模的Pn－內射維數與環的整體Pn－內射維數

謝 晉，王芳貴，熊 濤

模的Pn－內射維數與環的整體Pn－內射維數

謝 晉，王芳貴*，熊 濤

(四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610066)

設R是任何環，n是一固定的非負整數．模W稱為Pn－內射模，是指對任何投射維數不超過n的模P，有Ext1R(P，W)=0(謝晉，王芳貴，熊濤．四川師范大學學報(自然科學版)，2016，39(2):159－162．)，引入模的Pn－內射維數和環的整體Pn－內射維數的概念，證明若l．FPD(R)＜∞，則對任意n≥l．FPD(R)，有l．Pndim(R)=l．FPD(R)．也引入了Pn－遺傳環的概念，證明任何環都是左P1－遺傳環，以及當n≥2時，R是左Pn－遺傳環當且僅當l．FPD(R)≤1．

Pn－內射模;Pn－內射維數;整體Pn－內射維數;Pn－遺傳環

1 預備知識

本文恒設R是有單位元的結合環，所有的模均指左R－模，RM表示所有左R－模所構成的模類，pdRM和idRM分別表示模M的投射維數和內射維數，gl．dim(R)表示環R的整體維數，dim(R)表示環R的Krull維數，Pn表示投射維數不超過n的模類．在文獻［1］中引入Pn－內射模的概念，這是一類較n－余撓模更廣的模類．

同調代數使用范疇的理論和方法，以Hom、Ext和Tor等基本函子為工具，在刻畫環的結構理論中發揮了重要作用．自H．Bass［2］引入環的 finitistic維數起，各類維數的考察一直都是同調代數研究的核心［3－6］．給定一個模，通過對模的多種不同分解式，可以定義不同的同調維數(模的維數和環的整體維數)．例如文獻［7］利用內射模的平坦維數定義環的IF維數，以此刻畫環的結構，特別是凝聚環的結構．文獻［8］用環的整體余撓維數刻畫了n－完全環，文獻［9］引入環的整體弱內射維數，也刻畫了幾乎完全整環．文獻［10］引入n－余撓模，并提出用模的n－余撓維數和環的整體n－余撓維數來刻畫環結構．由此看到，不同的同調維數可以按照不同的要求，刻畫具體問題中的不同環類．本文引入模的Pn－內射維數和環的整體Pn－內射維數，以此刻畫具有有限finitistic維數的環類，左遺傳環與左Pn－遺傳環．

2 模的Pn－內射維數

定義2．1 設N是R－模．

1)如果存在正合列其中每個Wi是Pn－內射模，則此正合列稱模N的Pn－內射分解．顯然，每個R－模都有Pn－內射分解．

2)如果存在正合列其中，m是非負整數，所有的Wi都是Pn－內射模，則稱模N的Pn－內射維數有限，并用PnidRN表示這樣的非負整數m的最小值;如果沒有這樣的非負整數m存在，則記PnidRN=∞．

例2．2 對R－模N，以下各條是顯然的:

1)N是Pn－內射模當且僅當PnidRN=0;

2)PnidRN≤idRN;

3)如果m≤n，則PmidRN≤PnidRN．

定理2．3 設m是非負整數．對模N，以下各條等價:

1)PnidRN≤m;

2)對任意M∈Pn，有Extm+1R(M，N)=0;

3)對任意M∈Pn，及任何i≥1，有Extm+iR(M，N)=0;

4)設0→N→W0→W1→…→Wm－1→Wm→0是正合列，其中，W0、W1、…、Wm－1是Pn－內射模，則Wm是Pn－內射模;

5)設0→N→W0→W1→…→Wm－1→Wm→0是正合列，其中，W0、W1、…、Wm－1是內射模，則Wm是Pn－內射模．

證明 1) 3)由假設，存在正合列(2)．由于每一Wi是Pn－內射模，引用文獻［1］的命題2．3得到

3) 2)顯然．

2) 4)由假設，對任意M∈Pn，有=0，故Wm是Pn－內射模．

4) 5) 1)顯然．

命題2．4 設0→A→W→C→0是正合列，其中W是Pn－內射模．

1)如果PnidRA=0，則PnidRC=0;

