隨機激勵的非線性Markov跳變系統的穩態響應*

宦榮華馬云雙郝琪朱位秋

（1.浙江大學應用力學研究所，杭州 310027）（2.中國南車青島四方機車車輛股份有限公司，青島 266111）

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隨機激勵的非線性Markov跳變系統的穩態響應*

宦榮華1?馬云雙2郝琪1朱位秋1

（1.浙江大學應用力學研究所，杭州 310027）（2.中國南車青島四方機車車輛股份有限公司，青島 266111）

摘要大量實際工程問題需要用同時包含連續和離散變量的Markov跳變系統來描述.本文介紹了一類隨機激勵的單自由度（強）非線性Markov跳變系統的穩態響應的研究方法.首先，基于隨機平均法導出具有Markov跳變參數的平均It?隨機微分方程，原系統方程的維數得到降低.接著，根據跳變過程原理，建立Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程組，方程組中的方程與系統的結構狀態一一對應且互相耦合.求解該FPK方程組，得到Markov跳變系統的穩態隨機響應及其統計量.最后，以一個高斯白噪聲激勵的Markov跳變Duffing振子為例，計算得到不同跳變規律下系統的穩態響應.研究結果表明，Markov跳變系統的穩態響應可以看作是各結構狀態子系統穩態響應的加權和，加權值由跳變規律決定.

關鍵詞Markov跳變， 隨機激勵， 非線性， 隨機平均法

2014-11-01收到第1稿，2015-04-01收到修改稿.

*國家自然科學基金資助項目（11372271，11432012，51175474）、“973”計劃（2011CB711105）

引言

隨著計算機、軍事、生物和工業技術的發展，經典的單結構系統理論已不能滿足實際應用的需要，而一類既能反映系統狀態變化又能反映系統結構變化的系統，即Markov跳變系統，從20世紀中葉提出以來引起人們的很大關注. Markov跳變系統是一個同時包含連續和離散變量的混合系統，離散跳變隨機過程的引入，使得系統的動力學行為更為復雜，也增加了系統動力學研究的難度.因此，Markov跳變系統動力學的研究具有重要科學意義.

Markov跳變系統最初由Krasivskii和Lidskii提出［1］，經過幾十年的發展，已經取得了一些成果［2 -3］. Markov跳變系統的穩定性理論是由Kats 和Krasovskii最先提出的［4］.隨后，M. martion［5］利用隨機Lyapunov方法分析了隨機噪聲環境下線性Markov跳變系統的均方穩定性. Fen和Fang［6，7］將傳統的Lyapunov穩定性理論拓展到隨機Markov跳變系統中，提出了隨機Lyapunov第二方法穩定性定理. Krasovskii等首先研究了Markov跳變系統的LQR問題. Sworder等［8］基于極大值原理研究了有限時間區間內的線性Markov跳躍系統的最優控制問題. Ghosh等［9］提出了Markov跳變系統控制問題的動態規劃方法.方洋旺［3］等對近20年里面隨機跳變系統在狀態估計、穩定性研究以及最優控制方面的主要理論進行了總結.然而，之前的研究多為線性系統，研究內容多局限于隨機穩定性與控制方面，對非線性Markov跳變系統的動力學研究還極少涉及.

本文主要研究了隨機激勵下非線性Markvo跳變系統的穩態響應.基于隨機平均法［10 -13］對系統進行簡化，導出了Markov跳變系統的平均It?隨機微分方程.建立并求解相應的FPK方程組，得到Markov跳變系統穩態振幅響應的概率分布，研究了跳變規律對系統穩態響應的影響規律.將理論結果與數值仿真結果進行對比，驗證了本文理論方法的準確性.

1 平均方程

考慮一類隨機激勵的單自由度（強）非線性Markov跳變系統：

式中ε為小量，g為非線性剛度；εf為帶有跳變參數的小阻尼；ε1/2hW（t）代表帶有跳變參數的弱外或參數激勵；W（t）為強度為2D的高斯白噪聲.當s （t）固定時，函數f（x，˙x，s（t））和h（x，˙x，s（t））為x的光滑函數. s（t）是一個在有限集合S =｛1，2，…，l｝內取值的連續時間離散狀態的Markov過程，s（t）代表系統結構的狀態標號，l是系統所擁有的結構狀態的數目.在小時間間隔Δt內，該Markov過程的轉移概率為

考慮獨立跳變情形，即跳變過程與系統狀態無關.假設系統始終運行在第i個結構狀態中，無跳變發生.在此情形下，簡單起見，令f（x，s（t））和h（x，s（t））簡寫為f（i）（x，˙x）和h（i）（x˙）.無跳變系統具有如下形式的解［10］

式中

其中A，Φ，τ和υ為隨機過程.運用隨機平均法［10 -12］，得到關于振幅響應A的平均It?隨機微分方程

式中B（t）為單位維納過程，擴散和漂移系數為

原跳變系統具有l個如式（6）所示的平均方程，平均后的跳變系統在這l個平均方程間跳變.因此，得到如下跳變系統的平均方程

式中m（A，s）和σ（A，s）為帶有Markov跳變參數的擴散和漂移系數，當系統運行在第i個結構狀態時，其擴散和漂移系數，即m（A，s = i）和σ（A，s = i）由方程（7）確定.

