細長柔性空間結構幾種動力學模型的比較*

趙國威吳志剛，2?

（1.大連理工大學工業裝備結構分析國家重點實驗室，大連 116024）（2.大連理工大學航空航天學院，大連 116024）

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細長柔性空間結構幾種動力學模型的比較*

趙國威1吳志剛1，2?

（1.大連理工大學工業裝備結構分析國家重點實驗室，大連 116024）（2.大連理工大學航空航天學院，大連 116024）

摘要對于自由-自由邊界的大型柔性梁式空間結構在軌搬運過程中，其大范圍剛體運動和柔性振動會相互耦合，是一類典型的剛柔耦合動力學問題.建立相對準確的動力學模型是設計良好控制系統的前提，但現有文獻在研究該問題時卻采用了忽略剛柔耦合作用的動力學模型并依此設計控制器，因此有必要建立耦合模型，并探討其與非耦合模型之間的區別和適用性.首先針對結構自身運動特點選擇以瞬時質心為原點的浮動坐標系作為輔助坐標系，將結構兩類不同的運動形式進行分解，并利用其產生的附加約束條件簡化虛功表達式；其次選擇Euler-Bernoulli梁變形形式描述結構變形并采用假設模態法對變形進行變量分離；基于虛功原理推導得到結構大范圍運動的剛柔耦合動力學模型；通過仿真算例1對非耦合模型、零次近似模型和一次近似模型進行了對比，驗證了非耦合模型的不合理性及零次近似簡化模型的準確性和有效性；通過仿真算例2對零次近似簡化模型和一次近似模型的對比，說明了二者的使用范圍；仿真對比為后續的運動控制系統設計和振動抑制研究提供了依據.

關鍵詞柔性空間結構， 在軌搬運， 浮動坐標系， 剛柔耦合， 自由-自由邊界

2014-04-17收到第1稿，2014-07-31收到修改稿.

*國家自然科學基金資助項目（11432010，11072044）、高等學校博士學科點專項科研基金（20110041130001）、教育部新世紀優秀人才支持計劃（NCET-11-0054）

引言

未來空間戰略發展會對空間結構提出一些新的需求，諸如應對能源枯竭的大型空間太陽能電站、有助于向宇宙深處進軍的深空探測平臺等的構建，這些結構都體積巨大，可達幾千米甚至于幾十千米，需要通過子結構在軌搬運裝配這一特殊方式來完成構造搭建［1，2］.這些子結構通常都是柔性梁式桁架結構，其軸向尺寸（幾十米甚至幾百米）遠大于其橫向尺寸（幾米），因此明顯具有質量小、體積大、頻率低等特點.桁架梁結構的在軌搬運過程是一種大范圍機動作用，很容易誘發結構的柔性振動，這樣結構剛體運動和柔性振動就會互相耦合互相影響，可見空間柔性結構在軌搬運過程是一類比較典型的剛柔耦合系統動力學問題.

