一類考慮存活率的時滯SIR傳染病模型的Hopf分支研究

李亞男， 馮廣慶， 王玉光

一類考慮存活率的時滯SIR傳染病模型的Hopf分支研究

李亞男1， 馮廣慶1， 王玉光2*

(1．河南理工大學萬方科技學院，河南焦作454000; 2．寧夏大學數學計算機學院，寧夏銀川750021)

研究了一類考慮存活率的時滯SIR傳染病模型，首先得到了模型的無病平衡點和病態平衡點的存在條件及局部穩定條件;其次，對于病態平衡點，討論了當時滯τ由小增大并經過τ0時，病態平衡點將由穩定變為不穩定，進而破裂產生Hopf分支;最后，利用Simulink仿真驗證了結論．

基本再生數;穩定性;Hopf分支;Lyapunov函數

種群模型和傳染病動力學模型背景雖然不同，但在模型表述、研究方法和研究內容上具有較多的相似之處，而無論哪種類型的問題都已經被進行了廣泛的研究［1－4］．經典的 SIR模型最早由 K．L．Cooke提出［5］，其中S、I、R分別代表易感者、染病者和移出者．隨后，在此基礎上各種變形和衍生的模型諸如SIS、SIRS、SEIR、SEIRS等被許多學者進行了大量的研究［6－14］．

而許多疾病都有一定的潛伏期，例如患登革熱病后3～14 d才有癥狀，禽流感的潛伏期一般在7 d以內，流行性腮腺炎為14～21 d，狂犬病潛伏期短則10～15 d，長則一年甚至更長，而肺癌的潛伏期則長達10～20 a．對于這些疾病，當前時刻的傳染強弱往往和某個時間段τ之前有關，這里的τ是對潛伏期的簡單化處理．但實際情況是并非所有的被感染者在經過τ之后仍然存活，即有一部分被感染者可能會在潛伏期間由于疾病或疾病以外原因引起死亡，這類種群比例不能包含進易感者向染病者的傳播比例中，因此引入存活系數e－μτ∈(0，1］就顯得很有必要．

本文研究了一類考慮存活率的時滯SIR類型的傳染病模型，首先計算得到系統的2個平衡點，利用Jacobian矩陣得到2個平衡點局部穩定的條件，并同時得到疾病傳播的基本再生數表達式;其次得到了系統的病態平衡點由穩定變為不穩定的條件，進一步得到系統產生Hopf分支的具體條件;最后，利用Simulink仿真驗證了所得結論．

1 系統描述

考慮如下傳染病模型

這里所有參數均為正數，其中，τ、β、Λ分別代表潛伏期、平均單位接觸率、治愈率，η代表外界進入系統的比例并且假設剛進入時均為易感者，μi(i=1，2，3)分別代表S(t)、I(t)、R(t)的自然死亡率，e－μτ為被感染者經過潛伏期后的存活率．E．Beretta等［11］研究了不考慮存活率的情況，R．Xu等［6］在Berreta的基礎上加入了出生率并對持久性作了研究，J．M．Tchuenche等［15］研究了系統(1)的平衡點的局部和全局穩定性以及一致存在性，并研究了系統失去免疫時系統的變化．本文利用Jacobian矩陣更細致地研究了平衡點的局部性質，并討論了系統病態平衡點由穩定變為不穩定時產生Hopf分支的情況．

容易知道系統(1)有無病平衡點和病態平衡點分別記為E0、E1，具體形式為對于系統(1)，J．M．Tchuenche等［15］利用比較判別法和分析方法定性的討論了其局部穩定性，并通過構造Lyapunov函數討論了其全局穩定性．本文利用特征方法討論了平衡點的局部穩定性，并著重討論了其計算其Jacobian矩陣為

其對應的特征方程表達式為

2 無病平衡點E0的局部性質

首先討論平衡點E0的局部性質，將E0的具體形式代入(2)式中，得到3個特征根分別為λ1=－μ3，λ2= －μ1和λ3，其中λ3由方程

確定，即是直線 g1(λ)=λ和曲線 g2(λ)=βe－μτ的交點．對于 g (λ)，易知 g (+22∞)=－μ2－Λ＜0，因此由分析性質可知，特征值λ3一定存在，且其正負號由g2(0)的正負號決定．

