基于自適應TVp正則化圖像恢復方法

李率杰，馮兆永

(1. 河南科技大學數學與統計學院，河南 洛陽 471023；2. 中山大學數學學院，廣東 廣州510275)

基于自適應TVp正則化圖像恢復方法

李率杰1，馮兆永2

(1. 河南科技大學數學與統計學院，河南 洛陽 471023；2. 中山大學數學學院，廣東 廣州510275)

為了解決圖像恢復時所引起的階梯效應和邊緣模糊問題，定義可變TVp范數，提出一個自適應TVp(Adaptive TVp, ATVp)正則恢復模型，并結合AOS數值計算方法，給出完整的ATVp正則恢復算法，其中p可以自動區分圖像中的邊緣和平坦區域，自適應選擇不同的數值，使得新模型在恢復的同時不僅能夠自適應的對圖像中目標邊緣進行有效的保護，而且可以避免出現階梯效應。實驗表明，和主要的一些正則模型相比，本恢復算法對模糊圖像的恢復無論在視角效果還是定量指標上都有了明顯的改進。

圖像恢復；ATVp正則；AOS數值計算

為了解決圖像恢復中階梯效應，本文提出了自適應TVp(AdaptiveTVp, ATVp)正則方法，其中，1

1 Tikhonov正則與 TV正則模型

從數學意義上理解，圖像恢復問題是一個病態的逆問題，其可總結為一個退化模型：f為定義在Ω?R2上的理想原圖像，η為加入的加性高斯白噪聲，觀察到的待恢復圖像g可表示為：

g=Hf+η

(1)

其中H為模糊算子矩陣。由于這是病態問題，因此圖像恢復中需要對其正則化，在文獻[1]中Tikhonov等提出以下能量泛函：

(2)

其中

為l2范數，α為正常數，模型恢復將使得圖像邊緣模糊。Rudin等[2]提出了TV正則，TV正則因為其分片光滑性質，可以保持圖像邊緣，基于TV正則的圖像恢復能量泛函為：

(3)

2 自適應TVp正則模型

為了在圖像恢復的同時既能避免階梯效應，又能更好的保護圖像的邊緣信息，本文提出ATVp正則方法，p可以根據圖像特征自適應選取。其模型如下：

(4)

其中

這里Gσ為高斯濾波，K>0為固定的參數，*為卷積符號。

為了求解模型，極小化能量泛函，得到恢復后的圖像f，由變分法原理先對泛函求導可得Euler-Lagrange方程：

(5)

(6)

其中H*為H的共軛，方程(6)的解即為所求恢復后的圖像f。

3 模型分析

為了進一步說明本文提出的ATVp正則模型的優異的擴散能力，對方程(6)的正則項在圖像局部結構上分解，然后進行分析其擴散方向和強度。在圖像的局部定義直角坐標系(ξ,η)，如圖1所示，其中η-軸平行于梯度方向，ξ-軸垂直于梯度方向，即：

圖1 坐標系(ξ,η)示意圖Fig.1 Coordinate system(ξ,η)

(7)

從上式可以看出，方程(6)本質上為非線性的各向異性擴散方程，其擴散能力由擴散系數

所控制，如圖1所示。

這就意味著在圖像目標邊緣處沿梯度方向的擴散強度接近于零，幾乎沒有擴散，只沿著圖像目標邊緣的垂直于梯度的方向即切線方向進行擴散，從而可以保護圖像目標邊緣不被模糊，保持圖像目標邊緣信息。

這就意味著在沿梯度方向和切線方向的擴散強度接近于相等，在圖像的平坦區域內沿著沿梯度和切線兩個方向進行同等擴散，從而可以更好的光滑圖像，去除噪聲，避免出現階梯狀效應。

根據以上分析，本文提出的ATVp正則模型可以在圖像恢復的同時避免TV正則模型的階梯狀效應和Tikhonov正則模型的模糊邊界的缺點。

4 數值計算

對于提出的ATVp正則模型的數值計算，關鍵是求解方程(6)，在求解該方程時本文采用半隱格式的加性算子分裂(Additive Operator Splitting，AOS)算法[19-20]，具體如下：

方程(6)可用半隱有限差分格式來逼近：

f(i)-ταH*(Hf(i+1)-g)

其中τ表示時間步長，演化方程的求解將采用AOS算法，首先進行算子分裂，移項可得：

由AOS算法原理，上式的求解可通過：

從而可得f(i+1)：

AOS算法是絕對穩定的，從而可以在保證精度的前提下，選用盡可能大的時間步長以提高效率，并且時間步長的選定，不是出于穩定性考慮，而是出于精度和效率的折中考慮。

5 仿真實驗

本節通過仿真實驗來驗證算法的有效性，選用一幅大小為256×256的著名的Lena圖像進行實驗，Lena圖像細節豐富利于檢驗比較恢復結果。并將本文ATVp正則模型與Tikhonov正則模型[1]，Log正則模型[14]，TV正則模型[2]，TVp正則模型(這里選定p=0.8)[16]分別對恢復運動、失焦和噪聲引起的模糊進行了比較。為了更加客觀，本文從視角效果與定量指標兩方面對圖像質量進行比較。采用的定量指標SBR(Signaltoblurringratio)用來定量模糊的程度，恢復的效果，采用PSNR(峰值信噪比)定量噪聲的強度，去噪的效果，定義分別如下：

