災難性測光紅移對重子聲波振蕩和弱引力透鏡限制暗能量狀態方程參數的影響

高鵬遠

(1. 中國科學院國家天文臺，北京　100012；2. 中國科學院大學，北京　100049)

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災難性測光紅移對重子聲波振蕩和弱引力透鏡限制暗能量狀態方程參數的影響

高鵬遠1,2

(1. 中國科學院國家天文臺，北京100012；2. 中國科學院大學，北京100049)

摘要：研究了存在災難性測光紅移誤差時重子聲波振蕩(Baryon Acoustic Oscillations, BAO)和弱引力透鏡( Weak Lensing, WL)的互補效應，以及災難性測光紅移誤差對限制暗能量狀態方程參數的影響。針對類大口徑全天巡視望遠鏡(Large Synoptic Survey Telescope, LSST)的巡天項目，建構了在z-zph面左上角(UL)和右下角(BR)局域性分布的災難性測光紅移誤差模型，并分別針對左上角和右下角的災難性測光紅移，利用費舍爾矩陣(Fisher Matrix)分別估計它們對重子聲波振蕩、弱引力透鏡和聯合重子聲波振蕩+弱引力透鏡(BAO+WL)限制暗能量狀態方程參數的影響。若擬合模型沒有包括實際存在的災難性測光紅移誤差，則左上角和右下角的災難性測光紅移造成的偏差并非總是同號的。重子聲波振蕩受災難性測光紅移誤差的影響最小，對于總比例為Ft=0.02的災難性測光紅移，最大的影響也只是左上角和右下角兩部分對w0造成的偏差，相對偏差約為30%。但在對弱引力透鏡和聯合重子聲波振蕩+弱引力透鏡的影響上，通常都有幾倍的偏差，因此災難性測光紅移誤差的影響不可忽略。另外，關于弱引力透鏡對w0的限制，左上角和右下角造成的偏差大小幾乎相等，但符號相反，從而導致總體影響反而變得很小。當擬合模型包括災難性測光紅移誤差在內后，雖然測光紅移誤差分布模型多了45個自由度，但在同樣大小的訓練集的情況下，重子聲波振蕩和弱引力透鏡的互補效應仍然很強。在此條件下，暗能量狀態方程參數的誤差并沒有太大的增加。特別是重子聲波振蕩的限制結果增加量少于1%。弱引力透鏡對w0和wa的限制誤差分別增加了14%左右(UL+BR)和6%左右(UL+BR)，而聯合重子聲波振蕩+弱引力透鏡對w0和wa的限制誤差都只增加5%左右(UL+BR)。

關鍵詞：宇宙學；大尺度結構；引力透鏡；星系巡天；暗能量

弱引力透鏡被認為是探測暗能量的一種強有力的工具，它通過探測遙遠星系圖像的切變來研究暗能量的性質及其他宇宙學參數。很多大型巡天望遠鏡(如LSST*http://www.lsst.org/lsst/、EUCLID*http://sci.esa.int/euclid、WFIRST*http://wfirst.gsfc.nasa.gov/)把弱引力透鏡作為探測暗能量的重要手段。由于弱引力透鏡的信號極其微弱，為了提取有用信息，未來的大型弱引力透鏡項目需要探測大量的星系紅移樣本，以至于探測全部樣本的光譜紅移在時間上是不可能的。因此，必須用多色測光的方法估計紅移，而測光紅移通過多波段成像，利用經驗公式[1-2]、能譜分布(Spectral Energy Distribution, SED)模板擬合[3]、人工神經網絡[4]等方法估計紅移。對宇宙學有用的是星系的紅移分布，而不是每個星系的紅移。通過抽樣測量星系的真實紅移或者利用宇宙學方法可以校正測光紅移誤差分布[5-8]。但是紅移分布的不確定性不可避免地傳遞到暗能量狀態方程參數及其他宇宙學參數上[9-10]。研究表明，若所有在真實紅移區間為0.1的星系的測光紅移誤差分布都可用一個平均值在真實紅移附近的高斯分布近似，則需要104到105的光譜紅移校正，才使得暗能量的誤差放大限制在1.5倍以內[9]。其次，由于星系能譜分布中的譜線特征信息混淆或者波段缺乏特征信息，導致估計的測光紅移對真實紅移出現較大的偏離*Yee H K C. Photometric redshift techniques: reliability and applications，即所謂災難性測光紅移。特別是紅移約小于1的星系能譜分布中的巴爾莫跳變(Balmer break)和紅移約大于2的星系能譜分布中的拉曼跳變(Lyman break)的混淆導致局域性的災難性測光紅移[11]。災難性測光紅移的存在使弱引力透鏡對暗能量狀態方程參數的估計產生偏差[11-13]。對于災難性的測光紅移，可以通過剔除一些災難性紅移可能性較大的樣本，從而在一定程度上減少災難性紅移導致的系統誤差的同時又不會過多地增加因減少樣本而導致的統計誤差[13-14]。