此類問題早期的建模方法是獨立分析剛體運動和柔性振動，不考慮兩者的耦合作用；之后出現零次近似模型建模方法，僅簡單考慮了剛體運動和柔性振動的耦合影響. 1987年，Kane［3］通過對懸臂梁變形的詳細描述，建立了一次近似模型，最后指出了零次近似模型的缺陷，并首次提出“動力剛化”概念.之后，該問題開始引起廣大學者的廣泛關注. Canavin［4］探討和總結了柔性航天器作大范圍運動建模過程中的浮動坐標系選擇問題，概括了五種選擇方法，并詳細描述了它們各自的特點. Zeller［5］、Waszak［6］等利用平均軸坐標系（Mean Axes）建立了無約束柔性體耦合動力學模型，但僅是零次近似模型. Li［7］等分別利用平均軸坐標系和固定軸（Fixed Axes）坐標系對柔性飛行器的動力學建模問題進行了研究，通過對兩者的仿真對比，認為它們差別不大，但后者結果更精確. Li［8］等利用連體坐標系（Body-Fixed）對飛艇飛行過程進行了動力學建模和仿真，分析了空氣動力學對結構動力學特性的影響. Huang［9］等利用平均軸坐標系和傳統的零次近似描述針對變質量火箭結構飛行過程中的剛柔耦合建模問題進行了研究. Nikravesh［10 -12］探討了關于運動柔性體建模過程中浮動坐標系的選擇問題，主要針對慣性主軸（Principal Axes）、固定節點（Node-Fixed Axes）和平均軸三種坐標系所附帶的約束方程及對變形的描述等問題進行了分析說明. Shi［13］等深入研究分析了柔性Euler-Bernoulli梁的變形問題，充分考慮橫向、縱向變形之間的耦合影響，給出了精確的非線性變形描述.洪嘉振［14，15］對剛柔耦合問題進行了全面的闡述和討論，推導了一次近似模型，深入探討了“動力剛化問題”并從實驗方面進行了驗證.蔣麗忠［16，17］等針對固結在剛體上的大范圍轉動柔性懸臂梁、板的剛柔耦合建模問題、動力特性和穩定性等問題進行了研究，通過對比給出了傳統零次模型的缺陷及一次近似模型的優勢.吳勝寶［18］等針對作平面運動的懸臂梁建立了一次近似耦合模型，并針對其與零次模型之間的區別進行了探討.黎亮［19］等對作大范圍運動的懸臂功能梯度矩形薄板的剛柔耦合問題進行了研究，考慮了傳統零次模型建模方法中忽略的橫向彎曲作用對縱向變形的影響，仿真比較了兩種模型的差異.劉錦陽［20］等針對柔性梁剛柔耦合問題，基于絕對節點坐標法研究了幾何非線性和一次近似模型在大變形問題中的適用性.以上研究大部分是針對中心剛體-柔性附件結構，一般都采用局部附著坐標系（Locally Attached Frame）作為浮動坐標系，直接建立在剛體上；也有些研究是針對無約束柔性結構，但對本任務有如下一些問題：1）選擇結構端部作為浮動坐標系原點，不利于使用質心約束條件；2）平均軸坐標系附帶的約束條件太強，一般很難滿足，直接使用的做法明顯欠妥；3）采用有限元離散導致自由度數目較大，不利于后期控制系統設計.

柔性空間結構在軌搬運過程中的剛柔耦合作用，會產生兩方面的問題：一是柔性振動使得推進裝置隨之發生抖動，導致推進力方向不斷變化，從而造成燃料的過多消耗，降低了使用效率；二是受機動作用的影響，當結構機動到達期望位置時，柔性振動不能得到有效抑制，殘余振動在很長一段時間難以被消除，由于難以鎖定結構位置導致裝配機器人無法完成抓取動作，從而嚴重影響裝配工作的順利開展，極大降低工作效率.建立合理的搬運過程動力學模型，有利于對結構的殘余振動行為進行預測，這樣可以據此設計相應的柔性結構運動控制系統，達到提高燃料使用率和抑制殘余振動的目的. Boning［1］、Ishijima［2］等對空間結構在軌搬運問題進行了結構運動研究，但其研究工作均是基于非耦合動力學模型，并未針對非耦合模型和耦合模型的差別進行的探討分析，因此選擇非耦合模型是否足夠合理還是非常值得探討的，這將會對后續的運動控制系統設計起到至關重要的作用.

1 運動學描述

1. 1 浮動坐標系

細長柔性空間結構通常為桁架梁形式，理論分析中多采用連續梁模型進行處理.考慮如圖1所示系統，柔性梁作平面運動. XOY為全局慣性坐標系，xfofyf為浮動坐標系，在初始時刻兩坐標系重合.圖中實線表示柔性梁任意時刻變形位置；虛線表示該時刻假想的梁未變形時的位置. xfofyf的選擇如下：對任意時刻t，選擇梁未變形時的質心位置作為浮動坐標系原點of，該點是與梁變形后質心相重合的空間點的位置，注意它并非材料點位置，而是一個瞬時質心；ofxf與梁未變形時的軸線平行，初始向右為正；ofyf與橫向平行，初始向上為正.平面梁的密度用γ表示，橫截面積用F表示，質量用Mb表示，長度用L表示，體積用V表示，彈性模量用E表示，橫截面慣性矩用I表示.

