傳送帶中的劃痕問題

□　江西省南昌市第十九中學　郭家瓊

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傳送帶中的劃痕問題

□江西省南昌市第十九中學郭家瓊

本文就傳送帶中的痕跡問題進行突破。

難點形成的原因有：

1.對于物體與傳送帶之間摩擦力的有無判斷、是滑動摩擦力還是靜摩擦力的判斷、摩擦力的方向如何的判斷存在困難。主要是摩擦力產生的條件、摩擦力的方向及摩擦力大小的計算掌握不扎實。

2.對于什么問題應該研究物體相對地面的運動、什么問題應該物體相對傳送帶運動判斷錯誤。

3.對于實際中的劃痕不理解。

下面我們就例題進行分析，突破難點。

例1.如圖所示，傳送帶足夠長，正以2m/s的速度順時針運動，現將下表面涂有顏料的木塊（可視為質點）輕放在傳送帶左端，已知木塊與傳送帶間的動摩擦因素為0.05，求木塊在傳送帶上留下的劃痕。

【審題】對輕放到運動的傳送帶上的物體，在研究摩擦力是滑動摩擦力還是靜摩擦力時要研究物體相對傳送帶的運動，由于物體與傳送帶存在相對運動，所以是滑動摩擦了；判斷摩擦力方向時要研究相對運動，由于物體相對傳送帶向后滑動，受到沿傳送帶運動方向的滑動摩擦力作用，物體將做勻加速運動，物體在傳送帶上向后劃痕跡，直到物體達到與皮帶相同的速度，不再受摩擦力，而隨傳送帶一起做勻速直線運動，此時不再劃痕跡，所以痕跡就是物塊相對傳送帶向后的位移，等于兩物體的位移之差。

解法1：力和運動的觀點。

傳送帶的位移為x1=vt=2×4=8m

在這個過程中木塊相對傳送帶向后劃痕跡△L=x2-x1= 8-4=4m

解法2：圖像法。

由于v-t圖像可以很直觀地描述物體的運動，位移可以用圖像與t軸所圍面積表示。做出木塊、傳送帶v-t的圖線如圖所示，本題痕跡就為兩物體圖像的面積之差，也就是兩圖像所夾面積即圖中陰影面積。

痕跡的長度即三角形的面積

例2.如圖所示，傳送帶足夠長，正以2m/s的速度順時針運動，現將下表面涂有顏料的木塊（可視為質點）以4m/s的速度從右端滑上傳送帶，已知木塊與傳送帶間的動摩擦因素為0.05.求木塊在傳送帶上留下的劃痕。

【審題】物塊滑上傳送帶向左運動，受到傳送帶給的向右的滑動摩擦力而做減速運動，直到速度為零。這個階段物塊向左運動，傳送帶向右運動，所以木塊相對傳送帶向左劃痕跡，則痕跡長度為木塊和傳送帶位移大小之和。這時木塊速度為0，傳送帶向右運動，所以木塊相對傳送帶向左運動，則木塊受到向右滑動摩擦力而向右做勻加速運動，直到速度達到與傳送帶速度一樣。這一階段木塊和傳送帶都向右運動，但木塊相對傳送帶向左運動，所以木塊在傳送帶上向左劃痕跡，則痕跡長度為皮帶位移減去木塊位移。兩次木塊在傳送帶都是向左劃痕跡，所以總痕跡為兩次痕跡之和。

解法1：力和運動的觀點。

傳送帶向右的位移為x2=v2t1=2×8m=16m

木塊相對傳送帶向左畫的痕跡△L1=x1+x2=16m+16m=32m

此后木塊向右運動速度與傳送帶相同所經過的時間為

傳送帶的位移為x1′=v2t2=2×4=8m

在這個過程中木塊相對傳送帶左劃痕跡△L2=x2′-x1′=8-4=4m

兩段時間都向左劃痕跡，所以總痕跡長度為△L+△L1+ △L2=32+4=36m

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解法2：v-t圖像法。第一階段，木塊和傳送帶運動方向相反，所以痕跡長度為兩個位移大小之和，即v-t圖中0-8s陰影面積；第二階段木塊相對傳送帶的位移為8s-12s陰影面積?？偤圹E則為兩圖像所圍成的面積即陰影部分。

