金屬楊氏模量靜態測量與動態測量對比研究

余小英，梁冬萍

（1．廣西民族師范學院物理與電子工程系，廣西崇左532200；2．廣西北海市銀海區第一小學，廣西北海536000）

金屬楊氏模量靜態測量與動態測量對比研究

余小英1，梁冬萍2

（1．廣西民族師范學院物理與電子工程系，廣西崇左532200；2．廣西北海市銀海區第一小學，廣西北海536000）

金屬楊氏模量的測量可分為靜態法和動態法兩種。拉伸法和彎梁法是靜態法中常用的兩種方法，這兩種方法主要是通過對待測材料受力形變進行測量，進而求出金屬楊氏模量。振動法是通過波在金屬中傳播引起材料的共振，通過測量共振頻率來間接測量金屬楊氏模量，屬于動態測量。靜態法測量其楊氏模量，待測材料容易受損，不適用于軟、脆性材料，而動態法不會產生形變損壞，也不受材質的限制，也可以測量不同溫度下的材料的楊氏模量。實驗對比表明，靜態法中的拉伸法和彎梁法的實驗精確度相差不大，而動態法精確度稍差。

楊氏模量；振動法；拉伸法；彎梁法

目前對于金屬的楊氏模量的測量，一般采用拉伸法[1]82、彎梁法[1]85或振動法[2]95-102，[3]64，[4]29-32等。拉伸法和彎梁法主要是通過對待測材料受力形變進行測量，進而求出金屬的楊氏模量，可以歸結為靜態法；振動法是通過波在金屬中傳播引起材料的共振，通過測量共振頻率來間接測量金屬的楊氏模量，屬于動態測量。這兩種方法有各自的優缺點，筆者從實驗原理、不確定度來源、實驗測量等方面對這兩種方法進行對比。

一、測量原理對比

（一）靜態法

拉伸法和彎梁法是靜態法測量金屬楊氏模量的兩種典型方法，雖說都是利用金屬受力發生形變來測出金屬楊氏模量，但在測量原理上還是有所區別的。

1.拉伸法原理

靜態拉伸法是金屬楊氏模量測量中最為常見，也是最簡單的一種方法。一根粗細均勻的金屬絲，長度為L，截面積為S，當在金屬絲兩端施加大小相等、方向相反的外力F時，伸長了△L，則金屬的楊氏模量為

式中比例系數Y表示楊氏模量，其數值與材料的性質有關。若金屬絲的直徑為d，則金屬的楊氏模量計算式為

由于伸長量△L的值很小，一般采用如圖1所示光杠桿放大法測量。

設光杠桿前后腳的距離為b，直尺到光杠距離為D（實驗中取D>>b）。當金屬絲受力伸長△L，光杠桿后腳也會隨之下移△L，此時光杠桿上的平面鏡轉動引起反射激光線照在直尺上位置變化量為，則

將（3）式帶入（2）式中有

2.彎梁法的測量原理

彎梁法測量金屬楊氏模量的實驗裝置圖如圖2（a）所示，Y為楊氏模量，用以下式子表示。

式中，d為兩刀口間的距離；M為所加砝碼的質量；為梁的厚度；b為梁的寬度；△Z為梁中心由于外力作用下降的距離，如圖2（b）所示。彎梁的彎曲量可用霍爾位移傳感器測出。

（二）動態法

動態法測量金屬楊氏的實驗裝置如圖3所示。這種方法是利用金屬棒做受迫振動，測出金屬棒發生共振頻率的方法來求出金屬的楊氏模量。具體做法：信號發生器將弦波信號加在激振器上，引起金屬棒受迫振動，金屬棒連接拾振器，拾振器將機械振動轉變成電信號并將其送到示波器中顯示。當信號發生器的頻率等于金屬棒的固有頻率時，發生共振現象，用示波器測出金屬棒的共振頻率即固有頻率。根據振動方程可推導出動態法測量金屬楊氏模量的計算式為

式中l為棒的長度，d為棒的直徑，m為棒的質量。根據式（6），即可計算出金屬的楊氏模量。

二、不確定度來源分析

根據以上論述的測量原理，不同的測量方法，不確定度的來源不一樣。為方便比較，在此只考慮B類不確定度，儀器的示值誤差限△儀一般取最小分度的，相應的不確定度為

（一）拉伸法不確定度計算

測量數據中L、△x和D用鋼卷尺測出，其儀器的示值誤差限△儀=0.065mm；b由50分度的游標卡尺測出，儀器的示值誤差限△儀=0.02mm；d由螺旋測微計測出，儀器的示值誤差限△儀=0.004mm；質量m由電子天平測出，儀器的示值誤差限△儀=0.01g。將這些數據代入不確定度的計算式可求出相應的不確定度。根據不確定度的傳遞公式，可得到拉伸法測金屬楊氏模量的不確定度表達式為

