常利率下分紅稀疏風險模型的期望折現罰金函數

趙金娥, 李 明, 何樹紅

(1.紅河學院 數學學院 云南 蒙自 661199； 2.云南大學 數學與統計學院 云南 昆明 650091)

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常利率下分紅稀疏風險模型的期望折現罰金函數

趙金娥1, 李 明1, 何樹紅2

(1.紅河學院 數學學院 云南 蒙自 661199； 2.云南大學 數學與統計學院 云南 昆明 650091)

考慮到保險公司的投資收益及分紅策略,建立常利率和常數紅利邊界策略下的稀疏風險模型,其中保費收入不再是時間的線性函數,而是一個復合Poisson過程,且索賠次數是保單到達數的稀疏過程.利用全期望公式及盈余過程的強馬氏性,得到了期望折現罰金函數、破產時的Laplace變換、破產時赤字的期望折現以及破產概率滿足的積分微分方程,并借助合流超幾何函數給出指數保費和指數索賠下破產概率的具體表達式.

紅利； 常利率； 期望折現罰金函數； 破產概率； 合流超幾何函數

0 引言

風險理論主要研究和處理保險實務中的隨機風險模型,并從定量角度分析保險公司經營的安全性,是當前精算界和數學學科研究的熱門課題.傳統的風險理論主要集中在對破產概率的研究,并且在大多數情況下只能得到破產概率的近似表達式或上界估計[1-3].1998年Gerber等[4]將破產時刻、破產前瞬時盈余和破產時赤字這三個破產理論中最為關注的精算指標融入到一個函數中,提出了期望折現罰金函數,這一重要函數的提出為研究破產理論帶來極大便利,也在很大程度上推動了風險理論的發展,并出現了大量的研究成果[5-7].近年來隨著人們對投資理財認知程度的提高以及保險業競爭的日益激烈,保險公司為了吸引更多的客戶,推出了分紅保險,這使得分紅與破產問題成為當前保險管理及保險精算中備受關注的問題,而關于紅利邊界策略下經典風險模型的研究已較為透徹.自文獻[8]首次提出常數紅利邊界策略下保費收入為復合Poisson過程風險模型以來,該模型已引起學者們的極大關注.考慮到保險實務中保單到達和索賠發生的相依性,文獻[9]對文獻[8]進行推廣,研究了索賠次數是保單到達數的p-稀疏過程且保費隨機收取風險模型的期望折現罰金函數和最優紅利策略.

由于在保險公司的實際運營中,保險公司會將大部分的保費收入用于投資,并且投資所得占當前保險公司總收入的絕大部分,因此市場利率對保險公司的盈余將產生重要影響.作者在文獻[9]的基礎上考慮投資收益,建立常利率和常數紅利邊界策略下保費收入為復合Poisson過程,而索賠計數過程為保單到達過程的p-稀疏過程的風險模型.首先得到了模型的期望折現罰金函數滿足的積分微分方程,然后通過期望折現罰金函數得到了破產時的Laplace變換、破產時赤字的期望折現以及破產概率滿足的積分微分方程,最后在保費額與索賠額均服從指數分布的情形下借助合流超幾何函數得到了破產概率的具體表達式,所得結果推廣了文獻[7]及文獻[9]的相關結論.

1 模型介紹

定義1 設(Ω,F,P)是一完備概率空間,文中所涉及到的隨機變量均定義在該空間上,則對t≥0,常利率下保險公司在t時刻的盈余過程為

其中,r,u為非負常數,r表示常利率,u=U(0)是保險公司的初始資本；M(t)為至時刻t為止收到的保單數;Yi表示對第i份保單收取的保險費;τi為第i份保單到達的時刻；N(t)為至時刻t為止發生的索賠次數;Xi表示第i次的索賠額;κi為第i次索賠發生的時刻.

對上述模型作如下假設：

(1) 計數過程{M(t),t≥0}是強度為λ>0的Poisson過程,而{N(t),t≥0}是{M(t),t≥0}的p-稀疏過程；

(3) {M(t),t≥0},{Xi,i≥1}和{Yi,i≥1}相互獨立.

給定紅利界限b(u≤b),若保險公司的盈余超過紅利界限b,超出部分全部用來分紅,若盈余在紅利界限以下便不發放紅利.于是在該紅利邊界策略下保險公司的盈余過程{Ub(t),t≥0}可表示為

(1)

為破產時的期望折現罰金函數,也叫Gerber-Shiu函數.

顯然,當ω(x,y)=y時,(1)式即為破產時赤字的期望折現

當ω(x,y)=1時,(1)式為破產時的Laplace變換,用φb(u)表示,即

當ω(x,y)=1且δ=0時,(1)式為破產概率

2 期望折現罰金函數

定理1 當0≤u≤b時,期望折現罰金函數mb(u)滿足如下積分微分方程：

(2)

注1 當r=0時,(2)式即為文獻[9]中的(3.6)式；當r=0且b→∞時,(2)式即為文獻[7]中的(2.1)式.