星系功率譜(或星系關聯函數)中的重子聲波振蕩包含了在最后散射截面的聲波視界(標準尺)的信息。利用標準尺可以測量哈勃參數-紅移關系及角直徑距離-紅移的關系[15]。在多色成像巡天中，僅靠重子聲波振蕩測量的多個紅移處的角直徑距離對暗能量狀態方程參數的限制有較大的簡并性[16]。此外，由于星系偏袒因子的不確定性，使得難以從星系角功率譜中抽取更多的信息[17-18]。

由于重子聲波振蕩和弱引力透鏡的互補效應，當把星系與弱引力透鏡的交叉功率譜也考慮進來時，在沒有災難性測光紅移的情況下，一方面弱引力透鏡可以幫助校正星系偏袒因子，另一方面不同的測光紅移區間的星系交叉角功率譜對測光紅移的誤差分布非常敏感，從而對測光紅移誤差分布參數具有很強的自校正作用，聯合重子聲波振蕩和弱引力透鏡也能使測光紅移偏差δz得到更強的限制[19]。

本文研究由于存在局域性的災難性測光紅移但沒有把它們納入擬合的模型而導致暗能量狀態方程參數在重子聲波振蕩和弱引力透鏡單獨以及聯合限制下的估計偏差。然后探討把災難性測光紅移納入擬合模型后重子聲波振蕩和弱引力透鏡的互補效應和對暗能量狀態方程參數的限制能力。

本文第1節主要介紹星系功率譜和弱引力透鏡功率譜，包括局域性的災難性測光紅移在內的測光紅移誤差分布的模型，以及誤差估計的方法——費舍爾矩陣；第2節給出本研究的預測結果；第3節是本文的結論。

1方法

1.1觀測量：功率譜

以星系的角功率譜、弱引力透鏡的角功率譜以及它們的交叉功率譜作為觀測量。在林伯(Limber)近似[20-21]下，星系和弱引力透鏡的角功率譜可以寫為[19]

(1)

(2)

(3)

本文用CAMB[22-23]輸出不同紅移處的非線性物質功率譜(基于Halofit模型[24]的修正[25])，具體使用參考CAMB主頁*http://camb.info。

1.2模型與巡天屬性

模型參數包括10個宇宙學參數，31個星系偏袒因子，60個測光紅移誤差分布參數。當把災難性測光紅移加入擬合模型時，會增加45個災難性測光紅移誤差分布參數。

1.2.1模型

在沒有災難性測光紅移的情況下，每一個測光紅移區間的真實紅移分布用高斯函數描述。如果存在災難性測光紅移，則可相應多加一個高斯函數描述災難性測光紅移的真實紅移分布。

假設巡天的測光紅移分布是n(zph)，對測光紅移空間平均分成N個區間，在沒有災難性測光紅移的情況下，第i個區間星系的真實紅移分布可用高斯分布近似：

(4)

其中，zcore,i、σcore,i分別是第i個區間的平均紅移以及該分布的標準差。

存在災難性測光紅移的情況下，任意區間的真實紅移分布可用兩個高斯分布的疊加近似，分別用于描述核心(真實紅移附近)部分和災難性測光紅移部分的真實紅移分布：

(5)

(6)

其中，zcat,i、σcat,i分別是該分布的平均值和標準差。

參照[9, 19]，把測光紅移為0到3的區間均勻分成30個子區間，即N=30，每個子區間寬為0.1。

zcore,i和σcore,i的基準值?。?/p>

(7)

