擺式調諧質量阻尼器頻率調節新方法①

汪志昊， 郜 輝， 張 闖， 劉 飛

(華北水利水電大學土木與交通學院， 河南 鄭州 450045)

擺式調諧質量阻尼器頻率調節新方法①

汪志昊， 郜 輝， 張 闖， 劉 飛

(華北水利水電大學土木與交通學院， 河南 鄭州 450045)

針對大型擺式調諧質量阻尼器(PTMD)頻率調節較難的問題，提出了一種基于永磁體作用力的頻率調節新方法，即在PTMD上附加安裝永磁體剛度調節裝置，通過調整永磁體產生附加剛度的正負與大小，改變PTMD的等效剛度，繼而實現PTMD頻率的雙向調節?；诶窭嗜辗匠探⒘薖TMD與永磁體剛度調節裝置耦合系統的運動微分方程，闡述了該頻率調節方法的可行性，以及PTMD振動頻率隨幅值的定性變化規律，最后開展模型試驗進一步驗證與明確了永磁體作用力對PTMD頻率的調節機理。理論分析與試驗結果表明：當擺式PTMD質量塊兩側均布置相吸永磁體時，PTMD頻率降低；當布置相斥永磁體時，PTMD頻率增大；PTMD頻率調節初步設計時，永磁體作用力的附加剛度理論計算值宜適當折減后作為實際等效剛度，該折減系數可偏保守的取為0.5。

振動控制； 調諧質量阻尼器； 頻率調節； 拉格朗日方程； 等效剛度

引 言

調諧質量阻尼器(TMD)對風敏感結構振動控制效果突出，已在高聳建筑與大跨度橋梁結構得到廣泛應用[1-3]。TMD主要由質量塊、調諧頻率的彈性元件與耗散結構振動能量的阻尼元件三大組件構成。適用于超高層建筑、高聳電視塔等結構風致振動控制的TMD主要是采用擺式結構作為彈性元件的擺式TMD，尤其是具有形式簡單、設計簡便、單臺TMD就可實現結構多向振動控制等優點的單擺式TMD[4]。擺式TMD在超高層建筑結構的典型應用有：臺北101大樓風致振動控制，TMD運動質量塊660 t，由8組長11.5 m、直徑90 mm的高強度鋼索懸吊支承于該大樓的92層結構[5]；上海中心風致振動控制，TMD運動質量塊重量高達1000 t，采用12根、長25 m的鋼索懸掛[6]。

擺式TMD還常應用于大跨度斜拉橋懸臂施工階段主梁的風致振動控制[7]，此時TMD需要根據施工進度不斷調整頻率以適應結構目標控制模態自振頻率的變化。此外，一方面由于TMD設計、制造誤差以及結構自振頻率計算誤差等因素，TMD安裝過程中需要對自身頻率進行調整使其接近于結構自振頻率；另一方面在TMD長期運營中，也有必要對TMD的頻率進行適當調整，以避免TMD頻率失諧帶來的減振效果下降[8]。因此，擺式TMD的頻率調節顯得尤為重要。目前，擺式TMD頻率調整方法主要有：設置被動式擺長調節機構[9]、主動自適應式擺長調節機構[10]、附加調頻彈簧[11]等。但擺長調節機構復雜，且占用空間大；而調頻彈簧僅能增大TMD頻率，無法降低既有TMD頻率。

受永磁式電渦流阻尼TMD[12]與振動能量回收領域諧振頻率調節技術[13-14]的啟發，本文擬提出一種基于永磁體作用力的擺式TMD頻率調節方法，其核心思想是將永磁體設置在擺式TMD的質量塊與主體結構之間，構成永磁式剛度調節裝置，利用永磁體同性相斥、異性相吸的特點，改變TMD質量塊在擺動過程中回復力的大小，即通過改變TMD的等效剛度實現TMD頻率的調節。永磁式剛度裝置(彈簧)具有無機械接觸、無磨損、壽命長、噪聲小，以及剛度調節方便等優點，在機電領域研究與應用較多。文獻[15-16]研究分析了永磁式剛度裝置的力學特性，文獻[17-18]將永磁式剛度裝置應用于壓電式微振動能量回收，文獻[19]將永磁式剛度裝置應用于超精密加工所需的隔振器。

