Knight不確定環境下“基差風險模型”最優對沖策略研究

李娟 （蕪湖職業技術學院經濟管理學院，安徽 蕪湖241003）

費為銀 （安徽工程大學金融工程系，安徽 蕪湖241000）

在投資實務中，風險是指未來不確定因素的變動導致投資者收益變動的可能性，未來事件越不確定，風險也就越大，因此風險和不確定常常被混淆。事實上，在面對充滿不確定因素的金融市場，早在1921年Knight［1］就界定了兩者的差異，將投資者能夠準確地加以觀察、分析和預見的那部分不確定視為風險，又稱為概率不確定；余者視為“真正”的不確定，稱之為Knight不確定（Knightian uncertainty）或模型不確定（model uncertainty），Ellsberg［2］稱之為含糊（ambiguity）。在模型研究中，將風險限定為與決策相關事件的概率分布唯一存在、在數量上可確定、封閉和完備的那種不確定，而Knight不確定卻具有易受“潛在意外”和“新事物”影響而經常變化、與決策相關事件不能用單一概率分布表示的特點。事實上，投資決策通常都是在Knight不確定環境下進行的，因而在Knight不確定環境下研究投資組合問題具有更加實際的意義。文獻 ［3］在區別風險和含糊的情形下研究了投資消費問題，此基礎上，文獻 ［4］運用α－極大極小期望效用（α－MEU）模型，區別了決策者的主觀信仰（含糊）和決策者的品味（含糊態度），推進了投資消費問題的研究；文獻 ［5～8］對Knight不確定環境下投資組合問題進行了研究。下面，筆者將基于文獻 ［9］中的“基差風險模型（basis risk model）”以及文獻 ［10］的帶有紅利支付的“基差風險模型”，運用文獻 ［4］中的 方法，區別含糊和含糊態度，進一步優化“基差風險模型”中的最優投資組合問題。

1 “基差風險模型”框架的構建

在包含未定權益和2種不同類型風險資產的金融市場中，一類是不可交易風險資產（如股票價格指數），另一類是可交易風險資產（如股票），其動力學由2個相關布朗運動驅動，在僅僅獲悉不可交易資產信息的情形下，尋求可交易資產的最優交易策略對沖未定權益，獲得期望指數效用最大化，Mania等［9］稱這一投資組合模型為“基差風險模型”。

為了研究需要，假設和Wt是定義在完備概率空間（Ω，A，（At）t∈［0，T］，P）上的標準布朗運動，相關系數～ρ∈（－1，1），其中A＝At表示從0時刻到T時刻來自于金融市場的全部信息。設H為T時刻未定權益的隨機支付，不可交易資產的價格動力學為：

式中，a（t，η）和b（t，η）分別表示不可交易資產價格的漂移項和擴散項。

可交易資產的收益率動力學為：

式中，μ（t，η）和σ（t，η）分別表示可交易資產的平均收益率和波動率；δ（t，η）是可交易風險資產派發的紅利率。

令信息集Ft＝＝，可觀測信息集為＝，其中，FW1，W（或FW）表示由布朗運動W1、W（或W）生成的增廣信息流。設市場無風險利率r＝0，式（1）中系數a、b和式（2）中系數μ、δ、σ均為適應泛函，且滿足：

（b）σ2＞0，b2＞0；

（c）式（1）存在唯一強解；

（d）H是關于σ－代數AT－可測、有界的隨機變量，且滿足E［eαH｜FT］＝E［eαH｜］。

設X0為投資人的初始財富，πt∈Π（Fη）（Π（Fη）稱為容許策略集，表示Fη－可料S－可積過程π的集類）為t時刻投資在可交易資產的金額，用來對沖未定權益的隨機支付H，則投資人的終端凈財富為：

2 Knight不確定環境的刻畫

在（Ω，A，（At）t∈［0，T］，P）上構造一個投資人決策所依賴的先驗集PΘ，用來反映投資者的含糊性：

在Knight不確定環境下，關于投資人的終端凈財富XT的α－MEU為：

其中，效用折現率β＞0；交易時間t∈［0，T］；α∈［0，1］反映投資人的含糊態度或品味。當α＝0時，取最大期望效用，投資人為極端風險喜好者；當α＝1時取最小期望效用，投資人為極端風險厭惡者。