(8)

i值取0到29，即每個區間的中心值作為該區間的星系真實紅移分布的平均值。把這30個區間作為重子聲波振蕩的區間(0-29)，然后每5個區間合并成一個區間作為弱引力透鏡區間，即共有6個弱引力透鏡區間(0-5)。弱引力透鏡區間的星系分布和數目可以通過組成它們的重子聲波振蕩區間的星系分布和數目得到。描述核心部分的真實紅移分布的參數為30 × 2=60個。

圖1災難性測光紅移誤差分布示意圖。測光紅移從0到3分成30個區間，災難性測光紅移分布在右下角(分布在前5個區間)和左上角(分布在最后10個區間)。矩形的半寬表示災難性測光紅移分布的標準差

Fig.1Schematic diagram of the catastrophic photo-z error distribution. The Photo-z space is divided into 30 bins from 0 to 3. The catastrophic photo-z is distributed at the bottom-right (0th-4thbin) and the upper-left (20th-29thbin) of thez-zphplane

參照文[19]的方法，在真實紅移為0到3分成30個區間，每個節點對應一個星系偏袒因子參數，共31個，其他紅移上的偏袒因子通過線性插值得到。星系偏袒因子的基準值隨真實紅移的變化關系為b=1+0.84z[26]。

假設每個重子聲波振蕩區間用ntr個光譜紅移校正。測光紅移模型中參數的先驗誤差與ntr的關系為[13]

(9)

(10)

(11)

(12)

本文取ntr=400，Δlnfi=100%。星系偏袒因子先驗誤差取Δlnb=15%。

1.2.2巡天屬性

本文依據大口徑全天巡視望遠鏡的巡天能力設定巡天參數。取星系的測光紅移分布為

(13)

取z0=0.5，巡天面積取area=20 000 deg2，星系的面密度取NA=50 arcmin-2。

參照[28]，本文取

(14)

其中，zi為弱引力透鏡區間中心值。

1.3費舍爾矩陣(Fisher Matrix)

用Nb和Nw分別表示重子聲波振蕩區間的數目和弱引力透鏡區間的數目，用Nbw表示它們的數目之和，即Nbw=Nb+Nw=36。

(15)

(16)

(17)

C是觀測量O的協方差矩陣；C-1是C的逆矩陣。在觀測量樣本為高斯分布的情況下，C的元素是

(18)

其中，u=m(m+1)/2+n；v=r(r+1)/2+s；fsky是巡天的天球覆蓋比例。

假設觀測量存在系統誤差，則擬合的參數會出現偏離，可以用費舍爾矩陣估計系統誤差給參數帶來的偏差{δpα}[10,13,30]：

(19)

其中，ΔOu是由于系統誤差給觀測量Ou帶來的偏差，下標遵循愛因斯坦求和約定。

2預測

2.1由災難性測光紅移導致的暗能量狀態方程參數的系統偏差

表2是沒有災難性測光紅移誤差時對暗能量狀態方程參數的限制情況以及由Ft=0.02的災難性測光紅移誤差導致的暗能量狀態方程參數的偏差。其中，σ(p)是沒有災難性測光紅移誤差時的限制情況；δp是災難性測光紅移導致的偏差；δp/σ(p)即兩者比值。δp和δp/σ(p)下分別有3列，分別對應于圖1中左上角出現的災難性測光紅移，右下角出現的災難性測光紅移和左上角+右下角出現的災難性測光紅移的情況。注意Ft是指包括左上角出現的災難性測光紅移和右下角出現的災難性測光紅移在內的總比值，當只有左上角出現的災難性測光紅移或右下角出現的災難性測光紅移誤差時，相應的fi仍然滿足fi=3.65Ft。

從表2和圖2可以看出，左上角出現的災難性測光紅移和右下角出現的災難性測光紅移的影響有些是正負反號的(重子聲波振蕩對wa，弱引力透鏡對w0，重子聲波振蕩+弱引力透鏡對w0)，特別在弱引力透鏡限制w0的影響上，左上角出現的災難性測光紅移和右下角出現的災難性測光紅移造成的偏差大小幾乎相等，但符號卻相反，從而導致總體的影響反而變得很小。重子聲波振蕩受災難性測光紅移誤差的影響最小(見表2和圖2)，對于Ft=0.02，最大的影響是左上角和右下角出現的災難性測光紅移兩部分對w0的偏差(相對偏差為31%，見表2)。

a) include UL only; b) include BR only; c)include UL+BR

圖2δ(w0)/σ(w0)以及δ(wa)/σ(wa)隨Ft的變化。左邊3幅圖從上到下分別是圖1中左上角、右下角以及這兩部分災難性測光紅移誤差對w0造成的相對偏差。右邊3幅圖同左，但是對wa造成的相對偏差