本文嘗試將永磁式剛度裝置應用于工程結構振動控制領域，綜合理論分析和模型試驗對基于永磁體作用力的擺式TMD頻率調節方法進行了可行性研究。

1 基于永磁體作用力的擺式TMD頻率調節原理

由擺式TMD振動頻率f計算公式

(1)

式中k，m分別表示擺式TMD的回復力剛度與擺動質量?？梢?，當質量不變時，欲調節TMD頻率，只能改變TMD剛度。如圖1所示，附加永磁體作用力頻率調節裝置的擺式TMD由與主結構體連接的吊索、吊掛在吊索下端部的運動質量塊、設置在質量塊與結構體之間的黏滯阻尼器，以及基于永磁體作用力的剛度調節裝置組成；當進行低頻調節時，剛度調節裝置包括n塊設置在質量塊側面上的極性為N極/S極的永磁體和n塊設置在該側面對應的主結構體上的極性為S極/N極的永磁體。

當圖1中TMD運動質量塊擺動到任意位置時，質量塊兩側永磁體吸引力的差值將使得永磁體作用力永遠背離平衡位置，從而降低了質量塊往復振動的回復力，即減小了TMD的等效剛度，使得TMD頻率降低。同理，當質量塊兩側永磁體相互排斥時，將使TMD頻率增大。

圖1 擺式TMD頻率調節原理示意圖Fig.1 Principle diagram of frequency tuning method for a pendulum TMD

2 擺式TMD頻率調節方法的理論研究

2.1 擺式TMD與永磁體剛度調節裝置耦合系統的運動微分方程

由于擺式TMD的對稱性，可僅取TMD運動右側運動時進行研究。擺式TMD坐標系定義見圖2所示，相應受力簡圖見圖3。

圖2 擺式TMD坐標系Fig.2 The coordinate system of a pendulum TMD

圖3 擺式TMD受力示意圖Fig.3 The force diagram of a pendulum TMD

此時TMD運動質量塊的運動狀態由下面的式子給出：

x=lsinθ(t)

(2)

y=l(1-cosθ(t))

(3)

(4)

(5)

式中 x，y表示TMD質量塊的位置坐標，l表示TMD擺長，θ表示擺角。

擺式TMD系統所具有的動能T為

(6)

重力引起的勢能V

V=mgl(1-cosθ)

(7)

非保守廣義力Q

Q=-(Fp-Fn)lcosθ

(8)

式中 Fp表示增加系統回復力的永磁體作用力，Fn表示減小系統回復力的永磁體作用力。

當質量塊兩側的永磁體相互吸引時：

(9)

(10)

當質量塊兩側的永磁體相互排斥時：

(11)

(12)

式中 Br,Am，δ與r分別表示永磁體的剩磁感應強度、有效充磁面面積、充磁長度(永磁體厚度)與充磁面半徑，μ0表示真空磁導率，d0表示TMD處于平衡位置時同組永磁體之間的水平凈距。

將式(6)～(12)代入拉格朗日方程

(13)

得到擺式TMD與永磁體剛度調節裝置耦合系統的自由振動微分方程

(14)

由于擺角θ很小，可近似地取sinθ≈θ，cosθ≈1，則式(14)簡化為

(15)

2.2 基于永磁體作用力頻率調節方法的可行性研究

附加永磁體作用力頻率調節裝置的擺式TMD系統回復力

(16)

則TMD等效剛度

(17)

令

ke=kl+kmag

(18)

其中，擺長l對應的TMD初始剛度

(19)

永磁體作用力產生的附加剛度

kmag=kp-kn

(20)

當擺式TMD運動質量塊兩側永磁體相互吸引時

(21)

(22)

同理，當擺式TMD運動質量塊兩側永磁體相互排斥時：

(23)

(24)

由于kp>kn，kmag=kp-kn>0，則ke=kl+kmag>kl，即當擺式TMD運動質量塊兩側永磁體相互排斥時，會使TMD等效剛度增加，此時TMD頻率將增大。

