例談新知教學設計的步驟

☉江蘇省南京市江浦高級中學文昌校區　王禮之

例談新知教學設計的步驟

☉江蘇省南京市江浦高級中學文昌校區王禮之

眾所周知，數學新知教學是數學教學最核心的部分．數學家、中科院院士王元等多次在公共場合談及數學教學，說到底是玩數學概念的，而數學概念恰是數學新知的一部分．近年來，隨著教育應試的愈演愈烈，我們也不難發現很多地區在概念教學、新知教學中也極其簡化這些新知感受、理解的過程，更多地是從后續解題角度去理解新知，通過訓練、解題去理解新知成為了當下數學教學的普遍現象．

這種問題一直存在于數學教學中，當應試更被看重的時候，這種以解題教學替代其余多元教學的方式成為了更一般化的現象．筆者記得章建躍先生多次在本省談及數學概念新知教學，其說的較多的一句話是：“你理解這個課為什么這么設計？”對于很多老師常常將教材中的例題處理、替換，其又常常問及：“你為什么換掉了教材中的例題？你的處理好在哪里？”等等.這種問題多次讓教師目瞪口呆，啞口無言．筆者認為，這正是教師設計新知教學時，對于如何處理教材、引用教材并未作出深層次的思考，更多地是站在解題的角度去思考一堂課，而未從知識的角度、作用、長遠的發展去思考一堂課，這是教師新知教學處理亟需提高之處．本文以筆者研究的《一元二次不等式及其解法》第一課時為例，結合自身的一些設計來談談新知教學的一些想法，懇請指出不足之處．

一、地位與作用

教學設計首先需要了解教學內容的地位與作用，這是設計第一要素：

一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式解法在知識上的延伸和發展，它是解不等式的基礎和核心．在高中數學中，許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法，如函數、數列、導數、解析幾何、三角函數等．概括地說，本節課的地位體現于它的基礎性，作用體現于它的工具性．

一元二次不等式和二次函數、一元二次方程是中學數學中的核心內容．一元二次不等式能部分地反映函數的部分性質．如，什么時候二次函數的值大于零？什么時候二次函數的值等于零？什么時候二次函數的值小于零？在函數單調性的定義中，也是利用不等關系來表示的．這是函數性質的主要方面，有助于加深對函數的認識和理解．

實際上還可以通過導函數來反映原函數的性質，由于研究函數主要是研究函數的變化關系，一元二次不等式正好給我們提供了研究函數變化的方法．例如，一元三次函數的變化問題就可以通過它的導函數，即二次函數是大于零還是小于零來判斷．

二、教學與安排

第一種安排：在高一必修1第一章《集合》的講授過程中，運用因式分解解一元二次不等式，把它的解集作為集合運算的載體，有利于強化學生的運算能力，復習因式分解起到了初高中的銜接作用．但這只強調了解一元二次不等式“數的性質”，且只適合能因式分解的一元二次不等式，不利于學生理解一元二次不等式“形”的意義和解法．

第二種安排：老教材是在必修2第二章《函數》之后，從二次函數角度解一元二次不等式，較順理成章，二次函數模型是初高中數學重要模型之一，體現了知識的螺旋上升過程，但要分配好課時．

第三種安排：新課程把本節內容設置在必修5第三章《不等式》中就比較合適，在此之前，學生高一已經學完了基本函數模型，包括一次函數、二次函數、指數函數對數函數、冪函數、三角函數、數列等，有了基本函數的知識儲備，同時在數學思想方法上，學生通過學習了向量、函數與方程，有了一定的數形結合思想的意識．向量在整個高中階段有非常重要的地位，也是幾年來高考的熱點，是“數形結合”標志性知識點．在《函數與方程》這節中，對函數的“形”的認識已經有了較高的基礎．所以本節課主旨設計就是用數形結合的思想，把三個“二次”之間的關系，銜接“等”與“不等”的關系．不僅在知識技能上起了鞏固作用，還在數學思想方法上進一步加深，有助于學生今后的高中數學學習．

三、設計的前瞻

1.如何呈現定義

在解決這一困難時，筆者大膽處理教材，舍棄課本上枯燥的應用題．通過“回顧熱身”，引導學生回憶二次函數的圖像、零點、方程的根等概念，設置了題組一，用具體題目明晰了函數與方程之間的關系．在題組一的基礎上設置了題組二，通過函數圖像的“區域”直觀地呈現了“不等”關系，因此抽象出代數式，給出了一元二次不等式的定義．方程、函數和不等式是關系非常密切的“兄弟”，通過題組一的函數圖像，讓學生在還沒有開始解決解一元二次不等式之前，就已經讓它們攜手上陣了．為后面本節課的重點突破，埋下了伏筆．同時題組二中“潛伏”著f（x）>0，f（x）>C，f（x）>g（x）三種不等式的基本形態，在學生的頭腦中埋下種子．