Fig.2The variations ofδ(w0)/σ(w0) andδ(wa)/σ(wa) withFt. The three panels on the left are the impact of the upper-left (UL), bottom-right (BR) and both the two parts (UL+BR) catastrophic photo-z in Fig.1 onw0. The right panels are the same as the left but for impact onwa

災難性測光紅移誤差對重子聲波振蕩的影響相對弱引力透鏡較小的原因是由于弱引力透鏡的窗函數比重子聲波振蕩的要寬得多，尤其對于紅移較遠的區間更甚。因此弱引力透鏡窗函數比重子聲波振蕩受災難性測光紅移誤差的影響更明顯，從而直接導致弱引力透鏡的功率譜比重子聲波振蕩受災難性測光紅移誤差的影響更明顯。

2.2把災難性測光紅移的誤差分布加入擬合模型中時暗能量狀態方程參數的限制情況

在沒有災難性測光紅移誤差的情況下，由于弱引力透鏡不受星系偏袒因子的影響，聯合重子聲波振蕩可以有效地提高對星系偏袒因子的限制能力[19]。讓測光紅移誤差模型包括災難性測光紅移誤差，結果發現，對于Ft=0.02，在測光紅移誤差模型添加了15 × 3=45個自由度后，星系偏袒因子b，測光紅移區間的核心部分的星系真實紅移分布的平均值zcore,i和標準差σcore,i的限制情況與沒有災難性測光紅移誤差的情況并沒有實質性的差別。圖3比較這種情況下與沒有災難性測光紅移誤差時b、zcore,i和σcore,i的限制情況。重子聲波振蕩和聯合重子聲波振蕩+弱引力透鏡對b的限制受災難性測光紅移誤差的影響主要出現在相應區間附近(即z<0.5和z>2)，而中間沒有災難性測光紅移誤差的區域則不受影響?？傮w來說，聯合重子聲波振蕩和弱引力透鏡仍然使星系偏袒因子得到比單獨重子聲波振蕩更強的限制。另外，重子聲波振蕩和聯合重子聲波振蕩+弱引力透鏡對zcore,i和σcore,i的限制幾乎沒有變化。綜上所述，在加入Ft=0.02的災難性測光紅移誤差的情況下，重子聲波振蕩和弱引力透鏡仍然具有很強的互補效應。

表3列出了加入災難性測光紅移誤差到測光紅移誤差分布模型中之后的暗能量狀態方程參數的限制情況，并與沒有災難性測光紅移誤差時的結果做了比較。在加入Ft=0.02的災難性測光紅移誤差后，總體來看，暗能量狀態方程參數的誤差并沒有太大的增加。特別是重子聲波振蕩的限制結果增加量少于1%。弱引力透鏡對w0和wa的限制誤差分別增加了14%左右(UL+BR)和6%左右(UL+BR)。而聯合重子聲波振蕩+弱引力透鏡對w0和wa的限制誤差都只增加了5%左右(UL+BR)。

