薄壁圓柱殼的高階模態振動特性研究*

王宇羅忠李昌劉 健

（1.遼寧科技大學機械工程學院，鞍山 114051）（2.東北大學機械工程學院，沈陽 110819）

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薄壁圓柱殼的高階模態振動特性研究*

王宇1?羅忠2李昌1劉 健1

（1.遼寧科技大學機械工程學院，鞍山 114051）（2.東北大學機械工程學院，沈陽 110819）

摘要采用解析法研究了不同邊界條件下薄壁圓柱殼的高階模態振動特性.首先基于Love殼體理論，在簡支-簡支、固支-固支和固支-自由三種邊界條件下，通過伽遼金法建立了動力學模型，對模態特性進行求解，得到了高階固有頻率和三維模態振型，并通過文獻和有限元法進行了比較.算例結果表明，兩端簡支邊界條件下采用解析法得到的固有頻率誤差值不超過2%，當周向波數較小時固有頻率先減小后增加，在高階時的固有頻率逐漸升高，當軸向半波數增加時固有頻率明顯增大，通過解析法、文獻和有限元法得到的三維模態振型相吻合.

關鍵詞薄壁圓柱殼， 邊界條件， 高階固有頻率， 三維模態振型

2014-12-04收到第1稿，2014-12-27收到修改稿.

*國家自然科學基金資助項目（51105187）、遼寧科技大學青年基金資助項目（2014QN13）

引言

薄壁圓柱殼是指壁厚與其它最小特征尺寸之比在1/80和1/5之間的殼體［1］.薄壁圓柱殼構件在航空航天和造船等領域中應用廣泛，例如航空發動機的機匣、鼓筒和衛星外殼等，在外界復雜工況下的振動行為復雜，可能會產生高階共振、失穩和損傷等故障，對薄壁圓柱殼構件的高階振動特性進行深入研究，具有重要的應用價值.

目前，關于薄壁圓柱殼構件低階固有特性的研究較多，而許多薄壁殼體的振動疲勞問題中，主要是高階模態所對應的共振引起的，國外學者的研究成果如下：Rongong J A和Tomlinson G R［2］針對帶阻尼層的薄壁圓環，對其高節徑（即周向波數）的振動特性進行了研究. Wang C和Lai J C S［3］采用波動方法預測了有限長圓柱殼的固有頻率，但沒有考慮相應的模態振型. El-Kaabazi N和Kennedy D［4］基于Donnell、Timoshenko和Flügge理論，采用Wittrick-Williams方法研究了變厚度圓柱殼的固有特性，而對高階模態特性并不太清楚. El-Mously M［5］通過對三種殼體理論方程，僅對固有頻率進行了求解.我國學者對圓柱殼類結構的低階固有特性進行了許多研究，但是對高階固有頻率和三維模態振型的研究較少［6～9］.陳正翔和陳維衡［10］對圓柱殼中較高階周向模態振動波的頻散特性進行了研究，得到了自由振動波隨頻率變化的規律.韓清凱、王宇和李學軍［11］對圓柱殼的高階固有頻率進行了求解，但是沒有考慮模態振型的特性［11］.李暉［12］等利用實驗方法對約束態圓柱殼的模態振型進行了測試，得到了部分低階模態振型.陳麗華［13］等用哈密頓原理和Rayleigh - Ritz方法研究了簡支、自由和固定邊界條件下三階剪切變形板的固有頻率和振型.

針對薄壁圓柱殼構件，基于Love薄殼理論，在簡支-簡支、固支-固支和固支-自由三種邊界條件下，采用解析法對高階模態特性進行了求解，通過算例分析得到了其高階固有頻率和三維模態振型，并通過相關文獻和有限元法對振動特性進行了比較.

1 薄壁圓柱殼的模態特性求解

1. 1 力學模型

如圖1所示為薄壁圓柱殼模型.