2.3 永磁體作用力附加剛度與振幅的關系

為確定永磁體作用力的頻率調節范圍，首先需要確定永磁體作用力附加剛度kmag。影響kmag的主要因素有：永磁體的型號與尺寸，永磁體的組數n，質量塊在平衡位置時永磁體之間的凈距d0，以及擺式TMD的最大位移幅值A。當影響永磁體作用力附加剛度各個變量的取值如表1所示時，根據式(20)～(24)計算得到永磁體作用力附加剛度隨振動位移的變化曲線如圖4所示。

表1 永磁體剛度調節裝置相關參數取值

Tab.1 Parameter values of stiffness adjusting device with permanent magnets

符號名稱數值單位Br剩磁感應強度1.17Tr圓柱形永磁體半徑15mmAm永磁體充磁面積353.25mm2δ永磁體厚度10mmμ0真空磁導率1.256×10-6Hm-1A擺的最大位移幅值0.1mn永磁體數量1組d0質量塊平衡位置時永磁體之間的凈距0.18m

圖4 永磁體作用力附加剛度隨振動位移變化曲線Fig.4 Plot of the supplemental stiffness generated by permanent magnets versus vibration displacement

從圖4中可以看出永磁體作用力產生的附加剛度規律：當質量塊兩側布置的永磁體相互排斥時，永磁體產生的附加剛度為正，且附加剛度隨著振動位移的增大而增大，最大振幅時永磁體的附加剛度達到正的最大值，此時TMD等效剛度隨振幅的增大而增大，即振動頻率將隨振幅增大而增大；當質量塊兩側布置相吸的永磁體時，永磁體產生的附加剛度為負，且附加剛度隨著振動位移的增大而增大，最大振幅時永磁體的附加剛度達到負的最大值，此時TMD等效剛度隨振幅的增大而減小，即振動頻率將隨振幅增大而減小。

圖5 永磁體作用力附加等效剛度理論值計算示意圖Fig.5 Theoretical calculation schematic of supplemental equivalent stiffness generated by permanent magnets

據此得到永磁體作用力產生的附加等效剛度的計算表達式

(25)

按照表1的參數取值，永磁體作用力產生的附加等效剛度理論預測值為

(26)

為方便計算，永磁體作用力產生的附加等效剛度可表示為

kmag,e=ηkmag(A)

(27)

式中 η表示無量綱系數(從圖5可以看出，η必然小于0.5)，kmag(A)表示最大振幅時永磁體作用力產生的附加剛度。當相關參數按表1取值時，計算得到η=0.24。

2.4 附加永磁體剛度調節裝置的TMD調頻設計

本文提出的擺式TMD頻率調節方法，可以實現TMD頻率的雙向調節，具體調節步驟如下：

(3)計算永磁體作用力剛度調節裝置的附加等效剛度目標值ks=ke-kl。

(4)進行剛度調節裝置的細節設計：

①選取圓柱形永磁體，確定具體尺寸參數r，Am，δ與Br；

②根據TMD振幅A初選一個較大的d0，且d0>A；

③利用式(25)確定質量塊兩側對稱布置1組永磁體產生的附加等效剛度kmag,e；

(5)試驗測試TMD的頻率實際調節值，若實測調節值偏小，可通過微調增大d0減小附加剛度，若實測值偏大，可通過微調減小d0增大附加剛度。

3 擺式TMD模型頻率調節試驗

3.1 試驗模型

試驗模型永磁體剛度調節裝置相關參數取值見表1。

(1)模型TMD擺長為1.83 m(基頻為0.3685 Hz)，運動質量塊質量10 kg，擺長對應的初始剛度kl=53.55 N/m，TMD設計振幅為0.1 m。

(2)取TMD頻率調節范圍為15%(此處僅為闡述TMD頻率調節方法的可行性，實際工程應用宜取為5%)，則剛度調節裝置的附加剛度ks=17.1 N/m，為使試驗過程中試驗裝置保持穩定，試驗支撐結構采用梯形四柱框架，支撐結構總高度2.1 m，質量塊通過四根吊索對稱懸掛在頂板的中間區域。

(3)永磁體采用N35型釹鐵硼(NdFeB)，具體相關參數見表1。由2.3節可知，單組永磁體產生的附加等效剛度kmag,e=9.76 N/m。據此計算得到永磁體的組數n=1.75，取n=2進行模型試驗驗證。永磁體布置方法見圖6，通過改變永磁體的組數和極性，研究永磁體作用力對TMD頻率的調節規律，并根據試驗結果對永磁體產生的附加等效剛度進行修正。

