黃海海戰的蘭徹斯特數學模型①

趙暢（吉林師范大學數學學院，吉林 長春 130103）

黃海海戰的蘭徹斯特數學模型①

趙暢
（吉林師范大學數學學院，吉林 長春 130103）

分析原有的蘭徹斯特微分方程，根據黃海海戰的相關數據資料，對此方程進行相應的修改，建立符合這場戰役的蘭徹斯特戰斗模型.利用該模型分析戰爭勝負結果，找到影響戰爭勝負的因素，并假設適當引入現代信息化戰爭的科學技術，對黃海海戰進行合理猜想，推測雙方獲勝的可能性，得出信息技術的重要性.

黃海海戰；蘭徹斯特微分方程；蘭徹斯特戰斗模型；信息化戰爭

0　引言

（1）黃海海戰

甲午中日戰爭是19世紀末日本侵略中國的戰爭.在甲午戰爭中有一場著名戰役叫做黃海海戰，發生在在黃海北部海域，它是甲午戰爭中清日兩軍的第一次主力決戰.開戰之初，清軍即北洋水師總兵力2126人，日軍即日本聯合艦隊總兵力3916 人.歷時5個多小時，清軍死傷千余人，日軍死傷600余人，此役北洋水師失利，使黃海制海權落入日本聯合艦隊之手，對甲午戰爭的后期戰局具有決定性影響.

（2）蘭徹斯特方程

蘭徹斯特微分方程是描述交戰過程中雙方兵力變化關系的微分方程組.1915年，英國工程師F. W.Lancherster首次提出發表，從古代使用冷兵器進行戰斗和近代運用槍炮進行戰斗的不同特點出發，在一些簡化假設的前提下，建立了相應的微分方程組，深刻地揭示了交戰過程中雙方兵力變化的數量關系.

1　蘭徹斯特戰斗模型建立

戰爭的勝負與戰爭雙方參加戰爭軍隊的人數（兵力）成正比，而軍隊人數因戰斗的減少和非戰斗的減少，因后備軍的增援而增加.

軍隊的戰斗力是軍隊殺傷對方軍隊的能力，根據著名的蘭徹斯特戰斗力定律，有：戰斗力=參戰單位總數×單位戰斗效率.

假設清軍戰斗減員率f只與日軍的兵力n有關，則設f與n成正比.即

其中km表示日軍的戰斗有效率，

其中rn表示日軍的進攻率，Pn表示日軍每次進攻的命中率.同理，對于日軍的戰斗減員率g有

其中kn表示清軍的戰斗有效率，rm表示清軍的進攻率，Pm表示清軍每次進攻的命中率.

根據清日兩軍的減員率，可建立兩軍兵力變化模型：

其中：m（t），n（t）分別表示清日兩軍在時刻t的兵力；f（m，n），g（m，n）分別表示清日兩軍戰斗減員率；φ（m），Ψ（n）分別表示清日兩軍非戰斗減員率；σ（t），δ（t）分別表示清日兩軍在時刻t的增援率.

在分析甲午戰爭結局時因非戰斗減員與戰斗減員相比，數量很少可忽略這一項.且由于歐美列強采取默許或縱容的態度，并未對兩軍進行軍隊支持，即清日兩軍都沒有增援，既有σ（t）=δ（t）=0.設清日兩軍的初始兵力分別是則建立模型.

對此微分方程組進行求解，得

由初始條件，解得

當a＞0時，存在一個時刻t1，有m（t1）=0，且n（t1）＞0.這表示清軍兵力為零時，日軍兵力為正值，即日軍獲勝.因此，

當a＞0時，日軍獲勝；當a=0時，兩軍戰平；當a＜0時，清軍獲勝.

日軍若要獲勝，則需滿足以下條件：

2　模型的求解與擴展

根據資料顯示，可假設在黃海海戰中單位時間內清軍死傷1000人，日軍死傷600人，有

則

可見，日軍獲勝的可能性很大，與歷史上的實際結果相同.

當代的社會是一個信息化，科技化的社會，戰斗的方式與以前有了很大的不同.假設當年清軍北洋水師能夠利用現在的隱藏作戰技術（在隱蔽區域內活動）和雷達探測技術（準確擊中目標），清日兩軍的其他裝備依舊不變，下面根據假設對已得到的蘭徹斯特戰斗模型進行改進擴展.

設清軍在日軍看不到的某個面積為Sm的隱蔽區域內活動，日軍不是向清軍船只開火，而是向此隱蔽區域內開火，并且無法了解清軍的死傷情況.這時，在這個有限的隱蔽區域里清軍兵力越多，死傷也越多，因此清軍戰斗減員率不僅與日軍兵力有關，而且隨著清軍兵力的增加而增加.有

且日軍戰斗的有效系數為

其中rn表示日軍的進攻率，Pn表示日軍每次進攻的命中率，且為日軍每次進攻的有效面Sn與清軍的隱蔽活動區域Sm之比.則

依舊可以忽略清軍非戰斗減員率φ（m），日軍非戰斗減員率Ψ（n），令清日兩軍在時刻t的增援率σ（t）=δ（t）=0.則有

解此微分方程組有

根據初始條件，解得2

同理，當b＞0時，日軍獲勝；當b=0時，兩軍戰平；當b＜0時，清軍獲勝.

這時，清軍若想獲勝需滿足以下條件：

即

根據英國海軍年鑒的統計計算，日本艦隊的火力rn相當于北洋艦隊火力rm的3倍，再由假設清軍利用現代信息技術，每次射擊的命中率達到Pm= 1，故有

解上述不等式，有

得到清軍的隱蔽活動區域Sm與日軍每次射擊的有效面Sn之比大于10819.654時，清軍就能獲勝.黃海有海域遼闊的地理條件，現代信息化的高科技可以滿足這樣的條件，故清軍可以有以少勝多的可能性.

Lancherster Mathematical Model of Battle of Yalu River

ZHAO Chang
（College of Mathematics，Jilin Normal University，Changchun 130103，China）

Based on the analysis of the original Lancherster differential equations，according to the interrelated data of Battle of Yalu River，the equations were modified accordingly.A Lanchester combat model conforming to the battle was established.Then，the model analysis outcome of the war was used to find the influencing factors of the war outcome.The results of Yalu River Battle was conjectured reasonably according to the assumption of the appropriate introduction of science and technology of modern information war.speculated that likely to win on both sides，The importance of information technology was discussed.

Battle of Yalu River；Lanchester differential equations；Lanchester combat model；Information war

O175.1

A

1008-1402（2015）06-0819-02

2015-10-05

趙暢（1991-），女，吉林九臺人，吉林師范大學數學學院在讀研究生，應用數學.