圖1 平面梁的位移描述Fig. 1 Displacement description of planar beam

圖中各量物理意義如下：p為未變形時梁上任意一點；p*為變形后與p所對應的點；r0為浮動坐標系原點相對于慣性坐標系的位移向量，用來表征梁的大范圍平動；θ為浮動坐標系相對于慣性坐標系的旋轉角度，以逆時針為正，用來表征梁的大范圍轉動；ρ0為點p在浮動坐標系中的位置向量，在浮動坐標系下描述，是材料點坐標函數；u為p*相對于原位置p產生的變形量，在浮動坐標系下描述，是材料點坐標和時間的函數；r為p*點在全局慣性坐標系下的絕對位移向量，其表達式可寫為

上式中r0=（xbyb）T，ρ0=（x y）T，u =（u1u2）T，其中ρ0中的y在細長梁中可忽略不計，因此后文中直接以零計；A是旋轉變換矩陣，形式如下

通過式（1）對時間求導，得到p*點在全局慣性坐標系下的速度表達式

上式中，“·”表示在慣性系下對時間求導；“°”表示在浮動坐標系下對時間求導；同時有

同樣的，由式（3）對時間求導，可得到p*點的絕對加速度表達式

根據前面對浮動坐標系原點的定義，可以得到如下質心約束條件

上式在浮動坐標系下對時間求導，可以得到線動量約束條件

若將浮動坐標系原點選擇在結構端點是不具備這樣的約束條件的，約束條件式（6）和（7）對后面利用虛功原理進行動力學方程的簡化推導有著很重要的作用.

1. 2 變形描述

對于這樣的細長梁，通常采用Euler-Bernoulli柔性梁的變形理論描述，忽略橫截面的影響，可以將任意一點p的變形用與其相對應的同橫截面軸線上的點p0的變形來描述.變形的一次近似關系可表示如下

其中，u1表示p點的縱向變形位移，u2表示p點的橫向變形位移；w1表示p0點的軸向伸縮變形位移，w1r是由于橫截面轉動引起的p點相對于p0點的縱向變形位移；wc是由于橫向彎曲變形而造成的縱向伸縮量，是一個耦合項，同時也是一次近似模型和傳統零次近似模型最重要的區別；w2表示p0點的橫向彎曲變形位移；w2r是由于橫截面轉動引起的p點相對于p0點的橫向變形位移，對于細長梁而言，此項相對于w2可忽略，后面推導中不計此項.

2 剛柔耦合動力學方程

2. 1 慣性力所作虛功

選取如下廣義狀態向量

由式（1）和（8），結構的虛位移表示為

其中

結構慣性力在虛位移上所作的虛功為

上式中的單下劃線項在區間上的積分為零，這可由前面的質心約束條件和線動量約束條件很容易得到.這正是對于自由-自由梁結構，選擇瞬時質心而非結構端點作為浮動坐標系原點所帶來的優勢，為理論推導帶來了方便，簡化了后續運算.

將式（11）帶入（12），得到

由于wc本身為小量，因此上式中僅保留其一次項，如w1wc、w2wc、wc2等被忽略.

2.2 外力所作虛功

選取與狀態向量相對應的外力

其中FX、FY是合外力主矢在全局慣性坐標系中X、Y方向上的投影；Fθ是合外力關于梁結構質心的主力矩；Fw1和Fw2是分別對應縱向和橫向變形的外力主矢分量，則外力所作虛功表示為

2. 3 虛應變能

對于Euler-Bernoulli梁，不考慮剪切和扭轉，梁上任意點縱向正應變可表示為

假定梁處于線彈性范圍，將式（8）帶入并整理，僅保留軸向伸縮應變能和橫向彎曲應變能，得到

式中I為橫截面抗彎剛度，表達式為

由虛位移引起的結構應變能改變為

2. 4 分離變量

由于變形量w1和w2不僅是時間的函數，還是材料坐標的函數，屬于二元函數，只能得到偏微分形式的動力學方程，很不利于方程的求解和分析.通常需要對其進行變量分離處理：假設模態法和有限元法.有限元可以模擬各種復雜形狀和特殊邊界的結構，并且相對直觀，程式化好，但自由度數目太大，不利于后續控制系統的設計，因此這里選擇假設模態法進行變量分離.

