FP－投射模的刻畫

周德川，吳雅麗，王芳貴

FP－投射模的刻畫

周德川，吳雅麗，王芳貴*

(四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610066)

R－模M稱為FP－投射模是指對所有的有限表現模N，都有Ext1R(M，N)=0．證明每個模是FP－投射模當且僅當每個有限表現模是內射模，也證明當R是左Noether環時，則每個模是FP－投射模當且僅當R是半單環．而當R是左凝聚環時，每個模是FP－投射模當且僅當R是VN－正則環且是左自內射環．然后進一步揭示了FP－投射模的子模的性質，引入了左FP－遺傳環的概念．證明R是左FP－遺傳環當且僅當每個有限表現模的內射維數至多為1．

FP－投射模;左G－半單環;左FP－遺傳環

本文提到的環R都是有單位元的結合環，所有的模均指左模．

投射模是環與模范疇與同調代數理論的重要概念之一，它的理論和研究方法影響到代數和其他數學學科．但是在應用中人們也看到了投射模作為研究工具的局限性，故出現了很多關于投射模概念的推廣．蔣方明［1］引入并研究了f－投射模;苗佳晶［2］引入了P－投射模的概念;黃影［3］引入了FP－投射模的定義．模M稱為FP－投射模，是指對所有的有限表現模文獻［3］給出了FP－投射模的一些基礎性質．隨后，黃影［4］又給出FP－投射維數的概念和一些基礎討論．本文在文獻［3－4］的基礎上，接著對FP－投射模進行討論．文獻［4］提到:是否能用FP－投射模和FP－投射維數來刻畫遺傳環、凝聚環等環類．故本文的主要目的旨在進一步刻畫研究FP－投射模的性質，并借助FP－投射模對環結構進行刻畫．值得指出的是，還有一種FP－投射模的定義．L．X．Mao等［5］通過FP－內射模給出FP－投射模的概念．設M是R－模．若對每個FP－內射模N，都有則M稱為FP－投射模．模N稱FP－內射模，是指對任意的有限表現模．這2種關于FP－投射模的定義是不等價的．本文討論的FP－投射模都是指黃影［3－4］定義下的FP－投射模．

1 FP－投射模

回顧文獻［3］中FP－投射模的定義．對環R，R－模M稱為FP－投射模，是指對所有的有限表現模A，都有－投射模關于直和、直和項封閉．

下面來看一下FP－投射模的等價刻畫．

命題 1．1 設 M是 R－模，則以下各條件等價:

1)M是FP－投射模;

2)對任何正合列0→A→B→C→0，其中A是有限表現R－模，則誘導序列0→HomR(M，A)→HomR(M，B)→HomR(M，C)→0也是正合列;

3)設h:B→C是滿同態．若ker h是B的有限表現子模，則任何同態f:M→C可以提升到B，即存在同態g:M→N，使得f=hg;

4)任何形如0→A→B→M→0的正合列分裂，其中A是有限表現R－模．

證明 1) 4) 由文獻［6］的推論7．20可證．

定理1．2 設R是左凝聚環．對R－模M，以下各條件等價:

1)M是FP－投射模;

2)對任何有限表現循環模Rx有

3)對R的任何有限生成左理想I有

證明 1) 2) 顯然．

2) 1) 設N是由x1，x2，…，xn生成的有限表現模，即N=Rx1+…+Rxn．對生成元個數n用歸納法證明．

n=1時由條件知斷言成立．設n＞1，令N1= Rx1+…Rxn－1．于是 N/N1是有限表現循環模，故．由于R是左凝聚環，而左凝聚環的有限表現模是凝聚模，故N是凝聚模，從而N的有限生成子模N1也是有限表現R－模．由歸納假設有=0．由正合列0→N1→N→N/N1→0有