在部分信息框架（可觀測信息集＝?Ft?At）和Knight不確定環境下，區別投資人的含糊和含糊態度，求解“基差風險模型”的最優對沖策略。提供如下假設：

（e）對于 ?π∈Π（Fη），＜ ∞ 和E［U2（XT）］＜ ∞。

根據文獻［4］和文獻［11］在條件（e）滿足時易得如下結論。

引理1 對任一實值過程（ρt），存在（ρt），（ρt））∈Θ使得如下等式成立：

引理2 令＝），＝），對于 ?π∈Π（Fη），t∈［0，T］，則：

（ii）簡記（）＝和（）＝（）分別是BSDE式（5）和式（6）的唯一解，進而：

由上述引理1和引理2以及文獻［4］，可導出如下定理。

定理1 若假設（e）滿足，先驗集Θ＝｛（γt）：｜γt｜≤κ，0≤t≤T，κ≥0｝為κ－無知的，則對于 ?π∈Π（Fη），則有：

（ii）設∈［0，1］，t∈［0，T］，（）0≤t≤Tγκ∈Θ，則Qγκ＝ΔQκ∈PΘ使得式（4）中的Jt滿足：

至此，將來自于投資人終端財富的α－MEU轉化成Qκ∈PΘ下的通常期望效用形式，這為最優對沖策略的求解提供了可能。

3 求解指數效用下的最優對沖策略

“基差風險模型”中，已知不可交易風險資產的價格動力學和可交易資產的收益率過程，在部分信息框架（僅僅擁有不可交易的風險資產信息）和Knight不確定環境下，區別投資人含糊和含糊態度，求解指數效用最大化時的最優對沖策略。

3.1 部分信息框架轉化為完成信息框架

已知和Wt是概率測度P下相關系數為∈（－1，1）的2個布朗運動，可觀測信息集為＝，其他信息未可知，要求解上述問題，需要利用布朗運動的相關性和濾波理論將其轉化到完全信息框架下。為此，首先構造：

