一道“另類”函數小題的剖析與思考

☉浙江省紹興市高級中學　阮偉強

一道“另類”函數小題的剖析與思考

☉浙江省紹興市高級中學阮偉強

2015年浙江省高考數學試卷（理科）中有這樣一道小題：存在函數f（x）滿足，對任意x∈R都有（）.

（A）f（sin2x）=sinx（B）f（sin2x）=x2+x

（C）f（x2+1）=|x+1|（D）f（x2+2x）=|x+1|

此題秉承了浙江高考數學卷一貫的命題風格：簡約而不簡單.然而，從高考后的反饋看，不少學生的感覺是“另類”，表現在：首先，與平常做過的大量函數小題（側重于求最值、零點、判斷圖像形狀等）對不上號，積累的經驗與方法不管用；其次，雖想到用換元法來求f（x），但對得出的答案心里仍沒底.具體就是：對選項A、B，令sin2x=t后，發現要反解出sinx及x，覺得較困難，就認為f（x）不存在；對選項C，令x2+1=t，可得f（t）=|±+1|，對選項D，令x2+2x=t，可得x+1=±，故f（t）=|±|=.最后，想到常見函數解析式的形式，覺得應選D.鑒于學生的上述困惑，筆者認為十分有必要就考題作一番剖析與思考.

一、命題探源

初識考題，筆者便有似曾相識之感，原因是：學生手頭的教輔資料中，時不時會出現下列問題：“①若f（log2x）=x，則f（2）=______；②若f（sinx）=cos3x，則f（0）=______.”等等.學生初次接觸問題①，常常會這樣解：先用換元法求出f（x），再代入求出f（2）.而教師會引導學生無需求出f（x），只要直接取x=4就得f（2）=4.學生在嘗到甜頭后，會模仿著解決問題②，就是取x=0得f（0）=cos0=1.然而，細心的學生會發現：若取x=π卻得f（0）=f（sinπ）=cos3π=-1，對此，學生會感到十分困惑.當然，教師心里是清楚的.既然有f（0）=1及f（0）=-1，對照函數概念知，這樣的函數是不存在的，故問題②是個錯題.至此，筆者猜想：命題者或許正是從這種頗為“流行”的錯題中獲得靈感，編制出上述考題，屬妙手偶得之作.預期的效果是：首先，在糾正“流行”錯題的同時，考驗了每個教師應對和處理錯誤的水平和能力，而從學生對考題有“另類”之感表明，結果是不容樂觀的.其次，再一次喚醒我們要重視概念教學，要幫助和引導學生養成從概念出發思考和解決問題的意識.

二、解法探究

基于上述探究，立足于函數的定義，考題可這樣來解.

解：對選項A，考慮到f（0）=f［sin（2×0）］=sin0=0，f（0）不符合函數的定義，故f（x）不存在；同理，對選項B可得f（0）=0及f（0）對選項C可得f（2）=2及f（2）=0，故選項A、B、C均是錯誤的，正確答案是選項D.進一步，既可用換元法來求f（x），也可以直接配湊來求，具體就是：f（x2+2x）=f［（x+1）2-1］=|x+1|=，故存在函數

三、拓展

顯然，從考題中可提煉出下列值得思考的問題：一般地，設函數g（x）與φ（x）有相同的定義域為D，是否存在函數f（x），對任意的x∈D，使得f［g（x）］=φ（x）成立？經研究，可獲得下列3個結論：

結論1：若g（x）為一一對應型函數，則存在函數f（x），對任意的x∈D都有f［g（x）］=φ（x）.

證明：設g（x）的值域為M，由于g（x）為一一對應型函數，對M中的任意y0，g（x）的定義域中有唯一的x0與之對應，故f（y0）有唯一值φ（x0）與之對應，故f（x）表示函數關系，即函數f（x）存在.

結論2：若g（x）為多對一型函數，而φ（x）屬于一一對應型函數，則不存在函數f（x），對任意的x∈D都有f［g（x）］=φ（x）.

證明：由于g（x）是多對一型函數，故g（x）的定義域中必存在有x1≠x2，使g（x1）=g（x2）=y0，所以f（y0）=φ（x1）= φ（x2），但φ（x）屬于一一對應型函數，所以φ（x1）≠φ（x2），即對于f（y0）而言，有兩個不同的值φ（x1）和φ（x2）與之對應，故f（x）不存在.

結論3：若g（x）、φ（x）均為多對一型函數，則對任意的x∈D使得f［g（x）］=φ（x）成立的f（x）可能存在，也可能不存在.

不難發現，考題正是基于結論3編制而成.

四、思考

總之，考題再次告誡我們：概念和定義是數學的根基，是數學內容的高度總結和抽象，用其作為解題的手段往往能為我們提供思考的方向而直擊問題要害.那么，如何“玩概念”呢？筆者的感悟是：既要重視概念教學的前半段，也要重視概念教學的后半段.前半段就是：概念教學起始，創設問題情景固然重要，但更重要的是能多渠道、多視角，幫助學生揭示和理解概念的本質、內涵與外延；后半段是：概念的應用，要讓學生養成從概念出發思考問題的意識與習慣.事實上，凡是參加過高考閱卷的老師，都會有這樣的體會：解答題中的大量低分卷，多半是概念理解不到位、甚至不準確所造成的.總之，如何“玩概念”是數學教學的一個永恒課題，值得我們一線教師不斷實踐與探索.

1.徐智愚．爭執與創意：對一個錯題的再探究［J］．數學教學，2015（4）.

2.何永堅．打破定勢，追求靈動——由高考數學命題“吐槽”引發的思考［J］．中學數學（上），2015（10）.