雙值合一

呂廣玉

我們知道，絕對值|a|的幾何意義是：數軸上表示a的點到原點的距離，|a-2|的幾何意義是：數軸上表示a的點到2的距離，由此可以求絕對值方面的最小值問題，所以簡稱雙值合一。

一、探究結論

探究1求|x+4|的最小值，顯然，當x=-4時，最小值為0。將探究1中的一個點改為三個點變為：

探究2求|x+4|+|x+1|+|x-2|的最小值。

由絕對值的幾何意義可知：該題本質就是在數軸上求一點x，使該點到-4、-1、2三數對應點的距離之和最小。如圖：

由圖形可知，-1的左邊和-1的右邊對應的點到-4、-1、2三數對應的點距離之和均大于2-（-4）=6，而-1對應點到-4、-1、2三數對應點距離之和均等于6。所以，|x+4|+|x+1|+|x-2|的最小值為6，此時，x=-1。

將探究3中的三個點改為五個點變為：探究3求|x+4|+|x+3|+|x+1|+|x-1|+|x-2|的最小值。

由絕對值的幾何意義可知：該題本質就是在數軸上求一點x，使該點到-4、-3、-1、1、2五數對應點的距離之和最小。如圖：

由圖形可知，-1的左邊和-1的右邊對應的點到-4、-3、-1、1、2五數對應的點距離之和均大于2-（-4）{1-（-3）=10，而-1對應點到-4、-3、-1、1、2三數對應點距離之和均等于10。所以，|x+4|+|x+1|+|x-2|的最小值為10，此時，x=-1。

結論1：由探究1、探究2、探究3可知：在數軸上有奇數個間隔相等的點，在其上找一點x，使得這一點到這些點的距離和最小，這點就是這些點中間的那個點（這些點要由小到大排列），其最小值為最左邊的點與最右邊的點的距離、最左邊的第二點與最右邊的第二點的距離、……所有這些距離之和。將奇數個點改為偶數個點繼續探究。

探究4求：|x+4|+|x-2|的最小值

由絕對值的幾何意義可知：該題本質就是在數軸上求一點x，使該點到-4與2兩數對應點的距離之和最小。如圖：

顯然，-4的左邊，2的右邊對應的點到-4與2對應的點距離之和均大于2-（-4）=6，而-4與2之間（包含一4和2）的任一數對應點到-4與2對應點距離之和均等于6。所以，|x+4|+|x-24|的最小值為6。此時，-4≤x≤2。將上題中的兩個點改為四個點變為：

探究5求：|x+4|+|x+2|+|x-1|+|x-2|的最小值。

由絕對值的幾何意義可知：該題本質就是在數軸上求一點x，使該點到-4、-2、1、2四數對應點的距離之和最小。如圖

由圖形可知，-2的左邊，1的右邊對應的點到-4、-2、1、2對應的點距離之和均大于2-（-4）+1-（-2）=9，而-2與1之間（包含-2和1）的任一數對應點到-4、-2、1、2對應點距離之和均等于9。所以，|x+4|+|x+2|+|x-1|+|x-2|的最小值為9，此時，-2≤x≤l.

結論2由探究3和探究4可知：在數軸上有偶數個間隔相等的點，在其上找一點x，使得這一點到這些點的距離和最小，這點在這些點的中間兩個點之間（包含兩個端點）（這些點要由小到大排列），其最小值為最左邊的點與最右邊的點的距離、最左邊的第二點與最右邊的第二點的距離、……所有這些距離之和。

二、實際應用

問題1在同一家公司上班的阿偉、阿明、阿紅住在A、B、C三個小區，如圖所示

A、B、C三點在同一條直線上，且AB=100m，BC=200m，為了響應國家節能減排的號召，他們打算合乘一輛車去上班，為使三個人步行到汽車的路程之和最小，請問汽車應?？吭谶@條直線上的何處？此時，三個人步行的最短路程是多少？

此問題轉化為：在x軸上求一點P，使得P點到A、B、C三點的距離之和最小，顯然，由結論1可知，汽車應停在點B處，三個人步行的最短路程是200+300=500（m）。

問題2如圖所示：甲、乙、丙、丁四個小區在同一條直線上，為了響應國家全民

健身的號召，四個小區的老年人準備一起編排大型舞蹈，各小區參加編排的老年人分別是：甲區有600人，乙區有520人，丙區有500人，丁區有394人，為了方便老年人行走，使他們所走的總路程之和最小，請問他們的編排場所應設在這條直線的何處？

此問題不能簡單地把甲、乙、丙、丁四個小區看作四個點，然后利用結論2把編排場所設在乙丙之間（含乙丙），這是因為每個小區人數不等，可這樣去思考，甲區的600人相當于600個相等的數對應的點，同樣，乙、丙、丁分別相當于520個、500個、394個相等的數對應的點，這樣共有2014個點，此問題可轉化為：在x軸上求一點P，使得P點到這2014個對應點的距離之和最小，由結論2可知編排場所應設在第1007和第1008之間（含這兩個點），而第1007和第1008在乙小區，所以編排場所應設在乙小區。

后記：通過以上問題探討，我們平時應善于總結規律，然后再利用這些規律去解決生活中的實際問題，即數學來源于生活又服務于生活，這樣才能培養學生學習數學的興趣，使他們覺得數學有用、可用、好用，這才是數學教學的根本所在。