非奇異M－矩陣Hadamard積的最小特征值的改進估計式

周平 （文山學院數學學院，云南 文山663000）

1 基本概念和引理

令N＝｛1，2，…，n｝，Cn×n（Rn×n）表示所有n×n階復（實）矩陣構成的集合。

定義1［1～9］設A＝（aij）∈Rn×n，若aij≥0；i，j∈N，則稱A為非負矩陣，記為A≥0；若aij＞0；i，j∈N，則稱A為正矩陣，記為A＞0。

定義2［1～9］記Zn×n＝｛A＝（aij）∈Rn×n｜aij≤0；i，j∈N；i≠j｝，稱Zn×n中的矩陣A為Z－矩陣，簡記A∈Zn×n。

定義3［1］設σ（A）＝｛λi＝1，2，…，n｝（λi是A的所有特征值），則σ（A）叫做A的譜；矩陣A的n個特征值的模的最大者稱為A的譜半徑，記為ρ（A），即ρ（A）＝max｛｜λi｜，i∈N｝。

定義4［1］若A＝（aij）∈Zn×n可表示為A＝sI－P，其中P≥0，s≥ρ（P），則稱A為M－矩陣。

特別地，當s＝ρ（P）時，稱A為奇異M－矩陣；當s＞ρ（P）時，稱A為非奇異M－矩陣。記所有n×n階非奇異M－矩陣所成之集為Mn。

引理1［1］設A∈Zn，則A∈Mn當且僅當A－1≥0。

引理2［1］設A≥0，若A的譜半徑ρ（A）是A的一個特征值，即ρ（A）∈σ（A），此時稱ρ（A）為A的Perron特征值。

定義5［1］設A＝（aij）∈Zn×n，記τ（A）＝min ｛Re（λ）∈σ（A）｝，稱τ（A）為A的最小特征值。

引理3［2］若A∈Mn，則τ（A）為A的模的最小特征值，且τ（A）＝＞0。

定義6［1～9］設A＝（aij）∈Cm×n，B＝（bij）∈Cm×n，用A?B表示A和B的對應元素相乘而成的m×n陣，即：

稱其為A和B的Hadamard積，也稱為Schur積。

引理4［2］設A，B∈Rn×n都為M－矩陣且B非奇異，則A?B－1為M－矩陣。

引理5［1］若A是M－矩陣，則存在正對角矩陣D，使得D－1AD是行嚴格對角占優M－矩陣。

引理6［1］設A，B∈Rn×n，且D，E∈Rn×n是對角矩陣，則：

引理7［1］設A∈Mn，D＝diag（d1，d2，…，dn），di＞0（i＝1，2，…，n），則D－1AD是M－矩陣。

引理8［6］若A＝（aij）∈Cn×n，則對任意的0≤α≤1和任意的正實數組x1，x2，…，xn，A的特征值位于下列區域：

設A＝（aij）∈Rn×n是非奇異M－矩陣，對任意i，j，k∈N；i≠j，定義：

引理9［9］如果A＝（aij）∈Rn×n是一個行嚴格對角占優M－矩陣，則A－1＝（βij）存在，且：

引理10［9］如果A＝（aij）∈Mn是一個行嚴格對角占優M－矩陣，則A－1＝（βij）存在，且：

引理11［9］如果A＝（aij）∈Rn×n是M－ 矩陣，A－1＝（βij）是雙隨機矩陣，則：

2 主要結論

定理1 設A＝（aij）∈Mn，B＝（bij）∈Mn，A－1＝（βij），則：

證明 因為A∈Mn，所以應用引理4～引理7，存在正對角矩陣D，使得D－1AD是嚴格對角占優M－ 矩陣，且有τ（B?A－1）＝τ（D－1（B?A－1）D）＝τ（B?（D－1AD）－1）。為了不失一般性，假設A是嚴格行對角占優M－矩陣。