2 FPK方程

假設在很小的時間區間Δt內系統未發生跳變，則轉移概率密度函數p（A，s，t｜A′，s，t′）滿足如下FPK方程：

當在Δt內，系統發生了跳變，則此時概率密度函數p（A，s，t +Δt）為

式中條件概率密度q（A，s，t +Δt｜A′，r，t）表示t時刻和r狀態的振幅響應A′為已知的條件下，振幅A 在t +Δt時刻和s狀態的概率分布. q（A，s，t +Δt｜A′，r，t）的具體形式由實際問題的物理意義所決定.當跳變參數與系統狀態無關時，即為獨立跳變時，q（A，s，t +Δt｜A′，r，t）具有如下形式

將方程（2）和（9）代入方程（10），并令Δt→0，方程（10）變為

方程（12）即為混合隨機過程［A，s］T聯合概率密度p（A，s，t）所滿足的FPK方程.對于獨立跳變過程，利用式（11），FPK方程（12）可以簡化為

初始條件

邊界條件

式（13）是由l個方程組成的方程組（l為系統所包含的所有結構狀態數目），且這些方程通過零次方項耦合. FPK方程（13）一般難以求解，即使是數值解也難以獲得.若僅考慮穩態解，即令?p/?t =0，則方程（13）可以得到簡化.通過差分法等數值方法求解簡化后的FPK方程，可得到穩態聯合概率密度p（A，s）.則振幅的概率密度p（A）為

式中c為歸一化常數.

3 算例

考慮一個隨機激勵的跳變Duffing振子，其運動微分方程為

式中β（s）為跳變阻尼系數；h（s）為跳變外激勵系數；W（t）為強度為2D的高斯白噪聲；s為連續時間的Markov隨機過程，其轉移概率如式（2）所示.本文考慮2結構狀態情形，即有限集合S =｛1，2｝.

利用上述隨機平均法，得到如（8）式所示的平均方程，跳變擴散和漂移系數為

建立和求解簡化后的FPK方程可得到跳變系統的振幅響應的穩態概率密度p（A）.

圖1 跳變系統振幅響應的穩態概率密度Fig. 1 Stationary probabilistic density of the amplitude of jump system

圖2 振幅響應的樣本Fig. 2 Sample of amplitude

假設系統無量綱參數為：ω=1. 0，α=1. 0，D = 0. 1，β（s =1）=0. 1，β（s =2）=0. 2，h（s =1）=2. 0，h（s =2）=1. 0.圖1為不同跳變規律下跳變系統振幅響應的穩態概率密度.圖1（a）中Λ1和Λ3所代表曲線分別為系統結構狀態為s =1和s =2時的無跳變系統的穩態振幅概率密度，Λ2為跳變系統的穩態振幅概率密度，結果表明，發生跳變后系統的穩態響應相比于無跳變系統發生非常大的變化，跳變對系統的響應具有很大影響.圖1（a）中Λ2為對稱矩陣，所對應的跳變系統為對稱跳變.圖1（b）為系統發生非對稱跳變時的振幅穩態概率密度.當Λ =Λ4時，系統從結構狀態s =1跳變到s =2的概率比跳回結構狀態s =1的概率要小，即系統停留在s =1結構狀態的概率較大，因此，圖1（b）中Λ4代表的曲線更接近于曲線Λ1，而Λ5則更接近Λ3.顯然，跳變系統的響應可以看作是各結構狀態下無跳變系統響應的加權和，而加權值由跳變規律決定.不同跳變規律下系統的響應具有很大差異.圖1中實線為解析結果，符號曲線代表數值仿真結果，兩者吻合，表明了本文提出的理論方法的準確性.圖2和3分別為振幅響應A和Markov跳變參數s（t）的一段樣本.

圖3 Markov跳變參數s（t）的樣本Fig. 3 Sample of Markov jump parameter s（t）

4 結論

本文提出了一種研究隨機激勵下Markov跳變非線性系統的穩態響應的求解方法.本文的主要工作是導出了非線性Markov跳變系統的平均It?隨機微分方程，得到了相應的FPK方程組.隨機平均法的應用，降低了系統方程的維數，使得最后的FPK方程組的數值求解成為可能. Markov跳變Duffing振子算例的計算驗證了本文提出的理論方法的有效性.