2) 3) 對R的有限生成左理想I，有R/I是有限表現循環R－模，故由條件知

3) 2) 對任何有限表現循環模Rx有

其中ann(x)是x的零化子，即

由于Rx是有限表現模，故ann(x)是R的有限生成左理想．由條件知，故

定理1．3 設R是左凝聚環，則有限表現FP－投射模是投射模．

證明 設M是有限表現FP－投射模，取正合列0→K→F→M→0，其中F是有限生成自由R－模．由于M是有限表現R－模，故K是有限生成R－模，又R是左凝聚環，從而K是有限表現的．由定理1．1知此正合列分裂，故M是自由模的直和加項，從而M是投射模．

推論1．4 設R是Noether環，則每個有限生成FP－投射模是投射模．

定理1．5 設0→M1→M→M2→0是正合列．若M1、M2是FP－投射模，則M是FP－投射模．反之，若此正合列分裂，則由M是FP－投射模，有M1、M2是FP－投射模．

眾所周知投射模有Schanuel引理，證法類似，也可得到FP－投射模也有類似的Schanuel引理．

1)0→K1→K2P1→P2→0是正合列;

2)若P2是FP－投射模，K1是有限表現R－模，則K2P1K1P2．

下面討論在交換環上FP－投射模的另一個性質．

定理1．7 設R是交換環，M是FP－投射模．

2)若P是有限生成投射模，則HomR(P，M)是FP－投射模．

證明 1)由同構關系(文獻［7］的定理4．5．9)

即知;

2)由同構關系(文獻［7］的定理4．5．11)

即知．

2 FP－投射模對環的刻畫

文獻［4］提到:是否能用FP－投射模和FP－投射維數來刻畫遺傳環、凝聚環等環類，或者能否用FP－投射模來刻畫一個新的環類．本節主要就是來討論用FP－投射模來刻畫環的問題．

首先來看一下每個模都是FP－投射模的環是什么樣的環．

定義2．1 設R是環．若任何左R－模的有限表現左子模為其直和加項，則稱環R為左G－半單環．

定理2．2 設R是環，以下各條等價:

1)R為左G－半單環;

2)每個R－模是FP－投射模;

3)每個有限生成R－模是FP－投射模;

4)每個循環R－模是FP－投射模;

5)對任意R－模E，滿足任意R－模M的有限表現子模K到E的同態能提升到M到E的同態;

6)每個有限表現R－模是內射模．

2) 5) 設E、M是任意R－模，K是M的有限表現子模．故有正合列，其中i是包含映射．由條件知M/K是FP－投射模，故由命題1．1知此正合列分裂，故存在

使得gi=1K．對 f∈HomR(K，E)．令h=fg，則hi= fgi=f1K=f，如圖2所示．

5) 1) 對任意R－模B，A是B的有限表現子模．由3)知對恒等映射1A∈HomR(A，A)，存在f∈HomR(B，A)，使得fi=1A，其中i:A→B是包含映射．故正合列0→A→B→C→0分裂．從而A是B的直和加項，如圖3所示．

2) 3) 4) 顯然．

4) 6) 設A是有限表現R－模．對R的任意左理想I，由條件知R/I是FP－投射模，故

從而A是內射模．

6) 1) 對任意R－模B及其有限表現子模A，有正合列0→A→B→B/A→0，由條件A是內射模，故該正合列分裂．從而A是B的直和加項．

VN正則環即每個模是平坦模的環，等價于每個主左理想由一個冪等元生成．在R是左G－半單環的條件下，VN正則環與左凝聚環是一致的．具體來看下面命題．

命題2．3 設R是左G－半單環，以下各條等價:

1)R為VN正則環;

2)R為左半遺傳環;

3)R為左凝聚環;

4)R的每個主左理想是有限表現R－模．

證明 1) 2) 3) 4) 顯然．

4) 1) 設I是環R的主左理想，由條件知I是有限表現R－模．由R是左G－半單環，故I是R的直和加項，從而I是由一個冪等元生成的．

定理 2．4 設R是左 Noether環，以下各條等價:

