蔡天新
完美數是指真因子之和等于它本身的正整數.容易看出,最小的兩個完美數是6和28.關于完美數,有以下難解之謎——
1.究竟有多少個完美數?
2500多年以來,經過歷代數學家和數學愛好者的共同努力,到目前為止,一共找到了48個完美數,我們知道,完美數與所謂的梅森素數(形如2p-l的素數,其中p為素數)相伴而生.第48個梅森素數是257885161-1,它和相應的完美數各有17425170位和34850340位,這是迄今人們所知的最大的素數和最大的完美數.
可是,依然無人知道,完美數的數目究竟是有限個,還是無窮多個.
2.有沒有奇完美數?
到目前為止,人們發現的48個完美數均為偶數.會不會有奇完美數存在呢?即便借助強勁有力的計算機,現在也無人能夠予以回答,人們只是知道,即使有奇完美數,這個數也是非常之大,并且需要滿足一系列的苛刻的條件.
早在18世紀,瑞士大數學家歐拉便證明了,若奇完美數存在,則它必具備形式
N=pek2. ①
其中,p是不整除k的素數,且p和e模4余1(即指p和e的差被4除后余1).由此不難推得,N也模4余1(即指被4除后余1).
2007年,丹麥數學家Nielsen證明了,奇完美數至少要有9個不同的素因子和101個素因子;若它不包含3,則至少要有12個不同的素因子.
2012年,法國數學家Ochem和俄羅斯數學家Rao證明了:如果奇完美數存在,那它必須大于10的1500次方.
可是,這些結論離這個問題的解決仍很遙遠!
2000年,意大利數學家、伽利略獎和皮亞諾獎的獲得者皮·奧迪弗雷迪出版了《20世紀的數學》一書,闡述了上個世紀曾取得重大突破的30個數學問題,并在最后提出了未解決的4個難題,其中首當其沖的便是“完美數問題”.另外3個難題是黎曼猜想、龐加萊猜想和P=NP問題.
由于完美數問題難以攻克,人們很早就想到去研究它的推廣,k階完美數便是其中之一.
偶完美數與梅森素數有一一對應的關系,因此尋找梅森素數也成了計算機領域里的一個引人矚目的問題.找到大的梅森素數或完美數,是計算機最好的廣告.不過,這兩種數的無窮性堪稱一個不朽的謎語.
許多偉大的數論學家都曾試圖找到完美數的推廣,他們通??紤]添加一個正整數的系數,即:n的真因子之和=kn,此處k是正整數.滿足上述條件的n稱為k階完美數.當k=l時,即為普通意義的完美數,這些數學家包括斐波那契、梅森、笛卡兒和費馬,以及拉赫曼、卡米歇爾,他們有的沒找到,有的找到了若干個解,但都是些零散的結果,難以歸結為類似梅森素數那樣的“無窮性”.
第一個找到k階完美數(k>l)的是英國數學家雷科德,他發現120是2階完美數.那是在1557年,也即他發明等號“=”的同一年(是否同時不得而知).后來,梅森也找到了這個數.
1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60=2×120.
接著要輪到費馬了,他發現672也是個2階完美數.那是在1637年,即他提出費馬大定理的同一年.Andre Jumeau找到了第三個2階完美數523776.1643年,費馬又找到了一個11位的2階完美數,即
51001180160.
在此之前,梅森和笛卡兒于1638年曾分別找到一個9位數(459818240)和10位數(1476304896)的2階完美數.
這三位法國人還都找到過其他的k階完美數,比如笛卡兒吧,這位“哲學家”找到了6個3階完美數,即30240,32760,23569920,142990848 ,66433720320,403031236608和一個4階完美數14182439040.1911年,卡米歇爾找到了第七個3階完美數.
雖然數學家們鍥而不舍地尋找k階完美數,但也沒有找到一般性的規律.這可能是因為,被真因子之和整除的自然數少之又少!