取梁上任意點的軸向變形w1和橫向變形w2有如下分離變量形式

式中，ψ∈R1×n和φ∈R1×n分別是梁縱向振動和橫向振動的振型函數矢量，q∈Rn×1和η∈Rn×1分別對應于梁縱向振動和橫向振動的模態坐標函數矢量.對于自由-自由邊界梁，各階振型函數可取為

其中ki是chkiLcoskiL =1的第i個根

由式（19）可以得到式（11）、（15）和（18）中各變形相關量的變分為

2. 5 動力學方程

運用虛功原理

其中，δU、δWe、δWin分別是虛位移引起的結構應變能的改變、外力在虛位移上所作的虛功和慣性力在虛位移上所作的虛功.

將式（13）、（15）、（18）和（23）代入到式（24）并整理，得到自由-自由邊界柔性梁的一次近似剛柔耦合動力學模型

其中各元素的具體表達式如下

從式（25）、（26）可以看到：對于自由-自由無約束柔性梁在經歷大范圍運動過程中，其剛體平動運動并不與柔性振動發生相互耦合作用；柔性振動僅與大范圍轉動相互耦合，柔性振動的剛度項也僅與轉動速度有關而與平動無關.對上面表達式進行不同程度的簡化可得到如下四種模型：1）非耦合模型，去掉有下劃線的項可得，文獻［1，2］采用的就是該模型；2）零次近似模型，僅去除帶實線方框的項可得，“動力剛化”被提出之前采用該模型；3）零次近似簡化模型，去除零次近似模型中的軸向變形方程可得，即令w1=0；4）一次近似模型.從表達式可以看到：后三種均為耦合模型，其軸向和橫向的剛度與大范圍轉動速度有關，因此其頻率也與結構動力學中的固有頻率意義不同；隨著結構轉動角速度的增加，零次近似模型的剛度會變成負值，導致發散解，這是不符合實際的；一次近似模型由于考慮了橫向變形對縱向變形的影響，即wc項的存在，使得橫向彎曲剛度恒大于零，但其軸向剛度卻隨著轉動角速度的增加而減小，最終變成負值.

3 對比驗證

由前面的分析知道：結構橫向彎曲剛度僅與轉動速度有關，故將零次近似模型彎曲剛度為零時的轉速作為臨界轉速，分別在低轉速和臨界轉速兩種情況下，針對前面所述的幾種模型，對它們的運動軌跡進行仿真，通過對比說明它們之間的不同.仿真計算全部基于Windows 7. X64位操作系統下的大型數值計算軟件Matlab進行.根據文獻［1，2］選取如下典型的結構相關參數：梁長L = 200m，質量為Mb=600kg，均勻分布，截面尺寸為1m×1m，彈性模量E =181. 72MPa，臨界轉速為˙θ=1. 2566rad/ s.

對比1：低轉速情況.在軌搬運過程有其特殊的工作環境，一般來講，其運動速度都很小，故此情況下選擇文獻［1，2］中的非耦合模型以及本文前面介紹的零次近似簡化模型和一次近似模型進行仿真，通過結構在給定載荷作用下兩端點的運動軌跡曲線的對比，分析非耦合模型和耦合模型之間的差距，并說明哪一種模型更適合作為運動控制系統設計時的參考模型.

假設期望位置和期望時間分別用Xm、Ym、θm、Te表示，則整定軌跡如下表示

取Xm=200m、Ym=200m、θm=π/2、Te=200s，則結構左、右端點的初始位置分別為：（- 100，0）、（100，0）；在該設計載荷作用下的最終位置應分別為：（200，100）、（200，300），三種模型的仿真軌跡曲線對比如圖2～圖3.

