巧用向量結論妙解最值問題

◇　江西　曾　敏

巧用向量結論妙解最值問題

◇江西曾敏

平面向量數量積是高考的重、難點．教學中筆者發現結合平面向量數量積的一個關系式,再利用向量加、減法的三角形法則,可得到如下結論.

圖1

結論在△ABC中,M為BC的中點,則

利用上面的結論解決向量最值問題時,往往會收到事半功倍的效果．

圖2

依題意,可構造矩形AB1PB2(如圖2),連接AP與B1B2交于點M.利用平面向量結論易知:在△OAP中,

在△OB1B2中,

圖3

2(|PA|2+|PB|2)=|AB|2+4|PO|2,

因為|OC|-r≤|PO|≤|OC|+r，所以|PO|∈[3,7].所以當 |PO|=3時,

圖4

當P在正方體頂點時,

向量中的最值與范圍問題是向量的一大亮點,解決好此類問題,不僅可以提高學生分析問題和解決問題的能力,而且可以提高數學應用能力和綜合能力．

(作者單位：江西師大附中)