本文雖然只對單自由度Markov跳變系統的響應進行了研究，但該理論方法在多自由度Markov跳變系統的響應、穩定性與可靠性等的研究方面也具有很大潛力.

參 考 文 獻

1 Krasosvkii N N，Lidskii E A. Analytical design of controllers in systems with random attributes. Automation and Remote Control，1961，22（1）：1021～1025

2 吳森堂.結構隨機跳變系統理論及其應用.北京：科學出版社，2007（Wu S T. The theory of stochastic jump system and its application. Beijing：Science Press，2007（in Chinese））

3 方洋旺，伍友利，王洪強.結構隨機跳變系統最優控制理論.北京：國防工業出版社，2012（Fang Y W，Wu Y L，Wang H Q. Optimal control theory of stochastic jump sytem. Beijing：National Defense Industry Press. 2012（in Chinese））

4 Kats L，Krasovskii N. On the stability of systems with random parameters. Journal of Applied Mathematics and Mechanics，1960，27（5）：809～823

5 Mariton M. Almost sure and moment stability of jump linear systems. Systems & Control Letters，1988，11（5）：393～397

6 Feng X，Loparo KA，Ji Y. et al. Stochastic stability properties of jump linear systems. IEEE Trans Automate Control，1992，37（1）：38～45

7 Fang Y G. A new general sufficient condition for almost sure stability of jump linear systems. IEEE Transaction Automate Control，1997，42（3）：378～382

8 Sworder D. Feedback control of a class of linear systems with jump parameters. IEEE Trans on Automatic Control，1969，14（1）：9～14

9 Ghosh M K，Arapostathis A，Marcus S I. Ergodic control of switching diffusions. SIAM Journal on Control and Optimization，1997，35（6）：152～198

10 Xu Z，Chung Y K. Averaging method using generalized harmonic functions for strongly nonlinear oscillators. Journal of Sound and Vibration，1994，174（4）：563～576

11 Huang Z L，Zhu W Q，Suzuki Y. Stochastic averaging of strongly nonlinear oscillators under combined harmonic and white noise excitations. Journal of Sound and Vibration，2000，238（2）：233～256

12 Huang Z L，Zhu W Q. Stochastic averaging of quasi-integrable hamiltonian systems under combined harmonic and white noise excitations. International Journal of Non-Linear Mechanics，2004，39（9）：1421～1434

13 陳林聰，朱位秋.隨機擾動下簡單電力系統的可靠度反饋最大化.動力學與控制學報，2010，8（1）：19～23 （Chen L C，Zhu W Q. Feedback maximization of reliability of a simple power system under random perturbations. Journal of Dynamics and Control，2010，8（1）：19～23（in Chinese））

Received 1 November 2014，revised 1 April 2015.

*This project supported by the National Natural Science Foundation of China（11372271，11432012，51175474）；“973”program（2011CB711105）

STATIONARY RESPONSE OF STOCHASTICALLY EXCITED NONLINEAR MARKOVIAN JUMP SYSTEM*

Huan Ronghua1?Ma Yunshuang2Hao Qi1Zhu Weiqiu1
（1. Zhejiang University Institute of Applied Mechanics，Hangzhou 310027，China）（2. Sifang Rolling Stock Research Institute CO. Ltd，Qingdao 266111，China）

AbstractMany practical problems should be described by nonlinear Markov jump systems involving both continuous and discrete variables. In this paper，the stationary response of stochastically excited single-degree-of-freedom（strongly）nonlinear system with Markovian jump parameters is studied. Firstly，the averaged It？differential equation with Markovian jump is derived based on the stochastic averaging method. Then，according to the Markovian jump principle，the finite set of（Fokker-Planck-Kolmogorov）FPK equations are formulated. The FPK equations coupled with each other through the absorptive terms and reductive terms. The stationary response and its statistics of the Markovian jump system can be obtained by solving the FPK equations numerically. Finally，as an example，the responses of a Markovian jump Duffing oscillator subjected to Gaussian white noise are studied. Numerical results show that the stationary response of the jump system can be regard as a weighted sum of the responses of no-jump system，and the weighted value is determined by the jump rules.

Key wordsMarkov jump， stochastic excitations， nonlinearity， stochastic averaging method

DOI：10. 6052/1672-6553-2015-035

通訊作者?E-mail：rhhuan@ zju. edu. cn

Corresponding author?E-mail：rhhuan@ zju. edu. cn