在柱坐標系Oxθz中，坐標原點O為端面圓心，縱向x軸與軸線重合，徑向z軸在端面徑向上，切向θ為端面上偏離z軸初始位置的偏轉角，u、v和w表示中面上任意一點在軸向、切向和徑向的位移，L、H和R分別表示薄壁圓柱殼的長度、厚度與中面半徑.

圖1 圓柱坐標系中的薄壁圓柱殼模型Fig. 1 thin cylindrical shell in cylindrical coordinate system

1. 2 模態特性求解

薄殼理論假定應力與應變服從Hooke′s定律，各點的振動位移比厚度H小得多，基于Love殼體理論［14］采用位移u（x，θ，t）、v（x，θ，t）和w（x，θ，t）表示的動力學平衡方程為

式中，‘·’表示位移對時間的求導，ρ為材料密度，L算子的表達式為

式中，Lij（i，j =1，2，3）表示微分算子，具體表達式為

選取振動位移解的形式為

式中，m表示軸向半波數，n表示周向波數，ˉUmn、ˉVmn和ˉWmn為振型幅值系數，Tmn（t）為模態坐標，軸向振型函數φkm（x）（k = u，v，w）表示為

式中，λ1、σ1和αi（i =1，2，3，4）的數值由邊界條件確定，具體表達式如下：

（1）簡支-簡支邊界條件

（2）固支-固支邊界條件

（3）固支-自由邊界條件

周向振型函數φkn（θ）（k = u，v，w）表示為

將式（2）代入式（1），進行Galerkin離散得

對式（8）進行積分運算，得到固有頻率特征方程為

式中，cij（i，j =1，2，3）的具體表達式為

式中，

通過式（10）求解固有頻率，然后利用振型函數式（2）可得到三種邊界條件下對應的三維模態振型.

2 算例分析

利用解析法、有限元法和文獻［15］，在簡支-簡支、固定-固定和固定-自由三種邊界條件下，求解薄壁圓柱殼的m = 1～3和n = 1～25階固有頻率和三維模態振型，其材料參數和幾何參數如表1所示.利用有限元程序ANSYS進行求解時，取三維高階實體單元SOLID186，采用VROATA命令從截面繞軸旋轉生成圓柱殼模型，通過從相鄰面掃掠體的方法生成網格，共計3420個單元，19530個節點.

表1 薄壁圓柱殼的材料參數和尺寸參數Table 1 Material properties and geometric parameters of a thin cylindrical shell

（1）簡支-簡支邊界條件

在簡支-簡支邊界條件下，采用解析法、文獻和有限元法得到的各階固有頻率隨軸向半波數和周向波數變化的關系如圖2所示.由圖2（a）可知，通過三種方法求得的固有頻率隨著周向波數的變化趨勢相同，當周向波數較小時，固有頻率先減小后增大，當m = 1，n = 7時的固有頻率達到最小值2404Hz，當周向波數繼續增大時的固有頻率逐漸升高；同時，隨著軸向半波數的增加固有頻率也隨之增加，在高階m =3，n =25時的固有頻率達到最大值.由圖2（b）可知，通過解析法與文獻和有限元法的固有頻率誤差比較可知，在m =1～3，n = 1～25范圍內，固有頻率的最大誤差值均小于2%，通過文獻求得的固有頻率值稍大于解析法求得的結果，而通過有限元法求得的固有頻率值略小于解析法的頻率值，這是因為有限元法是一種近似方法，其模態分析只能針對線性結構，文獻得到的結果是基于經驗公式，而解析法的位移解是基于梁函數的假設，導致了三種方法計算誤差的存在.

圖2 簡支-簡支邊界條件下薄壁圓柱殼的固有頻率Fig. 2 Natural frequencies of thin cylindrical shell under simply supported-simply supported boundary condition

薄壁圓柱殼的三維模態振型如表2所示，由解析法和有限元法得到的三維模態振型相互吻合，在圓周方向上表現為均勻的花瓣形狀，例如在固有頻率最低的第（1，7）階三維模態振型表現為周向波數為7的花瓣形狀；由于兩端簡支的邊界條件對上下兩側邊界上節點的限制作用相同，引起殼體中部的振動幅度最大；最低階模態也是構件最容易發生共振的一階模態，并且在低階固有頻率的振動模態以周向振動為主.

