具有多重休假和修復非新的Gaver并聯系統

金 宇, 孟憲云, 張 力, 陳雨田

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

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具有多重休假和修復非新的Gaver并聯系統

金 宇, 孟憲云, 張 力, 陳雨田

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

研究了一個修理工多重休假、兩個修復如新同型部件并聯和一個修復非新部件冷貯備的Gaver并聯系統. 修理工可多重休假, 休假時間服從一般連續型分布. 運用幾何過程理論、補充變量法和Laplace變換等數學工具, 得到系統瞬時可用度、瞬時可靠度等可靠性指標.

多重休假; 修復非新; 補充變量; 可用度

0 引言

Gaver并聯可修系統在可修系統的研究中受到很多關注. 因為設備都有一定的使用壽命, 修復非新這一假定也越來越多地應用到可修系統的研究中, 使理論更接近實際情況. 文獻[1]在假定部件修復如新的前提下研究了帶有一個冷貯備部件的Gaver并聯可修系統，利用向量Markov過程理論和Laplace變換方法, 通過求解一組微分方程, 得到了系統穩態可用度和穩態故障頻度等可靠性指標. 文獻[2]研究了兩個修復非新且不同型部件的冷貯備退化可修系統，并假定隨著修理次數的增多, 每次修理時間越來越長, 工作時間越來越短；系統中只有一個單重休假的修理工，利用微分方程和Laplace變換等方法得到一系列可靠性指標. 文獻[3-5]分別從并聯、冷貯備和相依等角度研究分析了兩部件可修系統. 文獻[6-8]專注于不同分布的冷貯備可修系統，研究分析了帶有修復非新的兩個不同型部件的冷貯備退化可修系統. 文獻[9-10]分別研究了不同的溫貯備系統. 文獻[11-12]分別研究了一般分布的可修系統和可修系統在計算機方面的應用.

作者在已有文獻的基礎上, 將修復非新這一假定引入到Gaver并聯可修系統中. 假定系統中兩個并聯部件修復如新, 工作時間服從指數分布, 修理時間服從一般分布. 一個冷貯備部件修復非新, 且隨著修理次數的增多, 壽命越來越短, 修理時間越來越長，運用補充變量法和Laplace變換得到系統的可用度、可靠度等可靠性指標.

1 模型假定

(1)系統由兩個同型部件、一個不同型部件和一個修理工組成.

(2)初始時刻三個部件都是新的, 兩個同型部件工作, 一個不同型部件冷貯備, 修理工休假.

(3)部件狀態之間的轉換通過轉換開關實現, 開關完全可靠且在瞬間完成.

(4)對兩個同型部件的修理是修復如新, 一個不同型部件的修理是修復非新的.

(5)系統的第n個周期是指不同型部件的第n-1次修理完成與第n次修理完成之間的時間間隔,n=1,2,3,…

X(2)和Y(2)分別記為兩個同型修復如新部件的工作壽命和修理時間,其分布為

F(2)(t)=1-exp(-λ2t),

修理工的休假時間服從一般分布

其中，t≥0,a>0,λ1>0,λ2>0,α>0,μ1>0,μ2>0;n=1,2,…

(7)修理工多重休假, 無空閑. 若一次休假結束后無故障部件, 則再次休假. 若休假結束后有兩個或兩個以上部件故障, 隨機選一個故障部件進行修理. 所有故障部件修復后, 修理工又馬上開始休假.

(8)所有隨機變量均相互獨立.

2 模型分析

記N(t)為系統在t時刻所處的狀態, 則系統狀態如下:

0: 兩個如新部件工作, 非新部件貯備, 修理工休假;

0′: 一個如新部件和非新部件工作, 另一個如新部件貯備, 修理工休假;

1: 一個如新部件和非新部件工作, 另一個如新部件故障, 修理工休假;

1′:兩個如新部件工作, 一個非新部件故障, 修理工休假;

2: 一個如新部件工作, 非新部件和另一個如新部件故障, 修理工休假;

2′: 非新部件工作, 兩個如新部件故障, 修理工休假;

3: 一個如新部件和非新部件工作, 另一個如新部件修理;

3′:兩個如新部件工作, 非新部件修理;

4: 一個如新部件工作, 另一個如新部件修理, 非新部件待修;

4′: 一個如新部件工作, 非新部件修理, 另一個如新部件待修;

4″: 非新部件工作, 一個如新部件修理, 另一個如新部件待修;

5: 三個部件均待修, 修理工休假;

6: 一個如新部件修理, 另一個如新部件和非新部件待修;

6′: 非新部件修理, 兩個如新部件待修.

上述狀態中, 狀態0,0′,1,1′,2,2′,3,3′,4,4′,4″是系統的工作狀態, 狀態5,6,6′是系統的故障狀態. 由假定知此過程不是Markov過程, 引入補充變量如下:

X(t): 當N(t)=0,0′,1,1′,2,2′,3,3′,4,4′,4″時,X(t)表示在時刻t修理工已經用去的休假時間;

Y(t): 當N(t)=5,6,6′時,Y(t)表示在時刻t部件已經用去的修理時間;

S(t): 非新部件在時刻t的周期數.