例3.如圖所示，皮帶輪帶動傳送帶沿逆時針方向以速度v0=2 m / s勻速運動，兩皮帶輪之間的距離L=3.2 m，皮帶繃緊與水平方向的夾角θ=37°。將一可視為質點的小物塊無初速地從上端放到傳送帶上，已知物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.5，物塊在皮帶上滑過時能在皮帶上留下白色痕跡。求物體從下端離開傳送帶后，傳送帶上留下的痕跡的長度。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2）

【審題】傳送帶逆時針轉動，則上面AB部分傳送帶速度沿傳送帶向下，小物塊初速度為零，則小物塊相對傳送帶向上運動，所以受到沿傳送帶向下的滑動摩擦力，因而小物塊沿傳送帶向下做勻加速運動。小物塊速度達到與傳送帶速度相同前相對傳送帶向后運動，因此在傳送帶上向后劃痕跡。當小物塊加速到與傳送帶有相同速度時，摩擦力情況要發生變化。如果mgsinθ≥μmg cosθ即μ≥tanθ，則小物塊將和傳送帶相對靜止一起向下勻速運動，所受靜摩擦力沿斜面向上，大小等于mgsinθ。而本題由于μ＜tanθ即mg sinθ＜μmg cosθ，小物塊無法保持與傳送帶相對靜止的勻速運動，因而小物塊繼續向下加速運動。此后小物塊速度將大于傳送帶速度，所以小物塊受到沿傳送帶向上的滑動摩擦力，在傳送帶上向前劃痕跡。兩次痕跡有重合部分，所以痕跡的長度為兩次所劃痕跡中長的長度。

解法1：小物塊速度達到v0前，

由牛頓第二定律：mg sinθ+μmg cosθ=ma1解得a1=10m/s2

由v0=a1t1解得

小物塊的速度達到v0之后

由牛頓第二定律：mg sinθ-μmg cosθ=ma2

解得：a2=2m/s2

到離開傳送帶經歷時間t2

此過程中傳送帶的位移x2=v0t2=2m

小物塊相對傳送帶向前劃出痕跡的長度△L2=x2-x2′= （3-2）m=1m

兩次朝相反方向劃痕跡，由于△L1〉△L2，所以痕跡長度為△L2=1m。

解法2：v-t圖像法。小物塊速度達到v0前相對傳送帶向后運動，在傳送帶上向后劃痕跡，長度為第一階段兩圖像所圍面積，即陰影部分△L1；由于μ＜tanθ，小物塊繼續加速，此后小物塊速度大于傳送帶速度，小物塊在傳送帶上向前劃痕跡，痕跡的長度為第二階段兩圖像所圍面積，即陰影部分△l2。兩次痕跡有重合，所以痕跡的長度為兩次所劃痕跡中長的長度。

由牛頓第二定律：mg sinθ+μmg cosθ=ma1解得a1=10m/s2由v0=a1t1解得

相對皮帶向后劃出痕跡的長度

小物塊的速度達到v0之后

由牛頓第二定律：mg sinθ-μmg cosθ=ma2

解得：a2=2m/s2

到離開傳送帶經歷時間t2

木塊速度v2=v0+at2=2+2×1=4m/s

兩次朝相反方向劃痕跡，由于△L1〉△L2，所以痕跡長度為△L2=1m

【總結】在求解痕跡問題時，首先要分析清楚摩擦力，從而正確分析物體的運動情況；其次，分析物塊相對傳送帶運動情況，同向運動則痕跡為兩者位移大小之差，反向運動則為兩者位移大小之和；再次，如果存在兩次劃痕跡，那么兩次相對傳送帶朝相同方向劃痕跡的話則痕跡長度為兩次痕跡長度之和，兩次相對傳送帶朝相反方向劃痕跡則總痕跡為兩次痕跡中痕跡長的長度。