圖2 左端點軌跡曲線Fig. 2 Trajectories of left endpoint

圖3 右端點軌跡曲線Fig. 3 Trajectories of right endpoint

圖2～圖3表示結構左、右端點到達期望位置附近的局部放大圖，選取時間間隔為195～230s.由于到達期望位置時，圖中的X方向與結構橫向彎曲方向一致，而Y方向與結構縱向振動方向一致，因此僅給出X方向位置-時間曲線（如圖（a）、（b））和X-Y方向軌跡曲線（圖（c））.圖中“Un”代表非耦合模型，“Sz”代表零次近似簡化模型，“F”代表一次近似模型.從圖（a）中可以看到：非耦合模型與零次近似簡化模型位置偏差較為明顯.從圖（b）中可以看到：零次近似簡化模型與一次近似模型的位置偏差極小，可以認為兩者一樣.從圖（c）中可以看出，非耦合模型、零次近似簡化模型和一次近似模型均能到達指定位置；但三種模型下結構端點到達期望位置后都會出現一些殘余振動，其中非耦合模型端點軌跡變化保持在199～202m，殘余振動范圍約為2～3m；零次近似簡化模型和一次近似模型結果相對比較一致，端點軌跡變化范圍保持在197m～203m，殘余振動范圍約為5～6m；非耦合模型結果明顯偏小，說明其不能準確地描述結構動力學行為.非耦合模型之所以有這樣的結果正是其沒有考慮剛柔耦合作用的影響，對模型處理得過于簡單而導致，文獻［1，2］直接采用該模型進行運動控制系統設計很明顯是不合適的，應當采用耦合模型.

剛柔耦合模型在數值計算時，會遇到“剛性”問題而降低計算效率，零次近似簡化模型由于耦合較弱，所以計算效率會遠遠高于一次近似模型，其仿真結果卻又能和一次近似模型保持一致.通過以上分析，可以知道對于在軌搬運過程這類低速運動情況下，采用零次近似簡化模型要優于非耦合模型和一次近似模型.

對比2：臨界轉速情況.從式看到零次近似模型的剛度隨著轉速增大而減小，而一次近似模型的剛度隨著轉速增大而增大，兩者有較大差異.此算例用來驗證零次近似簡化模型、零次近似模型和一次近似模型三種耦合模型在臨界轉速附近會有那些不同，對大范圍運動會造成哪些影響.

給出如下旋轉力矩，結構在其作用下角速度會從零增加至某一恒定值然后保持勻速轉動，其中fac表示恒定轉速與臨界轉速的比值.結構左端點、中間點和右端點的初始位置分別為：（- 100，0）、（0，0）、（100，0），加載至恒轉速后，中間點保持不動仍為（0，0），兩端點圍繞中間點作周期性圓周運動，其軌跡為以（0，0）為圓心，以100為半徑的圓.三種模型的仿真軌跡曲線對比如圖4～圖6.

圖4 左端點軌跡曲線Fig. 4 Trajectories of left endpoint

圖4～圖6是當fac =0.8時結構達到恒速后左端點、中間點和右端點的運動軌跡曲線.橫坐標表示X方向位置，縱坐標表示Y方向位置.圖中“Sz”代表零次近似簡化耦合模型，“Z”代表零次近似模型，“F”代表一次近似模型.可以看出，當結構轉速接近于臨界轉速時，零次近似簡化模型和零次近似模型的結果與一次近似模型的結果依然是吻合的，并且結構運動軌跡符合預期的周期性圓周運動并保持穩定，由此可見，由轉速引起的剛度變化并沒有對大范圍運動帶來明顯影響.