3總結及討論

本文建構了在z-zph面左上角和右下角局域性分布的災難性測光紅移誤差分布模型。計算了由于不知道災難性測光紅移誤差的存在(Ft=0.02)導致的重子聲波振蕩、弱引力透鏡以及聯合重子聲波振蕩+弱引力透鏡限制暗能量狀態方程參數時的系統偏差，并分別考察左上角和右下角部分的測光紅移誤差造成的影響。結果發現，左上角和右下角造成的偏差有些是正負反號的(重子聲波振蕩對wa，弱引力透鏡對w0，聯合重子聲波振蕩+弱引力透鏡對w0)，特別在對弱引力透鏡限制w0的影響上，左上角和右下角造成的偏差大小幾乎相等，但符號卻相反，從而導致總體的影響反而變得很小。重子聲波振蕩受災難性測光紅移誤差的影響最小，對于Ft=0.02，對重子聲波振蕩最大的影響是左上角+右下角兩部分對w0造成的偏差(31%)。最后把Ft=0.02的災難性測光紅移誤差加入測光紅移誤差模型中，計算增加45個自由度后對星系偏袒因子、測光紅移誤差參數以及暗能量狀態方程參數的限制。結果在加入Ft=0.02的災難性測光紅移誤差的情況下，重子聲波振蕩和弱引力透鏡仍然具有很強的互補效應。重子聲波振蕩和聯合重子聲波振蕩+弱引力透鏡對星系偏袒因子的限制受災難性測光紅移誤差的影響主要出現在相應有災難性測光紅移誤差的區間附近(即z<0.5和z>2)，而中間沒有災難性測光紅移誤差的區域則幾乎不受影響?？傮w來說，聯合重子聲波振蕩和弱引力透鏡仍然使星系偏袒因子得到比單獨重子聲波振蕩更強的限制。另外，重子聲波振蕩和聯合重子聲波振蕩+弱引力透鏡對zcore,i和σcore,i的限制幾乎沒有變化。至于對暗能量狀態方程參數限制的影響，在把Ft=0.02的災難性測光紅移誤差加入擬合模型后，暗能量狀態方程參數的誤差并沒有太大的增加。特別是重子聲波振蕩的限制結果增加量少于1%。弱引力透鏡對w0和wa的限制誤差分別增加了14%左右(UL+BR)和6%左右(UL+BR)，而聯合重子聲波振蕩+弱引力透鏡對w0和wa的限制誤差都只增加了5%左右(UL+BR)。

表3加入災難性測光紅移(Ft=0.02)到擬合模型中后暗能量狀態方程參數的限制結果

Table 3Constrains of dark energy EOS parameters after adding the catastrophic

photo-z error (Ft=0.02) to the fitting model

致謝：感謝國家天文臺詹虎研究員在研究過程中給予的寶貴意見和指導。感謝孫磊、許優華、王喬在此過程中非常有益的討論和幫助。

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CN 53-1189/PISSN 1672-7673

Impact of the Catastrophic Photo-z Error on the Dark Energy Equation of State Parameters by the Method of Baryon Acoustic Oscillations and Weak Lensing

Gao Pengyuan1,2

(1. National Astronomical Observatories, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100012, China, Email: pygao@nao.cas.cn;2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

Key words:Cosmology; Large scale structure; Surveys of galaxies; Gravitational lensing; Dark energy

Abstract:The impact of the catastrophic photo-z errors on the constraints of dark energy equation of state (EOS) parameters and the complementarity of baryon acoustic oscillations (BAO) and weak lensing (WL) is studied in this paper. Targeting LSST (Large Synoptic Survey Telescope)-like survey projects, we construct a localized catastrophic photo-z error distribution in the upper-left (UL) and bottom-right (BR) of thez-zphplane. For the two parts of the catastrophic distribution, we use Fisher matrix to forecast the impact on dark energy EOS parameter constraints by the methods of BAO, WL and joint BAO and WL (BAO+WL). If the existing catastrophic photo-z errors are not included in the fitting model, systematic biases on EOS parameters could be presented. The constraints from UL and BR do not always have the same sign. BAO suffers the least from catastrophic photo-z errors. For total fraction of catastrophic outliersFt=0.02, the biggest bias is onw0for BAO (UL+BR) which is about 30% statistical error. But for WL or BAO+WL, biases are always several times the statistical errors, which shows that theFt=0.02 catastrophic photo-z errors can not be ignored. Moreover, the impacts of UL and BR onw0for WL are almost the same magnitude but different signs, which reduces the total impact. With theFt=0.02 catastrophic photo-z errors included in the fitting model, the complementarity of BAO and WL is still very strong even though 45 degree of freedom are added into the photo-z error distribution model. Under this condition, the errors of EOS parameters do not increase much. In particular, the errors of EOS parameter from BAO increase by less than one percent compared to that without catastrophic photo-z errors. The errors ofw0andwafrom WL increase by approximately 14 percent (UL+BR) and 6 percent (UL+BR), respectively. For BAO+WL, the errors ofw0andwaboth increase about 5 percent (UL+BR).

基金項目：國家自然科學基金 (11033005) 資助.

收稿日期：2015-04-28；

修訂日期：2015-07-11

作者簡介：高鵬遠，男，碩士. 研究方向：宇宙學. Email: pygao@nao.cas.cn

中圖分類號：P159

文獻標識碼：A

文章編號:1672-7673(2016)01-0001-10