其中u表示原模糊前圖像，unew表示恢復后圖像，M,N分別為圖像的行列數。容易看出SBR和PSNR的值越大說明圖像恢復的質量越好。

實驗1 驗證算法對運動模糊圖像恢復效果，如圖2所示。本實驗首先對原始的Lena圖像加入角度θ=45°，運動距離為L=15像素的運動模糊，如圖2(a)所示。令模型中的K=1，以下實驗相同，并且試驗發現算法對時間步長并不敏感，在τ=1附近算法都是穩定的，另外為了更接近原圖像，權值α選的較大，本實驗參數選擇為：時間步長：τ=0.8，α=2.5。圖2(b)-(f)為各模型恢復效果，容易看出Tikhonov正則與Log正則恢復的圖像比較模糊，TV正則恢復的圖像階梯效應明顯，TVp正則模型得到了稍微的改善，本文ATVp正則模型在改善階梯效應，保持邊緣上恢復效果更好。同時算法收斂方面也是較好(見圖3)，在迭代100次左右就達到了穩定，并且得到更高的SBR值如表1所示。

圖2 Lena圖像的運動模糊恢復結果Fig.2 Restored result of motion blurred Lena

模糊類型性能指標恢復前Tikhonov正則模型Log正則模型TV正則模型TVp正則模型本文ATVp正則模型運動模糊SBR7.31558.630110.737013.636014.065014.2807失焦模糊SBR7.33908.16389.384710.273110.411910.5790噪聲PSNR20.048325.731626.090327.562627.744928.4431

圖3 各模型對運動模糊恢復SBR值收斂曲線圖Fig.3 SBR curves with iteration times in experiment 1

實驗2驗證算法對失焦模糊圖像恢復效果，如圖4所示。

圖4 Lena圖像失焦模糊恢復結果Fig.4 Restored result of out of focus for Lena

本實驗對原始圖像加入了模糊窗口h=21，標準差σ=5的Gaussian模糊，如圖4(a)。參數同樣選擇為：時間步長：τ=0.8，λ=2.5，圖4(b)-(f)為各模型恢復效果，從各恢復圖可以看出，本文ATVp正則模型恢復的效果顯然比其他正則模型更為理想。圖5和表1也可以驗證算法在運算收斂和指標SBR值方面表現良好。

圖5 各模型對失焦模糊恢復SBR值收斂曲線圖Fig.5 SBR curves with iteration times in experiment 2

實驗3 本實驗主要驗證算法的去除噪聲的效果，如圖6所示。

圖6 Lena圖像噪聲恢復結果Fig.6 Restored result of noisy Lena

本實驗在原始圖像加入了均值為零，方差為0.1的高斯噪聲，如圖6(a)。實驗中選擇時間步長τ=0.8，為了加強磨光作用，去除噪聲，λ選擇較小，λ=0.05。圖6(b)-(f)為各模型恢復效果，結果正如實驗1中分析，Tikhonov正則與Log正則恢復的圖像邊緣比較模糊，TV正則恢復的圖像出現階梯效應，TVp正則模型得到了稍微的改善，本文ATVp正則模型由于綜合了Tikhonov正則和TV正則模型的優點，摒棄其缺點得到了較好效果，并且運算收斂理想(見圖7)，迭代50次左右就已達到穩定。PSNR值相比其他模型有了大幅提高，如圖7和表1所示。

圖7 各模型對噪聲恢復PSNR值收斂曲線圖Fig.7 PSNR curves with iteration times in experiment 3

6 結 論

為了解決算法在恢復圖像時所引起的階梯效應和邊緣模糊問題，在本文中基于自適應TVp范數，提出一個ATVp正則模型， 并結合AOS數值計算方法，得到完整的ATVp正則恢復算法，通過分析，容易看出p可以自動區分圖像中的邊緣和平坦區域，從而自適應的選擇不同的值，使得新模型可以實現在圖像邊緣處逼近TV正則模型來保持邊緣，在圖像平坦區域內逼近Tikhonov正則模型，可以充分磨光圖像，從而不僅能夠自適應的對圖像中的邊緣進行有效的保護，而且可以避免出現階梯效應。

通過一系列實驗表明，和主要的一些正則模型相比，本文恢復算法對模糊圖像的恢復無論在視角效果還是定量指標都有了明顯的改進。

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Image restoration method based on adaptive TVpregularization

LI Shuaijie1, FENG Zhaoyong2

(1.School of Mathematics and Statistics, Henan University of Science and Technology, Luoyang 471023, China;2. School of Mathematics, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China)

In order to avoid the staircasing effect and edge blurring problem. A variable TVpnorm was defined, and an adaptive TVp(ATVp) regularization model was proposed. Combining the AOS numerical method, a complete ATVpregularization algorithm was shown, wherepcanbeadaptiveselectedaccordingtodifferentimageareas.Thecharacteristicsmakethenewmodelpreservetheedgeinformationbetterandavoidthestaircasingeffectwhileimagerestoration.Experimentsshowedthatcomparedwiththeexistingregularizationmodels,itimprovedtherestorationresultsinbothvisualeffectsandSBRandPSNR.

image restoration; ATVpregularization; AOS method

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.05.002

2016-03-25

國家自然科學基金面上資助項目(11271381，11471339)；國家自然科學基金青年基金資助項目(61301229)；河南省教育廳資助項目(15A110020)；河南科技大學博士科研啟動基金資助項目(13480032)；廣州市科技計劃資助項目(201607010144)

李率杰(1980年生)，男；研究方向：偏微分方程，圖像處理；通訊作者：馮兆永；E-mail:fzhaoy@mail.sysu.edu.cn

TP911.73

A

0529-6579(2016)05-0008-06