（二）彎梁法不確定度計算

測量數據中d用鋼卷尺測出，其儀器的示值誤差限△儀=0.065mm；b由50分度的游標卡尺測出，儀器的示值誤差限△儀=0.02mm；a和z由螺旋測微計測出，儀器的示值誤差限△儀=0.004mm；質量m由電子天平測出，儀器的示值誤差限△儀=0.01g。各自不確定度的計算和拉伸法的不確定度計算方法相同。根據不確定度的傳遞公式，可得到彎梁法測金屬楊氏模量的不確定度表達式為

（三）動態法不確定度計算

測量數據中用鋼卷尺測出，其儀器的示值誤差限△儀=0. 065mm；d由50分度的游標卡尺測出，儀器的示值誤差限△儀=0.02mm；質量m由電子天平測出，儀器的示值誤差限△儀=0. 01g。各自不確定度的計算和以上兩種方法的不確定度計算方法相同。根據不確定度的傳遞公式，可得到動態法測金屬楊氏模量的不確定度表達式為

三、實驗測量對比

為了便于比較這幾種測量方法，以不銹鋼為材料，用這幾種方法測得的實驗數據如下。

表1 拉伸法楊氏模量測量數據表

表2 彎梁法中霍爾位移傳感器U-Z數據表

表3 彎梁法測量金屬楊氏模量實驗數據表

表4 動態法測量金屬楊氏模量實驗外延法測共振頻率數據

由表4數據可得圖4（利用外延法）。由圖可得共振頻率479.5 Hz,為根據式（6）求得動態法測量金屬的楊氏模量為Y= 2.18×1011N·m-2。

相對于不銹鋼的楊氏模量標準值Y=1.97×1011N·m-2，靜態拉伸法測得的金屬絲的楊氏模量為Y=1.851×1011N·m-2，相對誤差為6.1%；彎梁法測得的金屬梁的楊氏模量為Y=2.015× 1011N·m-2，相對誤差為5.1%；振動法測得的金屬棒的楊氏模量為Y=2.18×1011N·m-2，相對誤差為10.7%。

結語

從實驗操作的難易程度來看，靜態拉伸法所需要的實驗儀器簡單，只需增加對金屬絲的拉力F，記錄反射激光線在直尺上的位置刻度即可。彎梁法的實驗操作難度適中，在此實驗中還需要了解霍爾傳感器的原理及利用；實驗時需要先測出霍爾位移傳感器的靈敏度，再利用相應的霍爾電勢差求出△Z即可求出金屬梁的楊氏模量。振動法需要專用儀器，實驗操作量大，不易判斷各點的共振頻率，需要用外推法得出金屬棒的基頻頻率。

通過測量的結果可以看出，靜態法中的拉伸法和彎梁法的實驗精確度差不多，而動態法精確度稍差。但是，利用材料受力發生形變的辦法來測量其楊氏模量，容易造成受力超出彈性限度的情況，待測材料容易受損，不適用于軟、脆性材料，而動態法不會產生形變損壞，也不受材質的限制，也可以測量不同溫度下的材料的楊氏模量，特別是一些易碎的、脆性的貴重材料，采用動態法更合適。

[1]余小英，李凡生．大學物理實驗[M]．長春：吉林大學出版社，2014．

[2]李書光．大學物理實驗[M]．北京：科學出版社，2012．

[3]楊周琴．共振法測量金屬材料的楊氏模量實驗探討[J]．高教前沿，2011（09）．

[4]吳明陽，朱祥．動態法測金屬楊氏模量的理論研究[J]．大學物理，2009（03）．

責任編輯：謝雪蓮

Static and Dynamic Measurement of Metal Young's Modulus

YU Xiao-ying,LIANG Dong-ping
(1.Guangxi Normal University for Nationality,Guangxi Chongzuo,532200;2.Guangxi Beihai No.1 Primary School in Yinhai District,Guangxi Beihai,536000)

Measurements of Metal Young's Modulus can be divided into two kinds of static and dynamic methods.Stretching and bending beam methods are static ones commonly used in two ways,both of which primarily measure Metal Young's Modulus by measuring the force of material deformation.Vibration is caused by the resonance from wave propagation in the metal material.The dynamic measurement is to indirectly measure the Young's Modulus by the resonant frequency of the metal.The static method can produce damage in test material easily,not applying to soft and brittle material,while dynamic method does not produce deformation or damage,and not be limited in materials,and the Yang s Modulus can also be measured at different temperatures.Test results show the experimental accuracy of stretching and bending beam method of static method is more accurate than dynamic method’s.

Young's Modulus,vibration method,stretching method,curved beam method

O42

A

1674-8891（2016）03-00011-03

2016-03-15

2014年廣西民族師范學院學科帶頭人科研啟動項目（編號：2014RCDT002）；2014年度國家民委科研立項項目（編號：14GSZ009）。

余小英(1972—)，女，壯族，廣西隆安縣人，廣西民族師范學院物理與電子工程系副教授，研究方向：物理實驗教學；梁冬萍（1993—），女，廣西北海人，廣西北海市銀海區第一小學教師，研究方向：小學科學實驗。