式中，和是2個相互獨立的布朗運動，因而Wt是關于信息流FW1，W0（相當于FW1，W）的布朗運動。令由Girsanov定理，若滿足：

為P－鞅，則dv為新概率測度下的布朗運動，式（2）中的可交易資產收益率過程可表示成dSt＝σ（t，η）d，即為S的最小鞅測度。再根據式（11）可知：

也是下的布朗運動。

由文獻［9］知，在可觀測信息集Fη下，可交易資產的收益率過程可分解為：

滿足半鞅分解形式，其中：

由此，式（13）的微分形式可具體表示為：

將式（12）代入可得～P下的半鞅過程：

即轉化為可觀測信息集下的收益率過程。

3.2 Knight不確定環境下的最優對沖策略求解

當投資人具有先驗集PΘ進行決策時，式（3）中的終端凈財富會隨著先驗集中不同取值而具有不同的表現形式，事實上，考慮任何一個測度Qκ∈PΘ導出的最優性都是一致的。

如定理1（ii）的證明中所述，應用Girsanov定理，若滿足：

為鞅，則d＝dt＋d為新概率測度Qκ下的布朗運動。為了給出最優對沖策略的精確表達式，假設：

因此，在新概率測度Qκ下：

和

均為更新的布朗運動過程。定義：

為市場的風險價格。

在指數效用函數U（x）＝－e－mx（m＞0）下，不失一般性，取X0＝0，式（8）可以寫成：

定義式（16）對應的價值過程：

定理2 若條件（a）～ （e）成立且（π）＝（π）＞0，在可觀測集Fη中：

（i）式（17）中的滿足：

（ii）最優對沖策略為：

其中常數c＝（1－～ρ2），且h滿足等式：

證明 由式（15）可知，市場的風險價格為θt＝－（2α－1）κ，進而得到：

為考慮Knight不確定環境時的新概率測度Qκ下的布朗運動，再運用文獻［9］或文獻［10］的證明思路和方法可得結論。

推論1 在式（18）成立條件下，式（17）定義的價值過程為：

推論2 若條件（a）～（d）成立，μ、σ、δ、H≠0均為常量且－（2α－1）κ，則：

（i）價值過程為：

（ii）最優對沖策略為：

證明 （i）若μ、σ、δ、H≠0均為常量，＝H，代入式（18）化簡可得：

由推論1知：

（ii）由＝H代入式（20），得泛函h＝0，進而得最優對沖策略＝。

并且（i）和（ii）中的θ滿足式（15），即－（2α－1）κ。

特別地，當隨機支付H＝0，其他條件不變，模型就變成了一個純投資問題，則價值過程Vt＝，最優交易策略為所得結果符合常規模型的研究結果［12］。

4 數值分析

為了能夠形象直觀地認識在Knight不確定環境下，不確定程度（含糊度）和投資人含糊態度的變化對投資策略和價值過程的影響，基于推論2給出的結論，根據相關參數的合理取值范圍，現設定μ＝0.5，σ＝0.5，δ＝0.25，m＝1，H＝10，β＝0.05，T＝10，t＝1，給出最優對沖策略π＊t和價值函數Vt分別關于α∈［0，1］和κ∈［0，10］的函數圖像。

圖1和圖2分別表示不確定程度κ＝0.2、κ＝0.5、κ＝0.8時，最優對沖策略π＊t和價值函數Vt在α∈［0，1］上的關系圖，π＊t關于α遞減，Vt關于α遞增。觀察可知，α＝0.5是π＊t和Vt的分界點，當0＜α＜0.5時，投資人為風險喜好者，隨著不確定程度κ的增加，投資在可交易風險資產的金額π＊t增加，此時投資人擁有的價值Vt卻在減??；當0.5＜α＜1時，投資人為風險厭惡者，情況正好相反，不確定程度κ越大，π＊t減小，而Vt卻增大。

圖3表示含糊態度α＝0.2、α＝0.5、α＝0.8時，最優對沖策略π＊t在不確定程度κ∈［0，10］上的圖像。由圖3可知，3條曲線相交于（0，3）點，也就是說當不考慮金融市場Knight不確定（即κ＝0）時，無論投資人的含糊態度如何，都不影響投資策略，這將不能真實描述投資人的投資行為，也進一步說明了在投資組合研究中考慮Knight不確定的必要性和合理性。而在κ∈［0，10］時，對沖策略π＊t的變化是以投資人的含糊態度α＝0.5為分界線，當0＜α＜0.5時，π＊t隨著κ的增大而增大。相反，當0.5＜α＜1時，π＊t隨著κ的增大而減小，這與圖1反映的變化規律一致。

圖1 最優對沖策略π＊t和含糊態度α關系圖

圖2 價值過程Vt和含糊態度α關系圖

圖3 最優對沖策略π＊t和含糊態度κ關系圖

圖4 α＝0.2時價值過程Vt和含糊態度κ關系圖

圖4、圖5和圖6分別表示α＝0.2、α＝0.5、α＝0.8時，最優對沖策略Vt在κ∈［0，10］上的圖像。當α＝0.2時，投資人是風險喜好者，價值過程Vt關于κ急劇遞減，直至價值過程無限趨向于零；當α＝0.5時投資人是風險中性的，價值過程Vt保持不變；而當α＝0.8時，投資人為風險厭惡者，價值過程Vt隨著不確定程度κ的變化先增后減，并在κ∈（0，10）內取得極大值。

圖5 α＝0.5時價值過程Vt和含糊態度κ關系圖

圖6 α＝0.8時價值過程Vt和含糊態度κ關系圖

5 結語

基于文獻 ［9］中的“基差風險模型”，應用半鞅和BSED方程理論，考慮了部分信息框架和Knight不確定環境下的最優投資組合問題，給出最優對沖策略和價值過程的明確表達式，并進行了相關數值分析。該研究的主要特點是構建的金融市場不僅包含可交易風險資產和不可交易風險資產，還包含了未定權益，使金融市場的刻畫更加真實貼切，同時還考慮了投資人在面對Knight不確定環境時的含糊態度，且研究結果更加貼近金融市場的實際情形，是對“基差風險模型”的推廣，可以為操作實務中的投資組合構建提供更加有力的理論支撐。

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