1)R是半單環;

2)R是左G－半單環．

證明 1) 2) 顯然．

2) 1) 設 I是 R的左理想，由于 R是左Noether環，故I是有限表現的，由定理2．2知I是內射模．故正合列0→I→R→R/I→0分裂．從而I是R的直和加項．所以R是半單環．

在左凝聚環條件下，每個模是FP－投射?？梢钥坍嬕粋€比半單環更弱的環，即VN正則環，反之要想在左凝聚環條件下用VN正則環來刻畫左G－半單環，需要加上VN正則環本身是左自內射環，即環作為自身模是內射模．要想得到此等價刻畫，需要用到下面引理．

引理2．5［8］環R是VN正則環當且僅當每一R－模是FP－內射模．

上述引理中的 FP－內射模是 B．Stenstr m［9］提出的，A是FP－內射模，是指對所有的有限表現模M，有=0．A是FP－內射模等價于任意自由R－模F的有限生成子模K到A的同態能提升到F到A的同態．朱占敏［10］給出了廣義內射模GFP－內射模的概念，即:對R－模A，若對任一2－表現R－模M，有=0，則稱 A為GFP－內射模．其中R－模M是n－表現的是指，存在一個正合列Fn→Fn－1→…→F1→F0→M→0，其中每個Fi是有限生成的自由R－模．

引理2．6［10］環R是左凝聚環當且僅當GFP－內射模為FP－內射模．

定理2．7 設R是左凝聚環，以下各條等價:

1)R是VN正則環且是左自內射環;

2)R是左G－半單環;

3)R是左自內射環且每個R－模是GFP－內射模．

證明 1) 2) 對任意有限生成理想I，由于R是VN正則環，由引理2．5知，I是FP－內射模．從而I到I的恒等同態能擴張到R到I的同態，故正合列0→I→R→R/I→0分裂．所以有R/I是R的直和加項，由于R是內射模，故R/I是內射模，從而對任意R－模M，．由定理1．2知 M是FP－投射模，從而R是左G－半單環．

2) 1) 對任意主左理想I，由于R是左凝聚環，故I是有限表現模．由定理2．2知I是內射模，故正合列0→I→R→R/I→0分裂．所以I是R的直和加項，故I是由一個冪等元生成，從而R是VN正則環．R作為自身模是有限生成自由模，從而是有限表現模．又由定理2．2知R作為自身模是內射模，故R是左自內射環．

1) 3) 由引理2．5及引理2．6知．

投射模顯然是FP－投射模，但FP－投射模未必是投射模，由上述定理就可以給出FP－投射模不是投射模的例子．

例2．8 設

其中每個Ki是域，則R是左VN正則環且是左自內射環，但 R不是左半單環，故存在一個 R－模是FP－投射模但不是投射模．

下面討論每個FP－投射模的子模是FP－投射模是什么樣的環的問題．

定義2．9 若R的每個FP－投射模的子模還是FP－投射模，則R稱為左FP－遺傳環．

左遺傳環顯然是左FP－遺傳環．下面給出左FP－遺傳環的一些等價刻畫．

定理2．10 對環R，以下各條件等價:

1)R是左FP－遺傳環;

2)投射模的子模是FP－投射模;

3)自由模的子模是FP－投射模;

4)R的每個左理想是FP－投射模;