圖5 中間點軌跡曲線Fig. 5 Trajectories of midpoint

圖6 右端點軌跡曲線Fig. 6 Trajectories of right endpoint

圖7～圖9是當fac = 1. 2時結構達到恒速后左端點、中間點和右端點的運動軌跡曲線.橫坐標表示X方向位置，縱坐標表示Y方向位置.圖中“Sz”代表零次近似簡化耦合模型，“Z”代表零次近似模型，“F”代表一次近似模型.可以看出，當結構轉速超過臨界轉速后，零次近似簡化模型、零次近似模型運動軌跡基本保持一致，但兩者均出現了較大的波動，偏離了預期的圓周軌跡，失去周期性，變得不穩定，有發散的趨勢，不符合基本物理事實；而一次近似模型的運動軌跡與預期的圓周運動相吻合，呈現周期性和穩定性的特點，與實際情況相符.究其原因，零次近似簡化模型和零次近似模型的剛度隨著轉動角速度的增大而減小，超過臨界轉速后會變成負值，使得結構橫向彎曲振動發散，最終導致大范圍運動的失穩；而一次近似模型的剛度會隨著轉動角速度的增大而增大，這正是Kane［3］所指出的“動力剛化”現象.可見當轉速達到并超過臨界轉速的情況下，應采用一次近似模型作為系統的剛柔耦合動力學模型.當然，關于零次近似簡化模型的適用范圍的精確闡述和研究不在本文討論范圍之內.

圖7 左端點軌跡曲線Fig. 7 Trajectories of left endpoint

圖8 中間點軌跡曲線Fig. 8 Trajectories of midpoint

圖9 右端點軌跡曲線Fig. 9 Trajectories of right endpoint

4 結論

基于浮動坐標系對柔性空間結構在軌搬運過程的剛柔耦合動力學問題進行了研究，建立了自由-自由邊界細長柔性空間梁大范圍運動的幾種動力學模型，通過與文獻［1，2］中的非耦合模型及不同轉速情況下的仿真對比，可得到以下幾個結論：（1）在軌搬運過程中采用非耦合模型的結果是不準確的，依此設計運動控制系統的效果令人質疑；（2）在軌搬運過程可采用零次近似簡化模型，比非耦合模型結果更準確可靠；（3）耦合模型的剛度與大范圍平動無關，僅與大范圍轉動有關，與結構動力學意義下的剛度有本質區別；（4）一次近似模型比零次近似模型更為準確地描述了耦合效應的本質；（5）零次近似模型的適用范圍和結構轉速有關，但不能簡單的僅通過臨界轉速進行判斷.上述對比結果為細長柔性空間結構在軌裝配過程運動控制系統設計提供了依據.

參 考 文 獻

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20 劉錦陽，鄒凡，余征躍.大變形剛-柔耦合系統仿真和實驗研究.振動工程學報，2011，24（6）：646～651 （Liu J Y，Zou F，Yu Z Y. Simulation and experimental study for rigid-flexible couple dynamic system with large deformation. Journal of Vibration Engineering，2011，24 （6）：646～651（in Chinese））

Received 17 April 2014，revised 31 July 2014.

*The project supported by the National Nature Science Foundation of China（11432010，11072044）；The Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education（20110041130001）；The Program for New Century Excellent Talents in University（NCET-11-0054）

A COMPARISON OF SEVERAL DYNAMIC MODELS FOR SLENDER FLEXIBLE SPACE STRUCTURE*

Zhao Guowei1Wu Zhigang1，2?
（1. State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China）（2. School of Aeronautics and Astronautics，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China）

AbstractDynamic modeling method of on-orbit maneuvering of free-free slender flexible space structures was studied. In literature，a dynamic model without rigid-flexible coupling terms was adopted for designing motion controller. Establishing a dynamic model with relatively accuracy is the premise of obtaining a well-designed motion controller，therefore，it is necessary to establish the coupling model and find the difference between them. A floating reference frame was chosen as local reference frame，whose origin is consistent with the center of mass. The assumed mode method was used for discretizing the deformation parameter. The rigid-flexible coupling dynamic equations of structure undergoing large overall plane motion were obtained based on the virtual work principle. Through several simulation examples，the difference between uncoupling equations and coupling equations was discussed，and the results show that the uncoupling model is not accurate enough and simple zeroorder model is more accurate and effective. The analysis provides an important basis for the subsequent motion controller design and vibration attenuation.

Key wordsflexible space structure， on-orbit transportation， floating reference frame， rigid-flexible coupling， free-free boundary

DOI：10. 6052/1672-6553-2014-070

通訊作者?E-mail：wuzhg@ dlut. edu. cn

Corresponding author?E-mail：wuzhg@ dlut. edu. cn