表2 簡支-簡支邊界條件下薄壁圓柱殼的三維模態振型Table 2 3-D modal shapes of a thin cylindrical shell under simply supported-simply supported boundary condition

（2）固支-固支邊界條件

在固支-固支邊界條件下，薄壁圓柱殼的固有頻率變化曲線如圖3所示，三維模態振型如表3所示.可以看出，低階固有頻率先減小后增加，當m =1，n =7時的固有頻率最小值為3146Hz，高階固有頻率值隨著周向波數的增加而逐漸升高；另外，隨著軸向半波數的增大，固有頻率值也隨之增大；薄壁圓柱殼構件的三維模態振型在低階時以周向模態振動為主，在高階時出現軸向模態和周向模態的組合振型.這是因為兩端固支的邊界條件對殼體的作用，限制了邊界上各節點的全部自由度，引起中部出現最大振動位移.

圖3 固支-固支邊界條件下薄壁圓柱殼的固有頻率Fig. 3 Natural frequencies of a thin cylindrical shell under clamped-clamped boundary condition

表3 固支-固支邊界條件下薄壁圓柱殼的三維模態振型Table 3 modal shapes of a thin cylindrical shell under clamped-clamped boundary condition

表4 固支-自由邊界條件下薄壁圓柱殼的三維模態振型Table 4 3-D modal shapes of thin cylindrical shell under clamped-free boundary condition

（3）固支-自由邊界條件

在固支-自由（即懸臂）邊界條件下固有頻率隨周向波數和軸向半波數的關系曲線如圖4所示，三維模態振型圖如表4所示.可以看出，利用解析法求得的固有頻率和簡支-簡支和固支-固支兩種邊界條件所求得的結果變化趨勢相似，在低階處的固有頻率值先減小后增大，最小值出現在第（1，6）階，對應的固有頻率為1668Hz，在高階時的固有頻率隨著周向波數的增加而逐漸升高；同時，隨著軸向半波數的增大固有頻率明顯增加；如表4所示，固支-自由邊界條件下的三維模態振型主要表現為自由端周向節點的振動，即懸臂端的振動位移最大，這是因為下端是固定的，對于圓柱殼有較強的約束作用，而對于上部約束影響較小，引起固有頻率和模態振型發生相應變化；同時，固有頻率最低的（1，6）階對應的三維模態振型表現為周向波數為6的花瓣形狀，是構件在服役過程中容易發生共振和產生故障的一階模態，應當采取減振措施對振動進行預防和控制.

圖4 固支-自由邊界條件下薄壁圓柱殼的固有頻率Fig. 4 Natural frequencies of a thin cylindrical shell under clamped-free boundary condition

3 結論

在簡支-簡支、固支-固支和固支-自由三種邊界條件下，給出了求解薄壁圓柱殼高階模態特性的解析法，利用文獻和有限元法對結果進行了比較，算例結果表明：求得的固有頻率值和文獻與有限元法得到的結果變化趨勢相同，固有頻率的誤差絕對值在2%以內；當周向波數較小時的固有頻率先減小后增加，在高階時的固有頻率逐漸升高，當軸向半波數增加時固有頻率依次增大，在簡支-簡支和固支-固支邊界條件下的最低階固有頻率發生在第（1，7）階，而固支-自由邊界條件下的最低階固有頻率發生在（1，6）階，最低階模態也是構件在服役過程中最容易發生共振的一階模態；同時，通過解析法和有限元法得到的三維模態振型吻合，主要表現為周向節點的振動，并且在低階時以周向花瓣形狀的振動模態為主，在高階時出現軸向模態和周向模態的組合振型.

