薛秋萍
?
源于課本 高于課本
薛秋萍
課本中有些例題屬于雙基性例題,它主要是起鞏固基本概念或公式,形成基本技能的作用.它形式簡單,內容單一,但適當變式、延展,也會起到整合知識、歸納方法、培養技能、發展思維的作用.下面以“整式乘法與因式分解”中的兩道例題為例,說明不少試題都“源于課本”,可以在課本中找到原型,但同時又“高于課本”.
原題1(蘇科版教材七下第78頁例題5第(1)題)
計算:(x-3)(x+3)(x2+9).
【說明】這是一道計算題,兩次運用平方差公式.
變式1計算:(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+ 1)(x8+1).
【說明】本題把上題的“3”變成“1”主要為了便于表達計算結果,再增加幾個因式.經觀察,發現規律,由(x-1)(x+1)得(x2-1),再由(x2-1)(x2+1)得x4-1,…根據最后一個因式(x8+1)得結果為x16-1.
變式2計算:(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+ 1)…(x2n+1).
【解析】把最后一個因式中x的指數由具體的數字改為字母,由變式1得結果是(x2n-1)(x2n+1)=x4n-1,滲透了特殊到一般的數學思想.
變式3試求:(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1的個位數字.
【說明】本題中把變式2中的字母x換成數字2,并且還不能直接應用平方差公式,需添加第一個因式(2-1),這樣才能使用平方差公式計算其結果,最后研究結果的個位數字.
∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,…
∴2的整數次冪的個位數字每4個數字為一個循環組依次循環.
∵64=16×4,
∴264的個位數字與24的個位數字相同.
∴原式的個位數字為6.
原題2(蘇科版教材七下第85頁例題5第(1)題)
把下列各式因式分解:x2+10x+25.
【說明】這是一道利用完全平方公式進行因式分解的例題,目的是熟悉關于因式分解的完全平方公式特點,并能熟練運用完全平方公式進行因式分解.
解:x2+10x+25=(x+5)2.
變式1把x2+y2+10x-4y+29寫成兩個完全平方式的和形式.
【說明】本題要進行適當分組,同時要把常數29拆成25與4的和.
【延展1】如果x2+y2+10x-4y+29=0,求x 和y的值.
【說明】本題根據完全平方式的非負性質,列方程求解.
【延展2】已知正整數a,b,c滿足等式a2+ b2+c2+49=4a+6b+12c,試判斷三條長分別為a,b,c的線段能否圍成一個三角形.若能,請判斷該三角形的形狀;若不能,請說明理由.
【說明】本題是一個綜合題,首先要利用等式性質,把等式左邊配成三個完全平方式,再利用平方式的非負性和三角形的三邊關系,得出結論.
解:∵a2+b2+c2+49=4a+6b+12c,
∴(a2-4a+4)+(b2-6b+9)+(c2-12c+36)=0.
∴(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2=0.
∴a-2=0,b-3=0,c-6=0.
即:a=2,b=3,c=6.
∵2+3<6,
∴三條長分別為a,b,c的線段不能圍成一個三角形.
變式2“a2≥0”這個結論在數學中非常有用,有時我們需要將代數式配成完全平方式.
例如:x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1,
∵(x+2)2≥0,
∴(x+2)2+1≥1,
∴x2+4x+5≥1.
試比較代數式:x2-1與2x-3的大小.
【說明】比較兩個代數式值的大小,通常用做差法,即先求出兩個代數式的差,再對其配方,最后判斷正負性.
課本上的例題是我們學習的基礎.同學們應多加重視,根據基本知識點,觸類旁通,一題多變,做到學一題通一類,即使是最基礎的計算題,我們也能使它生成新的題型,達到發展思維、培養能力的作用.
(作者單位:江蘇省太倉市第二中學)