給定階子群的-次正規性對群結構的影響

高百俊，張 佳，繆 龍

(1. 揚州大學數學科學學院，江蘇 揚州 225002；2. 伊犁師范學院數學與統計學院，新疆 伊寧 835000)

高百俊1,2，張 佳1，繆 龍1

(1. 揚州大學數學科學學院，江蘇 揚州 225002；2. 伊犁師范學院數學與統計學院，新疆 伊寧 835000)

文中所涉及的群均為有限群，所用術語與符號都是標準的，見文[8-9]。

1 預備知識

為方便起見，我們首先列出在后面的證明中將會用到的一些定義和結果。

引理2[9]設G是有限群，p是|G|的極小素因子。設H是群G的一個子群且|G∶H|=p，則H正規于G。

引理3[10]設G是有限群，則

引理4[8]設N是群G的可解正規子群且N≠1。若N∩Φ(G)=1，則N的Fitting子群F(N)是G的包含于N中的所極小正規子群的直積。

(iv) 對于P的任意極大子群P1，P∩B=P1∩B=Φ(P)∩B且|G∶P1B|=p。

引理7[12]如果G是一個p-超可解群且Op′(G)=1，那么G是超可解的。

2 主要結果

證明 必要性顯然。下面主要證明充分性。

(vi) 若|D|=|P|，則由引理1可知結論正確。

(vii) 若|D|=p，假設結論不真，設G為極小階反例。

故當|D|=p時，結論成立。

(viii) 若p<|D|<|P|，假設結論不真，設G為極小階反例。

綜合(vi)-(viii)可知定理1得證。

證明 必要性顯然。下面主要證明充分性。

假設結論不真，設G為極小階反例。

證明 假設結論不真，設G為極小階反例。

證明 假設結論不真，設G為極小階反例。

證明 若|D|=|P|，則由定理3可知結論成立。

若|D|=p，則由定理4可知結論成立。

考慮p<|D|<|P|，假設結論不真，設G為極小階反例。

(xi)Op′(G)=1。

事實上，若Op′(G)≠1，考慮商群G/Op′(G)，則由引理3(iii)知G/Op′(G)滿足定理條件，由G的選擇知G/Op′(G)是p-超可解的，因此G是p-超可解的，矛盾。

(xii)Op(G)≠1。

(xiii)Op(G)∩Φ(G)=1。

(xiv) 最后的矛盾。

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GAOBaijun1,2,ZHANGJia1,MIAOLong1

(1.SchoolofMathematicalSciences,YangzhouUniversity,Yangzhou225002,China;2.SchoolofMathematicsandStatistics,YiliNormalUniversity,Yining835000,China)

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.05.005

2016-02-25

國家自然科學基金資助項目(11271016)；江蘇省研究生創新工程資助項目(KYZZ16_0488)

高百俊(1980年生)，女；研究方向：有限群論;E-mail:dqgbj2008@163.com

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A

0529-6579(2016)05-0027-04