證明 在無窮小的時間區間(0,Δt]上,利用盈余過程的強馬氏性及全期望公式,有

mb(u)=E[mb(Ub(Δt))]=[1-λΔt+ο(Δt)]e-δΔtE[mb(uerΔt)]+

[(λΔt+ο(Δt))(1-p)]e-δΔtE[mb(uerΔt+Y)]+

[(λΔt+ο(Δt))p]e-δΔtE[mb(uerΔt+Y-X)]+ο(Δt).

(3)

由于

(4)

(5)

將(4)式和(5)式代入(3)式,有

兩邊同時除以Δt,并令Δt→0,有

由此可得(2)式.

當u>b時,保險公司把超過b的那部分盈余全部進行分紅,此時mb(u)=mb(b).

定理2 當0≤u≤b時,赤字的期望折現函數φb(u)滿足如下積分微分方程：

(6)

當u>b時,φb(u)=φb(b).

注2 當r=0時,(6)式即為文獻[9]中的(3.8)式.

證明 在(2)式中令ω(x,y)=y,即得結論.

定理3 當0≤u≤b時,破產時的Laplace變換滿足如下積分微分方程：

(7)

當u>b時,φb(u)=φb(b).

注3 當r=0時,(7)式即為文獻[9]中的(4.1)式.

證明 略.

定理4 當0≤u≤b時,破產概率ψb(u)滿足如下積分微分方程：

(8)

當u>b時,ψb(u)=ψb(b).

證明 略.

3 破產概率的具體表達式

一般情形下很難給出以上積分微分方程的精確解,但在索賠額與保費額均服從指數分布時可得到破產概率的精確表達式.

設F(x)=1-e-αx(x>0),G(y)=1-e-βy(y>0),則(8)式為

(9)

(9)式兩邊對u求導,有

(10)

(10)式兩邊再對u求導,有

(11)

由(9)～(11)式,有

(12)

解之得

分別是第一類和第二類合流超幾何函數.所以

A1h1(u)+A2h2(u),

所以

ψb(u)=A0+A1H1(u)+A2H2(u),

這里

又由文獻[10]有ψb(0)=1及ψb(+∞)=0,故A0=1,且

1+A1H1(+∞)+A2H2(+∞)=0.

(13)

在(9)式中令u=b,有

(14)

聯立(13)和(14)式,解得

[1] 楊洋,林金官,高慶武.時間相依更新風險模型中無限時絕對破產概率的漸近性[J].中國科學:數學,2013,43(2):173-184.

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[5]LiShuanming,LuYi.Ontheexpecteddiscountedpenaltyfunctionfortwoclassesofriskprocesses[J].Insurance:MathematicsandEconomics, 2005,36(2):179-193.

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[9] 趙金娥,李明,何樹紅.一類稀疏風險模型的Gerber-Shiu函數和最優紅利策略[J].應用概率統計,2014,30(4):439-448.

[10]方世祖,羅建華.雙復合Poisson風險模型[J].純粹數學與應用數學,2006,22(2):271-278.

(責任編輯：孔 薇)

The Expected Discounted Penalty Function for a Thinning Risk Model with Constant Interest and Dividends

ZHAO Jin-e1, LI Ming1, HE Shu-hong2

(1.CollegeofMathematics,HongheUniversity,Mengzi661199,China;2.CollegeofMathematicsandStatistics,YunnanUniversity,Kunming650091,China)

Considering the insurance company’s investment income and dividend strategy, a thinning risk model was established. In contrast with the classical risk model where the premium process was a linear function of time, the aggregate premium process was a compound Poisson process and the claim number process was a thinning process of the premium arriving number process. Moreover, there were a constant interest and a constant dividend barrier strategy in this model. By taking full advantage of the total expectation formula and the strong Markov property of the surplus process, the integro-differential equations for the expectation discounted penalty function, the Laplace transform of the time of ruin, the discounted expectation of the deficit at ruin and the ruin probability were derived. Meanwhile, the explicit expression for the ruin probability was given in terms of the confluent hypergeometric functions when the individual stochastic premium amount and claim amount were exponentially distributed.

dividend; constant interest; expected discounted penalty function; ruin probability; confluent hypergeometric function

2015-05-30

國家自然科學基金資助項目,編號11301160;云南省科技廳自然科學研究基金資助項目,編號2013FZ116;云南省教育廳科研基金資助項目,編號2013C014；紅河學院科研基金資助項目，編號XJ15SX06.

趙金娥(1978-),女,云南大理人,講師,碩士,主要從事保險風險理論研究,E-mail:zhaojine0829@163.com;通訊作者：李明(1983-),男,湖南長沙人,講師,碩士,主要從事偏微分方程數值解研究,E-mail:mathlm@126.com.

趙金娥,李明,何樹紅.常利率下分紅稀疏風險模型的期望折現罰金函數[J].鄭州大學學報：理學版，2015,47(3)：37-42.

O211.67

A

1671-6841(2015)03-0037-06

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.03.007