圖6 擺式TMD試驗模型Fig.6 Test model of a pendulum TMD

3.2 試驗方法

采用人工施加初位移的方法對擺式TMD進行激振，每次試驗均使TMD質量塊從相同初始位移下自由釋放，通過891-4型速度傳感器測試TMD振動速度，采用江蘇東華動態采集系統DH5935N以500 Hz的采樣頻率對振動速度信號進行動態采集，分析TMD振動頻率隨位移的變化規律。試驗工況匯總見表2。

表2 擺式TMD試驗工況一覽表

4 試驗結果與分析

4.1 TMD自由振動時程

從圖7,8與9分別給出的工況1,3與5自由振動速度時程曲線可以看出：工況5擺式TMD質量塊速度峰值最小，工況1次之，工況3最大。由于各工況初始位移幅值A相同，由速度峰值vmax=2πfA推斷，工況5頻率最低，工況1次之，工況3最高。與前文理論定性分析結果完全一致，試驗結果也表明：當擺式TMD運動質量兩側永磁體相吸時，TMD頻率低于初始頻率；當擺式TMD運動質量兩側永磁體相斥時，TMD頻率高于初始頻率。

圖7 工況1 TMD自由衰減振動速度時間歷程曲線Fig.7 The free vibration time histories of the TMD′s velocity for experimental case 1

圖8 工況3 TMD自由衰減振動速度時間歷程曲線Fig.8 The free vibration time histories of the TMD for experimental case 3

圖9 工況5 TMD自由衰減振動速度時間歷程曲線Fig.9 The free vibration time histories of the TMD for experimental case 5

4.2 TMD振動頻率隨振動位移幅值變化規律

由圖7～9可知：永磁體作用力的剛度非線性致使擺式TMD頻率隨時間發生變化，但TMD振動一個完整周期所需的時間僅與振幅有關。由于試驗模型具有極低的阻尼比，TMD相鄰的兩個波峰之間振動衰減很小，為方便研究可近似取相鄰兩個波峰之間的時間差作為TMD的振動周期。

據此，圖10給出了擺式TMD各工況實測振動頻率隨振動位移幅值變化的對比曲線。由圖10可知TMD實測振動頻率隨振幅的變化規律：對應相同振幅，TMD運動質量塊兩側布置相吸永磁體時的頻率低于無永磁體工況，且頻率隨振幅和組數的增加而持續降低；TMD運動質量塊兩側布置相斥永磁體時的頻率高于無永磁體工況，且頻率隨振幅和組數的增加而持續增大。理論計算與試驗結果均表明：擺式TMD運動質量塊兩側布置相吸永磁體時，永磁體作用力產生的附加剛度為負，TMD等效剛度減小，TMD頻率降低；擺式TMD運動質量塊兩側布置相斥永磁體時，永磁體作用力產生的附加剛度為正，TMD等效剛度增大，TMD頻率提高。

圖10 TMD各工況實測振動頻率隨振幅變化關系Fig.10 Identified vibration frequencies of TMD versus displacement amplitude at each experimental case

與經典擺式TMD不同的是，本文附加永磁體剛度調節裝置的擺式TMD振動頻率不再保持恒定，而是隨運動質量塊振動幅值的大小呈現微小的變化，但只要TMD頻率偏差控制在5%以內(如本試驗模型僅附加1組永磁體時)，就不會顯著降低TMD減振效果[20]。

此外，擺式TMD頻率設計時以TMD運動質量塊處于設計振幅的狀態作為目標頻率值，導致TMD處于平衡位置或振動幅值超限時，TMD振動頻率均將在一定程度上偏離TMD最優設計頻率。這既有助于避免TMD長期小幅振動帶來的疲勞損傷，也有助于TMD振動幅值超限時的自動限位，TMD耐久性將得到有效改善。

