巧用類比明晰數式關系
——《分數與除法的關系》教學片斷

田秋月

片斷一：巧用類（對）比，聚焦問題

【第一組】

問題1：把8個桃子平均分給4個人，每人分得幾個？

問題2：把4個桃子平均分給4個人，每人分得幾個？

【第二組】

問題3：如圖這兩組題有什么相同與不同？

生：這兩組題都是平均分，所以都用除法計算。

生：都已知總數和份數，求每份數，所以用總數÷份數=每份數。

生：1÷4=?（塊），3÷4=?（塊）。

師：從這兩組問題算式所得的商來看，有不同之處嗎？

生：第一組的除法能整除，商是整數；第二組不能整除，商需用分數表示。

【設計意圖：借助類比和對比有效利用問題情境，學生列式時思路連貫地想到：平均分的問題用除法解決。然而相同之中也有區別，前兩個算式“8÷4、4÷4”都能算出整數商，而“3÷4”卻不然。這一變化刺激學生打破已有認知限域，促使其關注新問題：除法算式得不出整數商時該怎么算？于是帶著這樣的任務驅動開始接下來的探究活動?！?/p>

片斷二：巧用類比，轉化問題

師：1個月餅平均分給4個人，每人分得（）個。

生：（用一個圓紙片演示過程）把一塊月餅平均分成4份，一份就是。

學生匯報：

方法一：逐一剪、分。

方法二：全部剪完再分：

生：如圖把3個圓片都平均分成4份，共有12塊，再將12塊均分給4人，每人分得3塊。

師：按照他的意思就是每人分得3塊月餅，同意嗎？

生：不同意，一共就3塊月餅，平均分給4個人，每人連1塊都分不到，不可能分得3塊。

方法三：疊起來整體分：

生：如圖把3個圓片疊在一起，看成一個整體，把這個整體平均分成4份，每人得到1份，就是，實際展開有3塊，即3個是塊。把3塊月餅平均分成4份，每份是塊，所以3÷4=（塊）。

師：這三種方法操作起來各有特色，但也有相同的地方，發現了嗎？

生：方法一、二都是把1個圓片看成單位“1”，平均分成4份，每份就是，3個塊就是塊。

生：方法三是方法一的簡化操作版，一起剪、一起分，每份是3個塊，就是塊。

【設計意圖：將抽象的“3÷4”轉換成一個具體的、可視的分餅活動，方法一是分割1塊餅的行為的重復，體現了累加的過程；方法二是整數計數思路，也是學生最容易理解、從而也比較喜歡的一種方式，將3塊餅轉化成12個塊，再均分給4人，每個人得到的是3個塊即塊；方法三是把3塊餅“摞”成1個整體，整體4等分，每份由塊餅構成。引導學生對這些方法進行類比，凸顯過程的本質是“單位的累加”——前者疊加的是“”，后者疊加的是“”。每份累積了幾個“1”就是幾，幾個就是四分之幾?！?/p>

片斷三：巧用類比，深化關系

師：現在不再分月餅，而要分瓜子了！把不同質量的瓜子平均分成3份，每份是多少千克？

總質量 1千克 2千克 5千克每份質量

問題1：把1千克瓜子平均分成3份，每份是多少千克？

問題2：把2千克瓜子平均分成3份，每份是多少千克？

問題3：把5千克瓜子平均分成3份，每份是多少千克？

教師出示表格并延長：（a、b為非零自然數）

總質量 1千克 2千克 5千克 10千克a千克每份質量 1 3千克 2 3千克 5 3千克

師：總質量是10千克呢？

師：如果是任意一個非零自然數a呢？

師：如果a千克瓜子不是平均分成3份，而是平均分成b份呢？

【設計意圖：瓜子總質量分別設置為1千克、2千克、5千克、10千克、a千克，旨在幫助學生逐步積累分數與除法關系的體驗，最后歸納、概括為形式化的表征——a÷b=。大量的活動經驗累積到一定程度，遇到類似問題時就不需要、也不可能每次都分餅、畫圖、去找原始方法了，一般化法則就水到渠成了?！?/p>

【編輯點評】

田老師教學的《分數與除法的關系》，有鮮明的教學特色。主要體現在三個方面，一是基礎性、二是開放性、三是發展性。

基礎性 表面看，分數與除法的關系研究的是關系，但學生要形成對這個關系的理解，是以分數的意義為基礎的，其中最重要的是單位分數的意義。教學中，田老師通過類比與對比的方法，幫助學生理解算式與結果的含義。由于分數與除法共享平均分的概念，上面的問題，可以用除法計算，用分數表示結果。讓學生先理解“1塊月餅平均分給4個人，每人分得多少”，再思考“3塊月餅平均分給4個人，每人分得多少”。類似的，要求“把2千克或5千克瓜子平均分給3個人，每人分到多少千克”，也可以回到原點上，先思考“1千克瓜子平均分給3個人，每人得多少”。以理解單位分數作為思考的基礎，讓學生通過類比與對比解決問題，不僅是一種教學的手段，也是解決問題的思維活動經驗。

開放性 這節課教學的核心問題是3個月餅平均分給4個人，每人分得幾個？答案是一致的，就是，可是學生探索得到這個答案的過程是相當開放的，不同的學生有不同的思路。比較可貴的是田老師在教學中，充分地放手讓學生去探索研究，并解釋他們獲得這個結論的過程?？梢钥吹?，面對這個問題，有的學生轉化為整數進行思考，如方法二；有的學生通過單位分數的累加獲得答案，如方法一和方法三。但是，從外在的形式上看，這兩種又是有區別的，相比較而言，方法三操作比較簡單，但對分數意義的理解要求要高一些。課堂教學的開放性，主要體現在過程上，特別是充分地展開探索發現的過程，讓學生有機會交流各自不同的思考方法，學生的視野才會開闊，思維能力才能得到發展。

發展性 這節課與其說是教學分數與除法的關系，不如說是教學除法運算轉為分數表示的規律，就是被除數相當于分子，除數相當于分母。田老師在教學中，通過列表的方式，引導學生思考1千克、2千克、5千克、10千克、a千克瓜子平均分成3份，每份是多少。顯然a千克的均分要比其它具體數量的均分更加抽象，但有了前面積累的類比與對比的思維經驗作為基礎，學生理解并不難。需要強調的是，從已知量到未知量的跨越是非常重要的，它是對前面具體案例的概括，它有利于學生理解分數與除法有恒定的關系，對于學生代數思維的發展是一個重要的推動。