參 考 文 獻

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3 Wang C，Lai J C S. Prediction of natural frequencies of finite length circular cylindrical shells. Applied Acoustics，2000，59（4）：385～400

4 El-Kaabazi N，Kennedy D. Calculation of natural frequencies and vibration modes of variable thickness cylindrical shells using the Wittrick-Williams algorithm. Computers & Structures，2012，104-105（4）：4～12

5 El-Mously M. Fundamental natural frequencies of thin cylindrical shells：a comparative study. Journal of Sound and Vibration，2003，264（5）：1167～1186

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10 陳正翔，陳維衡.圓柱殼中較高階結構振動波的傳播特性.華中理工大學學報，1997，（11）：93～95（Chen Z X，Zhang W H. Dispersion characteristics of higher orderstructural vibration waves in cylindrical shells. Journal of Huazhong University of Science and Technology，1997，（11）：93～95（in Chinese））

11 韓清凱，王宇，李學軍.旋轉薄壁圓柱殼的高節徑振動特性以及篦齒結構的影響.中國科學：物理學、力學、天文學，2013，43（4）：436～458（Han Q K，Wang Y，Li X J. High nodal diameter vibration characteristics of rotating shell and the effects of its sealing teeth. Scientia Sinica Physica，Mechanica & Astronomica，2013，43（4）：436 ～458（in Chinese））

12 李暉，孫偉，許卓等.基于激光旋轉掃描的約束態薄壁圓柱殼模態振型測試新方法.振動與沖擊，2014，33 （16）：155～159（Li H，Sun W，Xu Z，et al. Experimental method of laser rotating scanning to measure mode shapes of constrained thin cylindrical shell. Journal of Vibration and Shock，2014，33（16）：155～159（in Chinese））

13 陳麗華，孫玥，張偉.三階剪切變形板的振動特性研究.動力學與控制學報，2014，12（1）：50～55（Chen L H，Sun Y，Zhang W. Study on vibration characteristic of third order shear deformation theory of plate. Journal of Dynamics and Control，2014，12（1）：50～55（in Chinese））

14 Soedel W. Vibrations of shells and plates. CRC Press，2004

15 洪杰，郭寶亭，朱梓根.高速轉動殼體行波振動實驗研究.航空動力學，1998，13（4）：390～394（Hong J，Guo B T，Zhu Z G. Experimental investigation on travelling wave vibration of high-speed rotating shell. Journal of Aerospace Power，1998，13（4）：390～394（in Chinese））

Received 04 December 2014，revised 27 December 2014.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（51105187）and Research Fund for Young Teachers of University of Science and Technology Liaoning（2014QN13）

STUDY ON VIBRATION CHARACTERISTICS OF HIGH-ORDER MODAL FOR A THIN CYLINDRICAL SHELL*

Wang Yu1?Luo Zhong2Li Chang1Liu Jian1
（1. School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Liaoning，Anshan 114051，Liaoning China）（2. School of Mechanical Engineering，Northeast University，Shenyang 110819，China）

AbstractThe vibration characteristics on a high-order modal of a thin cylindrical shell is studied in this paper by analytical method under different boundary conditions. Firstly，the shell dynamics model is established by Galerkin′s method based on Love′s shell theory under simply supported-simply supported，clamped-clamped and clamped-free boundary conditions. Secondly，the modal characteristics are solved，and the high-order natural frequencies as well as three-dimensional mode shapes are obtained. Finally，the results are compared with the data from the related literature and finite element method. The results show that the error values of natural frequencies using analytical method are less than 2%for the shell under simply supported boundary condition at both ends. The natural frequency increases after the first decrease when circumferential wave numbers are small，while it increases gradually when circumferential wave numbers are higher，but the natural frequencies increase significantly when axial half-wave numbers rise. Moreover，the three-dimensional modal shapes obtained from the analytical method，related literature and finite element method are coincident.

Key wordsthin cylindrical shell， boundary condition， high-order natural frequency， three-dimensional modal shape

DOI：10. 6052/1672-6553-2015-012

通訊作者?E-mail：wangyu435@126. com

Corresponding author?E-mail：wangyu435@126. com