4.3 TMD剛度調節裝置剛度理論設計值的確定

表3給出了擺式TMD最大振幅時各工況的振動頻率理論值與實驗值對比，可以看出頻率理論值與實驗值相差3.3%～6.7%，且永磁體作用力附加等效剛度實測值均小于相應的理論計算值。誤差主要來源：當TMD振幅較大時，永磁體作用力方向與質量塊擺動切線方向將出現較大偏移，導致永磁體作用力產生的實際附加剛度下降，而永磁體作用力附加等效剛度理論計算時忽略了這一影響因素必將過高估計附加剛度。

表3 最大振幅時TMD各工況的振動頻率理論值與實驗值對比

因此，實際設計時建議將式(25)計算的永磁體作用力附加等效剛度理論值進行適當折減后作為永磁體作用力的實際等效剛度，經驗證對于本試驗模型，該折減系數β取0.74時最大誤差僅有1.5%。研究表明：折減系數β主要與永磁體之間的初始間距d0以及擺式TMD設計振幅有關。實際工程應用時，折減系數β可以偏保守的取為0.5，以進一步拓寬TMD頻率的調節范圍，具體安裝調試時可通過調節永磁體之間的初始間距d0或永磁體組數將TMD頻率調整到目標狀態。

5 結 論

本文提出了一種基于永磁體作用力的擺式TMD頻率調節新方法，綜合理論分析與模型試驗證實了該頻率調節方法的可行性，并建立了相應的頻率調節設計流程，得到以下結論：

(1)基于永磁體作用力的擺式TMD頻率調節方法可以實現TMD頻率的雙向調節：當擺式TMD運動質量塊兩側均布置相吸永磁體時，永磁體產生的附加剛度為負，TMD的等效剛度減小，TMD振動頻率降低；當質量塊兩側均布置相斥永磁體時，永磁體產生的附加剛度為正，TMD的等效剛度增加，TMD振動頻率增大。

(2)附加永磁體剛度調節裝置的擺式TMD頻率調節設計時，永磁體作用力的附加剛度理論計算值宜適當折減后作為實際等效剛度，該折減系數可偏保守的取為0.5。

(3)附加永磁體剛度調節裝置的擺式TMD頻率隨質量塊振動幅值的大小呈現微小的變化，不僅避免了TMD長期小幅振動帶來的疲勞損傷，且TMD振幅較大時具有自動限位的趨勢與功能，顯著提高了擺式TMD的耐久性。

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Frequency tuning method in pendulum tuned mass dampers

WANGZhi-hao,GAOHui,ZHANGChuang,LIUFei

(School of Civil Engineering and Communication, North China University of Water Resources and
Electric Power, Zhengzhou 450045, China)

It is difficult to adjust the frequency of large-scale pendulum tuned mass damper (PTMD). To overcome this issue, a new method for frequency tuning in PTMD based on magnetic force is proposed, where the stiffness adjusting device consisted of permanent magnets is attached at the PTMD. The equivalent stiffness of the PTMD can be altered by adjusting the sign and size of the supplemental stiffness generated by magnetic force with permanent magnets. As a result, frequency tuning of PTMD is realized. Differential equation of motion for the combined PTMD and stiffness adjusting device system is established based on Lagrange′s equation. Feasibility of the presented frequency tuning method is well demonstrated, and the effect of vibration frequency on amplitude of the PTMD is qualitatively investigated. Finally, frequency regulation mechanism with magnetic force method is further proved and clarified by model test of a PTMD. Both theoretical and experimental results show that: when attractive force between permanent magnets is applied, the frequency of PTMD will be decreased; while repulsive force between permanent magnets is applied, the frequency of PTMD will be increased. It is also recommended that the supplemental theoretical stiffness generated by magnetic force should be reduced as the actual design value of equivalent stiffness during frequency tuning design of PTMD, and the corresponding reduction factor can be conservatively taken as 0.5.

vibration control; tuned mass damper; frequency tuning; Lagrange′s equation; equivalent stiffness

2015-11-03；

2016-04-16

國家自然科學基金資助項目(51308214)；河南省高等學校青年骨干教師資助計劃(2015GGJS-104)；河南省教育廳科學技術研究重點項目(13A560711)；華北水利水電大學青年科技創新人才項目(2014)

TB535+.1; TU352.2

1004-4523(2016)06-1062-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.016

汪志昊 (1980—)，男，副教授。電話：(0371)65790237；E-mail: wangzhihao916@126.com