2)如果PnidRA＞0，則PnidRC=PnidRA－1．

證明 1)由文獻［1］命題2．4即可得證．

2)對任意 M∈Pn及 m≥0，由同構關系即得．

推論2．5 設N為R－模，m是非負整數，則PnidRN≥m當且僅當對每個1≤i≤m，存在R－模Mi∈Pn，使得．從而若PnidRN＜∞有

PnidRN= sup{i∈N|存在M∈Pn，使得

命題2．6 設0→A→B→C→0是正合列．

1)如果{PnidRA，PnidRB，PnidRC}中有2個取有限值，則第三個也取有限值;

2)如果A是Pn－內射模，則PnidRB=PnidRC;

3)PnidRB≤max{PnidRA，PnidRC};

4)PnidRC≤max{PnidRA－1，PnidRB};

5)PnidRA≤max{PnidRB，PnidRC+1}．證明 對任意M∈Pn及m≥0，由正合列

及定理2．3即可得證．

命題2．7 設{Mi|i∈Γ}是一簇R－模，則

證明 對任意M∈Pn及m≥0，由即可得證．

對R－模 N，知道一般情形下，有 PnidRN≤idRN．什么時候兩者可以相等?命題2．8回答了這個問題．

命題2．8 設環R滿足:每個內射R－模的投射維數都不超過n(例如，R是n－Gorenstein環)．設N是R－模，idRN＜∞，則PnidRN=idRN．

證明 設idRN=m，顯然有PnidRN≤m．由文獻［13］的推論4．7．2，存在內射模E，使得ExtmR(E，N)≠0．由條件E∈Pn，于是有PnidRN≥m，因此得到PnidRN=m．

3 環的整體Pn－內射維數

本節引入和討論環的整體Pn－內射維數．

定義3．1 對環R，其左整體Pn－內射維數l．Pndim(R)定義為

對環R，其左 finitistic維數定義為 l．FPD(R)= sup{pdRM|M∈RM，且pdRM＜∞}．

例3．2 下面的事實是顯然的:

1)l．Pndim(R)≤l．gl．dim(R);

2)如果 0≤m≤n，則 l．Pmdim(R)≤l．Pndim(R);

3)注意，對任何環R，每個R－模都是P0－內射模，亦即對任何環R，l．P0dim(R)=0;

4)設n≥1，由文獻［1］的定理3．4，l．Pndim (R)=0當且僅當l．FPD(R)=0，從而當R是交換環時，Pndim(R)=0當且僅當R是完全環［14］．

定理3．3 設m是一非負整數，則對環R來說，以下各條等價:

1)l．Pndim(R)≤m;

2)對任意M∈Pn，以及N∈RM，有Extm+1R(M，N)=0;

3)對任意M∈Pn，以及N∈RM，及任意i≥1，有

4)sup{pdRM|M∈Pn}≤m，從而有l．Pndim(R) =sup{pdRM|M∈Pn}．

證明 1) 2) 3)由定理2．3可得．

2) 4)容易驗證．

推論3．4 對任何環R，l．Pndim(R)≤n．

證明 由定理3．3的4)即得．

關于和 H．Bass［2］定義的環的 finitistic維數有，從而有pdRM≤k－n+m．

推論3．7 設k≥n，如果l．Pndim(R)≤m，則l．Pkdim(R)≤k－n+m．

4 Pn－遺傳環

l．FPD(R)的關系，有下面的推論．

推論3．5 如果l．FPD(R)=m＜∞，則對任何n≥m，有l．Pndim(R)=m．

定理3．6 設l．Pndim(R)≤m，k≥n，M∈Pk，則pdRM≤k－n+m．

證明 設K是M的第(k－n)個合沖，則pdRK≤n．設N是R－模，由l．Pndim(R)≤m，由定理3．3

用整體維數不超過1的條件可以刻畫所謂遺傳環的結構，自然地，可以引入和刻畫Pn－遺傳環．

定義4．1 環R被稱為左Pn－內射遺傳環，簡稱為Pn－遺傳環，是指每個Pn－內射模的商模還是Pn－內射模，等價地，l．Pndim(R)≤1．

例4．2 顯然，左遺傳環是左Pn－遺傳環．

命題4．3 任何環都是左P1－遺傳環．

證明 設E是一P1－內射模，N是E的子模，則有正合列:0→N→E→E/N→0．由文獻［1］的推論2．6知E/N作為N的第1個上合沖是P1－內射模，則R是左P1－遺傳環．

定理4．4 設n≥2，則對環R來說，以下各條等價:

1)R是左Pn－遺傳環;

2)對任意M∈Pn，有pdRM≤1;