5)每個有限表現R－模的內射維數至多為1．

證明 1) 2) 3) 4) 顯然．

4) 5) 設K是有限表現R－模，對于R的左理想I，有正合列0→I→R→R/I→0，從而有正合列

故l．idRK≤1．

5) 1) 設M是FP－投射模，A是M的子模，K是有限表現R－模，有正合列0→A→M→M/A→0．可誘導出正合列

推論2．11 設R是左FP－遺傳環，M是R－模，則M是FP－投射模當且僅當對任意正整數n及有限表現R－模A，有

證明 必要性 當n=1時，由FP－投射模的定義知，對任意有限表現R－模A，有0．當n＞1時，由定理2．10知，任意有限表現R－模A的內射維數小于等于1，故

充分性 n取1即知．

推論2．12 設R是左FP－遺傳環，0→A→B→C→0是正合列，如果C是FP－投射模，則A是FP－投射模當且僅當B是FP－投射模．

回顧一下文獻［11］中對任何R－模M的左FP－內射維數(用l．FP－id(M)表示)的定義inf{n|對任意有限表現R－模F，Extn+1R(F，M)=0}．

命題2．13 設R是Noether環，M是任意R－模，則l．FP－id(M)≤n當且僅當idRM≤n．

證明 設 R是 Noether環，M是 R－模，當l．FP－id(M)≤n時=0，其中F是有限表現R－模．對R的任意左理想I，由于R是Noether環，故I是有限生成的，從而R/I是有限表現R－模，故=0，從而idRM≤n．反之顯然成立．

引理2．14［9］環R是左凝聚環當且僅當左FP－內射維數小于或等于n的R－模的正向極限的左FP－內射維數小于或等于n．

推論2．15 設R是左Noether環，則R是左遺傳環當且僅當R是左FP－遺傳環．

證明 必要性 顯然．

充分性 對任意R－模M，有

其中N取遍M的所有有限表現子模．由于R是左FP－遺傳環，由定理2．10知N的內射維數小于等于1，即 idRN≤1．所以可由命題 2．13得到l．FP－id(N)≤1．由R是左Noether環及引理2．14知l．FP－idR(M)≤1，又由定理2．13知idRM≤1，故gl．dim(R)≤1，從而R是左遺傳環．

［1］蔣方明．f－投射模的直積和正向極限［J］．南京理工大學學報(自然科學版)，1993(6):58－60．

［2］苗佳晶．關于P－投射模［J］．吉林師范大學學報(自然科學版)，2007，28(3):109－110．

［3］黃影．關于FP－投射模［J］．吉林師范大學學報(自然科學版)，2007，28(1):47－48．

［4］黃影．關于FP－投射維數的若干性質［J］．沈陽師范大學學報(自然科學版)，2008，26(1):39－41．

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［6］ROTMAN J J．An Introduction to Homological Algebra［M］．New York:Academic Press，1979．

［7］王芳貴．交換環與星型算子理論［M］．北京:科學出版社，2006．

［8］CHARLES M．Absolutely pure modules［J］．Proc Am Math Soc，1970，26:561－566．

［9］STENSTR M B．Coherent rings and FP－injective modules［J］．J London Math Soc，1970，2(6):323－329．

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［14］周德川，王芳貴．交換環上的強w－投射模［J］．四川師范大學學報(自然科學版)，2014，37(2):148－151．

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The Properties of FP-Projective Modules

ZHOU Dechuan， WU Yali， WANG Fanggui

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

Let R be a ring．An R-module M is called FP-projective if Ext1R(M，N)=0 for any finitely presented module N．In this paper，we prove that every R-module is FP-projective if and only if every finitely presented module is injective．Then it is proved that if R is a left Noether ring，then every R-module is FP-projective if and only if R is a semi-simple ring．However，if R is a left coherent ring，every module is FP-projective if and only if R is a Von Neumann regular ring and R is a left self-injective ring．Finally，in order to discuss the properties of submodules of FP-projective modules，the definition of left FP-hereditary rings is described and it is shown that R is FP-hereditary if and only if the injective dimensions of finitely presented modules are less than 1．

FP-projective module;left G-semi-simple ring;left FP-hereditary ring

O154

A

1001－8395(2016)05－0634－05

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．003

(編輯 陶志寧)

2015－12－07

國家自然科學基金(11171240)

*通信作者簡介:王芳貴(1955—)，男，教授，主要從事交換代數、同調代數與代數K－理論的研究，E－mail:wangfg2004@163．com

2010 MSC:13B30;13D30;16D40