2.如何突破本節課的重點

利用函數法求解一元二次不等式，是圍繞學習“一元二次不等式”的主要目的展開的，并且在一元二次函數、一元二次方程學習之后，既對一元二次函數的圖像、性質及一元二次方程進行了全面復習，又使得重要數學內容得到了應用，同時也有利于理解一元二次不等式的意義和一元二次函數的關系．對于其他函數，如指數函數、三角函數等的一元二次不等式，利用函數法求解也比較方便．因此利用函數法求解一元二次不等式的解是通性通法．本節課筆者重點用函數法求解一元二次不等式．

在題組一中已經出現了函數圖像，在解決題組二的前兩個問題時自然想到了用函數圖像，但在課堂討論中進一步歸納簡化解法．之后在題組二中第三個問題的錯誤解法中再把解法進一步改良，在兩次改良后，在題組三中學生體驗，把解一元二次不等式的解法變為通法．通過一次歸納、兩次改良、最后總結，使得學生的思維螺旋式上升，在不知不覺中掌握了求解一元二次不等式的解法．

3.如何安排教學

本節課始終貫穿數形結合的思想，用圖像法解一元二次不等式．那么如何設計教學“用因式分解法解一元二次不等式”，存在自己的疑慮．把求解一元二次不等式的問題轉化為求解一元一次不等式組的問題，是根據“數”的性質，把它理解為集合運算的一個載體，理解集合的交、并運算．一方面考慮到一元二次不等式用數軸的區間來刻畫的方法，可以延伸到高次不等式的解法（數軸法）；另一方面，一元二次不等式可以用來刻畫數軸上的區間，類似地可以推廣：二元不等式組，可以刻畫平面上的區域，三元不等式可以刻畫空間中的區域．

雖然用因式分解求解一元二次不等式解決的問題具有一定的局限性，但學生對十字相乘的認識深刻，所以這里只是作為特殊技巧介紹給學生，因為一元二次不等式普遍是不能分解的二次結構．另外非一元二次不等式，使用因式分解就很難求解，例如sinx<0等等．

四、教學與過程

題組一：

（1）求函數y=x2-3x-4的零點；（2）求函數y=x2-3x與函數y=4的交點；（3）求函數y=x2-4與函數y=3x的交點.

問題1-1什么是函數的零點？畫圖（圖1，略）觀察．

問題1-2什么是兩圖像交點？畫圖（圖2，略）觀察．

問題1-3從題組一中得到的三個式子，你會有什么奇妙的發現？

設計意圖：

①讓學生鞏固畫圖的基本技能，如一次函數、二次函數；

②回顧區分概念（一元二次方程、二次函數）；

③體會回顧方程的根、函數的零點和圖像交點三者之間的關系．

題組二：

（1）求滿足函數y=x2-3x圖像在函數y=4圖像的上方的x的取值范圍.

（2）求滿足函數y=x2-4圖像在函數y=3x圖像的上方的x的取值范圍.

（3）求滿足函數y=-x2圖像在函數y=-3x-4圖像的上方的x的取值范圍.

問題2-1聯系題組一的圖2，題組二的（1）中“函數y=x2-3x圖像在函數y=4圖像的上方”指的是什么？從圖像可以看出，“在函數y=4圖像的上方”的區域中涵蓋了函數y=x2-3x的兩段圖像，這兩段圖像在x軸上的投影即為要求的x的取值范圍．

問題2-2這是我們從圖像上得到的結果，那如何用代數式來進行描述呢？

問題2-3比較題組一中的代數式，你有什么發現？

設計意圖：從函數圖像的角度來體會“等”與“不等”的關系，在銜接上一節內容《不等關系與不等式》的同時，引入了一元二次不等式的概念，直觀地發現了一元二次方程和一元二次不等式之間的聯系．

問題2-4上述內容我們是從“形”看解一元二次不等式x2-3x-4>0，能否從“數”的角度來繼續研究呢？

問題2-5比前面用“形”的方法解一元二次不等式，哪種更好？

設計意圖：用“數”的性質再解一元二次不等式只是作為介紹，不作為本節課的重點，其中數軸法是后面解高次不等式的一種方法，這里只是鋪墊，后續訓練環節不再贅述．

總之，新知教學需要教師在新知理解環節加深自身對于這些知識的理解，并在問題設計環節多作一些設計意圖的思考.對教師而言這些理解和思考大大加深了教師對于教材、新知的理解，而不再是一味地以解題教學去替代多元的數學教學，這樣的教學是有益于學生學習數學、培養數學素養的，值得教師多作一些嘗試和探索．

1.方明.陶行知教育名篇［M］.北京：教育科學出版社，2005.

2.姜興榮.探求教學思路的幾種有效策略［J］.中小學數學（高中版），2013（7-8）.