小學數學教學應滲透數學思想方法
——以《雞兔同籠》教學為例

陳華忠

“雞兔同籠”這個數學問題，是一個中國傳統數學名題，是我國古代著名趣題之一。大約在1500年前，《孫子算經》中就記載了這個有趣的問題。針對這一問題，我們要深入分析與挖掘它蘊含著獨特的數學思想和背景文化，通過學習“雞兔同籠”，不僅要讓學生感受祖先的聰明才智，更要讓學生體會到它的解題策略的多樣性以及其中蘊含的豐富的數學思想方法，培養學生自主探究學習的能力。

一、在分析解題中有機滲透數學思想方法

本節課的教學內容是教材先說明“雞兔同籠”問題是我國古代著名的數學問題，再由生動有趣的古代課堂情境引“雞兔同籠”原題，并對原題給予解釋，由小精靈提出“這個問題你能解決嗎？”但由于“雞兔同籠”原題的數據較大，不便于學生進行探究，所以教材以化繁為簡的思想為指導，先在例1中安排一道數據較小的“雞兔同籠”問題讓學生探究解決，還考慮到“雞兔同籠”對學生尤其是基礎不好的學生來說有一定的難度。為此，教學時主要借助教材上的列舉法同時結合引導學生圖形結合（即畫圖法）的基本解題思路，再配合假設法，從中引導學生對這些方法進行對比，進行數學思想方法的滲透。

1.列舉法。

通過列舉解決問題就是把符合問題的所有可能答案逐個找出，并用某種形式進行整理，從而得到問題的答案。列舉是一種樸素的思想方法，又是一種實用的解決問題的策略。在學生剛接觸“雞兔同籠”問題時，學生要列式計算往往感到困難。但是，對于數據較小的問題，一些可能的答案卻很容易憑經驗或直覺得到，學生可以運用猜測、驗證的方法，實際上就是用列舉法（即一一列舉）來解決問題，學生一般用順序列舉法，按從大到小或從小到大依次列舉，可以有效避免疏漏或重復。列舉法常常借助于列表來及時記錄每一種可能的結果。如：逐一列舉法。

雞/只 8 7 6 5 4 3 2 1 0兔/只 0 1 2 3 4 5 6 7 8腳/只 16 18 20 22 24 26 28 30 32

當數據較大時，可以引導學生根據數據的特點按一定的間隔或從中間數開始列舉，不斷優化列舉法，靈活快捷地解決問題。但當問題中的數據比較大的時候，列表的方法就會很繁瑣、復雜，這時列表法就有一定的局限性。

2.數形結合法。

利用“數形結合”，可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，使問題化難為易，化繁為簡，激發學生學習興趣。在教學“雞兔同籠”問題時，根據上題中數據較小的特點讓學生用畫圖法解題：

運用數形結合，借助于形象的圖形來解題，對于初次接觸此類問題的學生來說，不僅學得有趣、簡單，而且能加深用假設法解題的思路的理解，發展學生的思維能力。但數字大的時候，畫圖也是比較麻煩的。

3.假設法。

假設法是根據題目中的已知條件或結論作出某種假設，將復雜的問題簡單化、明朗化，從而迅速找到解題思路。合理運用假設法，往往可以使問題化難為易，使解題另辟蹊徑，有利于培養學生靈活的解題技能，發展學生的邏輯推理能力。用假設法解答上題有多種思路，可以先假設全部都是雞或全部都是兔，再計算實際與假設情況下總腳數之差，最后推理出雞和兔的只數。比如假設8只都是雞，則腿的條數是 16條（8×2），比實際的少了 10條（26-16），那么就必須用兔子去換雞，一只兔換掉一只雞就會多出兩條腿（4-2），那么，少掉的10條腿就必須用5只兔子去換，即 10÷（4-2）=5（只）求出兔子的只數，最后8-5=3求的就是雞的只數。反之假設8只都是兔。

運用假設法解題是教學的難點，借助之前的畫圖法使學生在直觀操作活動中建立思維的表象，再進一步抽象，最后又歸納總結成順口溜：“雞兔同籠并不難，設雞設兔全由你，設雞算出兔，設兔算出雞?！边@樣有助于學生真正理解“假設法”，形成有序地、嚴密地思考問題的意識。

“雞兔同籠”問題的解法非常之多，每種解法中都滲透著不同的數學思想方法，使學生從中在情感態度、思維能力與價值觀等方面得以提升,增強數學文化素養。

二、在鞏固運用時有機滲透數學建模思想

俗話說:“授人以魚不如授人以漁?！边@句話道出了培養數學模型思想的重要性。中國傳統數學歷史名題正是為數學模型的發展提供了這樣一個平臺。數學名題中滲透的數學思想、數學名題本身的模型作用都可以讓學生在潛移默化中逐步感受、領悟和掌握數學思想。在解決了“雞兔同籠”問題后，可以引導學生觀察、思考，概括提煉出解題模型：兔數=（實際的腳數－雞兔總數×2）÷（4-2），雞數 =（雞兔總數×4-實際的腳數）÷（4-2）。之后在應用中引導學生鞏固、擴展這個模型，把“雞”與“兔”換成烏龜和仙鶴等，變式為“龜鶴問題”、“坐船問題”、“植樹問題”、“答題問題”、“籃球賽中的得分問題”等問題，溝通這些問題與“雞兔同籠”問題的聯系，使“雞兔同籠”成為這些問題的模型，并應用模型解決問題，不斷促進模型的內化，使數學建模成為學生思考問題與解決問題的一種思想和方法，從而強化學生學數學、用數學的應用意識，讓學生真正感受到數學與生活密不可分，數學知識來源與生活，同樣也運用于生活。

三、在教學過程中提升數學思想文化情感

“雞兔同籠”問題是《孫子算經》中的一道名題，它流傳廣泛，影響深遠，引起了許多國家眾多數學愛好者的廣泛關注。除學習它的解法外，更重要的要做好經典數學文化遺產的傳承和弘揚。在歷史悠久、繁花似錦、成就輝煌的數學百花園中，有一叢絢麗多姿引人入勝的瑰寶，這就是“世界名題”。它們以嚴密的邏輯推理使人嘆服，又以匠心獨具的構思模式令人陶醉。有的題目歷經幾代數學家的苦心求索，得出了一些精巧絕倫的解法，賞心悅目，極富誘惑力。如“哥德巴赫猜想”、“費馬大定理”、“九點圓”、“哥斯尼堡七橋問題”等等。一個小小的六角幻方，竟花去亞當斯52年的時間。馬克思以演算微積分為休息，蘇步青“演算萬題成才”傳為佳話，陳景潤那傳奇式的“兩麻袋算題稿紙”則成了向數論頂峰攀登的路標。如此的情境，讓學生在演繹數學歷史的過程中激發民族自豪感，在與數學家的對話中感悟探索的精神，在了解數學的現代文明成果中激起為社會服務的使命感，在挖掘數學美育功能的過程中領略數學的奧秘，在應用數學解決問題的過程中培養發展意識與實踐能力，在探索數學思想方法的過程中形成實事求是的態度和科學求真的精神。