則{S(t),N(t),X(t),Y(t),t≥0}構成一個Markov過程.有

Pik(t,x)=P{N(t)=i,S(t)=k,x≤X(t)

Pjk(t,y)=P{N(t)=j,S(t)=k,y≤Y(t)

引入如下記號:

引理1 系統狀態方程組解的Laplace變換表達式為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

ak-1λ1(ak-1λ1-3λ2)(ak-1λ1-2λ2)-1(e-ak-1λ1x-1)-2λ2(e-(ak-1λ1+λ2)x-1)](ak-1λ1-λ2)-1×

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

其中,

c5k(s)=(ak-1λ1-λ2)-1[λ2h*(s+ak-1λ1+λ2)-

ak-1λ1h*(s+2λ2)+(ak-1λ1-λ2)h*(s+2λ2)],

證明 根據模型假定及系統分析可建立系統狀態方程組如下 ：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

邊界條件如下:

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

Pik(t,0)=0,i=1,1′,2,2′,5,

(46)

(47)

(48)

(49)

初始條件為P01(0,1)=0, 其余為零.

3 主要結果及證明

定理1 設系統瞬時可用度為A(t), 則其Laplace變換表達式為

證明 系統瞬時可用度指在時刻t系統處于工作狀態的概率, 本模型中工作狀態有0,0′,1,1′,2,2′,3,3′,4,4′,4″,則有

兩邊做Laplace變換，有

定理2 設系統瞬時故障頻度為W(t), 則其Laplace變換表達式為

證明 系統瞬時故障頻度是指在時刻t系統由工作狀態轉為故障狀態的概率,在本模型中即指系統中只有一個部件工作, 且該工作部件故障的概率. 則有

定理3 設系統瞬時等待修理的概率為Pw(t), 即系統處于故障狀態的同時修理工處于休假狀態的概率，亦即本模型的狀態5, 則有

證明 兩邊做Laplace變換, 并將引理1的相關結果代入，即得

定理4 設修理工的休假概率為Pv(t), 則其Laplace變換表達式為

其中,K13=[(ak-1λ1-λ2)(ak-1λ1-2λ2)]-1,K14=[2(λ2-ak-1λ1)(ak-1λ1+λ2)]-1.

證明 分析系統狀態可知修理工休假的狀態有0,0′,1,1′,2,2′,5，則

定理5 設系統可靠度為R(t)，則其Laplace變換表達式為

證明 由可靠度定義可得

(50)

為求得系統的可靠度R(t), 將本模型中的故障狀態5,6,6′視為隨機過程的吸收態, 得到一個新的隨機過程，此時系統狀態空間為

E={0,0′,1,1′,2,2′,3,3′,4,4′,4″}.

系統方程與前系統大致相同, 不同之處在于刪掉方程(34)～(36),(44)和(45), 另由方程(41)、(42)得

(51)

由方程(43)得

(52)

對式(50)做Laplace變換可得

利用引理1的相關結果以及方程(51)、(52)可得

(53)

(54)

(55)

(56)

4 結束語

在實際情況中, 系統部件往往不是修復如新的, 隨著部件使用時間越久, 修復次數增多，部件修理時間會越來越長，鑒于此,將修復非新這一條件加入到Gaver并聯可修系統中，研究了修理工可多重休假，并帶有一個修復非新的冷貯備部件的Gaver并聯可修系統,利用Markov過程理論和Laplace變換的方法，得到了系統瞬時可靠度的Laplace變換式，以及系統瞬時可用度等一系列可靠性指標.

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(責任編輯：孔 薇)

Gaver’s Parallel System with Repair of Non-new and a Repairman with Multiple Vacations

JIN Yu, MENG Xian-yun, ZHANG Li, CHEN Yu-tian

(CollegeofScience,YanshanUniversity,Qinghuangdao066004,China)

A Gaver’s parallel system attended by a repairman with multiple vacations, two parallel units with repair of new and a cold standby unit with repair of non-new was studied. The repairman vacation time obeyed the general distribution. The system’s instantaneous availability, instantaneous reliability and other reliability indices were obtained by using the geometric process theory, the supplementary variable method, Laplace transform and other math tools.

multiple vacation; repair of non-new; supplementary variable; availability

2015-03-12

河北省教育廳高等學校自然科學研究指導項目，編號Z2014123.

金宇(1988-)，女，黑龍江伊春人，碩士研究生, 主要從事可靠性理論應用研究,E-mail: 624268434@qq.com.

金宇, 孟憲云, 張力,等. 具有多重休假和修復非新的Gaver并聯系統[J].鄭州大學學報：理學版，2015,47(3)：7-16.

O213.2

A

1671-6841(2015)03-0007-10

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.03.002