3)每個內射模的商模是Pn－內射模．

證明 1) 2)在定理3．3中取m=1即得．

1) 3)這是平凡的．

3) 1)設0→N→W0→W1→0是正合列，其中W0是Pn－內射模，設E是W0的內射包，并記W= E/N，則有行正合的交換圖1．

因此有正合列0→W0→E W1→W→0．由假設，W是Pn－內射模，故有W1為Pn－內射模，從而R為左Pn－遺傳環．

定理4．5 設n≥2，則對環R來說，以下各條等價:

1)l．Pndim(R)≤1;

2)l．P2dim(R)≤1;

3)l．FPD(R)≤1．

證明 1) 2)由l．P2dim(R)≤l．Pndim(R)≤1即得．

2) 3)設 M為 R－模，且 pdRM＜∞．如果pdRM＞1，則必有模N，使得pdRN=2．在定理3．3中取n=2和m=1，有pdRN≤1，矛盾，故pdRM≤1，從而有l．FPD(R)≤1．

3) 1)設 M∈Pn，則 pdRM＜∞，由假設有pdRM≤1．由定理3．3有l．Pndim(R)≤1．

文獻［10］中引入了左Cn－遺傳環的定義，因此有下面的結論:

推論4．6 設n≥2，則R是左Cn－遺傳環當且僅當R是左Pn－遺傳環．

由于當 R是諾特整環時，由文獻［15］有dim(R)=FPD(R)，故有如下推論:

推論4．7 設R是諾特整環，且dim(R)≤1，則R是P2－遺傳環．

注1 1)推論4．7實際指出了左Pn－遺傳環未必是遺傳環．

2)對任何一種整體維數，對應于1維情形都可以認為是一種遺傳性．文獻［2］定義的finitistic維數，0維的情形的刻畫是比較詳細的．特別是當R是交換環時，FPD(R)=0當且僅當R是完全環［14］．但關于l．FPD(R)=1的環則知之甚少．文獻［14］指出，若 R是交換凝聚環，FPD(R)=1，則 R是Noether環．從討論可以看到，定理4．5實質給出l．FPD(R)=1的環的一種新的刻畫;當 R是Noether整環時，滿足FPD(R)=1的環就是(Krull維數)1維環．

定理4．8 設n≥2，則對環R來說，以下各條等價:

1)R是左遺傳環;

2)R是左Pn－遺傳環，且l．gl．dim(R)≤n;

3)R是左P2－遺傳環，且l．gl．dim(R)≤n;

4)R是左Pn－遺傳環，且l．gl．dim(R)＜∞．

證明1) 2)顯然．

2) 1)由定理4．4知，每個內射模的商模是Pn－內射模．由文獻［1］的定理3．1，每個Pn－內射模是內射模，因此R是左遺傳環．

2) 3)由定理4．5即得．

1) 4)顯然．

4) 1)設l．gl．dim(R)=k，若k≤1，自然有R是左遺傳環．設k≥2，由條件R是左P2－遺傳環，且l．gl．dim(R)≤k，故由1)和3)的等價性已有R是左遺傳環．

致謝 四川師范大學研究生優秀論文培育基金(校研字201554)對本文給予了資助，謹致謝意．

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The Pn-injective Dimension of Modules and the Global Pn-injective Dimension of Rings

XIE Jin，WANG Fanggui，XIONG Tao

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

Let R be any ring，and n a fixed nonnegative integer．An R-module W is called a Pn-injective module if Ext1R(P，W)= 0 for any R-module P with projective dimension at most n(J．Xie，F．G．Wang，T Xiong，J Sichuan Normal University(Natural Science)，2016，39(2):159－162．)．In this paper，we introduce the concepts of the Pn-injective dimension of a module and the global Pn-injective dimension of a ring．It is shown that if l．FPD(R)＜∞，then l．Pndim(R)=l．FPD(R)for any n≥l．FPD(R)．We also introduce the concept of Pn-hereditary ring，and prove that any ring is left P1-hereditary ring，when n≥ 2，R is a left Pn-hereditary ring if and only if l．FPD(R)≤1．

Pn-injective module;Pn-injective dimension;global Pn-injective dimension;Pn-hereditary ring

O154

A

1001－8395(2016)05－0630－04

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．002

(編輯 鄭月蓉)

2015－01－16

國家自然科學基金(11171240)

*通信作者簡介:王芳貴(1955—)，男，教授，主要從事交換代數、同調代數與代數K－理論的研究，E－mail:wangfg2004@163．com

2010 MSC:16E10;16E30