（Ⅰ）如果矩陣A和B都是不可約矩陣，令＝ajk｜mki；i，j∈N；j≠i，則：

因此，存在實數εji（0≤εji≤1），使得：

從而：

又令εj＝，則0＜εj≤1（如果εj＝0，則A是可約矩陣，這與假設矛盾），所以：

因為A是不可約矩陣，所以：

記τ（B?A－1）＝λ，則根據引理8和引理9知，存在i（1≤i≤n），有：

即：

由引理3，上式可變為：

故：

（Π）如果A和B中至少有一個是可約矩陣時，令：

由于A，B∈Mn，從而對任意正數δ，只要δ足夠小時，A－δT與B－δT的所有主子式為正，且A－δT，B－δT是不可約的非奇異M－矩陣［3］，用A－δT和B－δT分別替換A，B，并且令δ→0，由（Ⅰ）和連續性可得該結論。

注1 在定理1中，當α＝0時，得到：

即為文獻［9］中的定理3.4。

事實上，因為：

所以：

定理2 若A＝（aij）∈Rn×n是嚴格行對角占優M－矩陣，A－1＝（βij），則：

證明 類似于定理1的證明，只須將定理1的證明過程中的bij替換成aij，bii替換成aii，便可得到定理2的結果。

定理3 設A＝（aij）∈Mn，B＝（bij）∈Mn，且A－1＝（βij）是雙隨機矩陣，則：

類似定理1的證明即可得到以上結論。

定理4 設A＝（aij）∈Mn，A－1＝（βij）是雙隨機矩陣，則：

證明 在定理3中令B＝A即可得到該定理。

注3 在定理3和定理4中，當α＝0時，分別得到：

即為Cheng Guanghui等［9］給出的定理3.1。

根據注1、注2、注3和注4可知，筆者所給出的這些估計式在一定條件下改進了已有文獻的結果。

3 算例分析

例1 令：

顯然A，B∈Mn。

應用 Matlab7.0計算τ（B?A－1）＝0.2148；

應用文獻［2］中定理5.7.31的估計式，得τ（B?A－1）≥0.07；

應用文獻［7］中定理9的估計式，得τ（B?A－1）≥0.052；

應用文獻［8］中定理2.1中的估計式，得τ（B?A－1）≥0.075；

但應用定理1，取α＝時，得τ（B?A－1）≥0.1742。

在這里，A是雙隨機矩陣，應用 Matlab7.0計算τ（B?A－1）＝0.9755。

應用Fiedler和 Markham的猜想得τ（A?A－1）≥0.05；應用文獻［7］中定理3.1得τ（A?A－1）≥0.06624；應用文獻［8］中定理3.2得τ（A?A－1）≥0.7999；應用文獻［9］中定理3.1得τ（A?A－1）≥0.8250。但應用定理4，取α＝時，得τ（A?A－1）≥0.9211。

對該算例的計算結果作比較可知，筆者給出的新估計式改進了Fiedler和Markham的猜想以及現有文獻的結果，所得結論是對相關文獻的一個有益補充。

［1］陳公寧 .矩陣理論與應用 ［M］.北京：科學出版社，2007.

［2］Horn R A，Johnson C R.Topic in Matrix Analysis ［M］.New York：Cambridge University Press，1991.

［3］Fiedler M，Markham T.An inequality for the Hadamard Product of anM－matrix and InverseM－matrix ［J］.Linear Algebra and its applications，1988，101：1～8.

［4］Yong X R.Proof of a conjecture of Fiedler and Markham ［J］.Linear Algebra and its applications，2000，320：167～171.

［5］Huang R.Some inequalities for the Hadamard product and the Fan product of matrices ［J］.Linear Algebra and its applications，2008，428：1551～1559.

［6］Cvetkovic L.H－matrix theory vs.eigenvalue localization ［J］.Numer Algor，2006，42：229～245.

［7］Li H B，Huang T Z，Shen S Q，et al.Lower bounds for the minimum eigenvalue of an M－matrix and its inverse ［J］.Linear Algebra and its applications，2007，420：235～247.

［8］Li Y T，Chen F B.Wang D F.New lower bounds on eigenvalue of the Hadamard product of an matrix and inverse ［J］.Linear Algebra and its applications，2009，430：1423～1431.

［9］Cheng G H，Tan Q，Wang Z D.Some inequalities for the minimun eigenvalue of of the Hadamard productof an matrix and inverse ［J］.Linear and Multilinear Algebra，2013，65：1029～1038 .