J．M．Tchuenche等［15］利用反證法證明了 λ3的實部不可能非負，由此得到了當R0＜1時，無病平衡點E0是局部穩定的結論．本文說明了當無病平衡點E0存在時，λ3更具體的取值為實數而非復數，并給出了λ3符號與R0－1符號的具體關系．

定理1 對于系統(1)的無病平衡點E0，其局部穩定性由g2(0)的符號決定，具體為:

1)當g2(0)＞0時，E0是不穩定的;

2)當g2(0)＜0時，E0是穩定的;

3)當g2(0)=0時，E0的穩定性不能確定．

證明 由于g1(λ)為單調增函數，g2(λ)為單調減函數，且g1(－∞)=－∞，g1(+∞)=+∞，g2(－∞)=+∞，g2(+∞)=－μ2－Λ＜0，因此由方程根的存在定理知g1(λ)和g2(λ)一定有唯一的交點，且其交點的正負性由g2(0)的符號唯一確定．當g2(0)＞0時，有唯一正交點，所以平衡點E0對應的3個特征根符號分別為λ1＜0，λ2＜0，λ3＞0，即E0為不穩定的鞍點;當g2(0)＜0時，有唯一負交點，所以平衡點E0對應的3個特征根符號分別為λ1＜0，λ2＜0，λ3＜0，即E0為穩定的平衡點;當g2(0)=0時，λ3=0，此時尚需要對系統做進一步分析方可做出判斷．證畢．

需要注意到，g2(0)=0對應形式為=1，記

則定理結論變為R0＞1時，E0是不穩定的;R0＜1時，E0是穩定的;R0=1時，E0穩定性不能確定，而這里的R0正是文章中的基本再生數的表達式．即當R0＞1時，疾病得以傳播，因此無病平衡點將不會存在(不穩定);當R0＜1時，病癥不會擴散并趨于消失，因此只剩余易感者(無病平衡點是穩定的)．

3 病態平衡點 E1的局部性質和系統的Hopf分支

對于病態平衡點E1，由方程(2)知系統(1)始終有一負特征根λ1=－μ3，因此平衡點E1的穩定性由剩余2個特征根的符號進行判斷．令(2)式等于0，將(2)式中方括號內表達式重新寫為

這里，L1=βe－μτ，L2=μ1+μ2+Λ，L3=μ1μ2+μ1Λ，為病態平衡點E1的第一、二分量形式．

取τ=0代入(3)式，并注意到此時L1=β，珔S=，則(3)式變為一元二次方程

經過計算得

1121＞μ1μ2．故當E1存在時，b＞0，同時a＞0恒成立，所以(4)式有2個負的特征根．

定理2 當R0＞1時，E1存在，并且當τ=0時E1為穩定的平衡點．

證明 因為e－μτ＜1，所以當R0＞1時，有βη＞μμ+μΛ，即＞0，故E存在．由上述分1211析得a，b＞0，所以在τ=0時E1是穩定的．證畢．

接下來討論系統(1)發生Hopf分支的情形，令λ=iω代入方程(3)中，并利用歐拉公式 e－iωτ= cos ωτ－i sin ωτ并分離實虛部得

方程組(5)兩式取平方求和得

這里，Q1=L1μ2+L1Λ+L3，Q2=L1+L2，L1=βe－μτ，L2=μ1+μ2+Λ，L3=μ1μ2+μ1Λ．關于方程(6)的根的存在性和系統(1)的Hopf分支有以下結論．

引理1 當(2L1+3μ1)(μ2+Λ)＜βη時，方程(6)至少有一正根ω0．

證明 當(2L1+3μ1)(μ2+Λ)＜βη時，所以病態平衡點E1存在．方程(6)的二次冪系數為，將Q1、Q2、L2的具體表達式代入得到其符號為正．具體過程如下:

將常數項改寫為

經過代換

所以當h2＜0時，h1*h2＜0，所以方程(6)恰好有一個正根．證畢．定理3 若且(2L1+ 3μ1)(μ2+Λ)＜L1η成立，則系統(1)在E1處當τ =τ0時發生Hopf分支．

證明 由引理1知，當(2L1+3μ1)(μ2+Λ)＜L1η時，E1存在且方程(6)至少有一正根記為 ω0，將方程(5)變形為對此方程進行求解，得到對應λ=iω0的參數τ0n的具體表達式為

由引理1和定理2知，當τ=0時系統(1)的病態平衡點E1為局部穩定的．由Butler引理［16］知，當τ＜τ0時，E1仍然是穩定的，這里τ0是τ0n中當n=0時的表達式．

接下來說明當定理的條件滿足時有

則由Hopf分支產生的條件［17］可知，(1)式在平衡

點E1處當ω=ω0，τ=τ0時會產生相應的周期解．

方程(5)關于τ求導，得到

即

而

而

式成立，因此橫截條件成立，所以系統(1)在ω= ω0，τ=τ0時發生Hopf分支．證畢．

4 系統仿真

由于系統中某些項含有常時滯項，因此對于得到關于系統(1)的結論可以使用Matlab或XPPaut進行驗證，在這里采用的工具是Matlab所含仿真軟件Simulink．因為除了常時滯項，Simulink對于變時滯微分方程組也有很好的處理結果．

為了說明E0的局部穩定性，選取參數為β= 0．005，η=0．2，Λ=0．061，μ=0．003 7，μ1=0．35，μ2=0．043，μ3=0．04，τ=12，使得R0=0．026 3＜1，此時E為局部穩定的，且=0．571 4，

0I(t)，R(t)→0，具體情況見圖1．為了說明E1的局部穩定性，選取參數為 Λ=0．023，η=0．14，β= 0．08，μ=0．01，μ1=0．005 6，μ2=0．09，μ3=0．02，τ =10，使得R0=1．601 5＞1，此時E1為局部穩定的，具體情況見圖2．為了說明系統在E1處當τ= τ0，ω=ω0處發生Hopf分支，選取參數β=0．2，η= 0．34，Λ=0．023，μ=0．001，μ1=0．056，μ2=0．009，μ3=0．02，滿足文中定理3的條件，此時對應的τ= 3．737 4，具體情況見圖3．

5 結論

本文考慮了一類含有時滯和存活率的變種群傳染病模型的局部性質和Hopf分支發生的情況，著重討論了系統發生Hopf分支的條件并利用仿真驗證了所得結論．對于無病平衡點E0和病態平衡點E1在滿足文中定理的前提下，不僅僅是局部穩定的，利用Lyapunov函數方法更可以證明其是全局穩定的，另外系統(1)還具有一致存在性等多數生態系統的常有性質，具體可以查閱文獻［15］，在其中同時考慮了當系統失去免疫時的一些相應結論．需要說明的是本文中的定理3所得條件為充分條件，其在很大程度上應該可以弱化，但由于表達式的復雜和規律的隱蔽，沒有找到更簡潔的形式．

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Stability and Hopf Bifurcation for an Epidemic Disease Model with Time Delay

LI Yanan1， FENG Guangqing1， WANG Yuguang2

(1．Wanfang Institute of Science and Technology，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454000，Henan; 2．School of Mathematics and Computer Science，Ningxia University，Yinchuan 750021，Ningxia)

The stability and Hopf bifurcation of a SIR disease model with survival probability and time delay are analysed．The conditions of the existence and local stability of disease-free and endemic equilibrium are investigated．It is proved that there are stability switches，and Hopf bifurcation occurs for endemic equilibrium when the time delay τ passed through a sequence of critical values．The conclusions are verified by Simulink．

the basic reproductive number;stability;Hopf bifurcation;Lyapunov functional

TP273

A

1001－8395(2016)05－0649－06

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．006

(編輯 周 俊)

2015－05－26

國家自然科學基金(11305048)和河南省重點科研項目(17B110004)

*通信作者簡介:王玉光(1983—)，男，講師，主要從事生物數學的研究，E－mail:270238001@qq．com

2010 MSC:34H05;37H10