-li， LIU Hong-rui
（College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China）

Some maximal inequalities for conditional demimartingales based on concave Young functions were obtained using the conditional Fubini theorem.These results generalized the corresponding results in recent papers.

conditional demimartingale；concave Young function；conditional Fubini theorem；maximal inequality

O211.4

A

1008-1402（2015）06-0807-03

2015-09-28

國家自然科學基金資助項目（11461061）；西北師范大學青年教師科研能力提升計劃項目（NWNU-LKQN-11-2）.

馮德成（1972-），男，甘肅武威人，任職于西北師范大學，副教授，博士.